古埃及人与勾股定理

古埃及人与勾股定理

作者：张海燕

来源：《初中生世界·八年级》2013年第12期

按：本文选编自《勾股定理：悠悠4000年的故事》一书.

埃及人一定使用过公式（a2+b2=c2），否则他们不可能建造出金字塔，但是他们从没有把这当作一个有用的理论加以描述.

——乔伊·哈克姆，《科学的故事》

美索不达米亚以东约800 km，沿尼罗河岸，另外一个古老的文明国度埃及在这里繁荣壮大. 这两个文明国度和平共处超过3000年，大约从公元前3500年直到希腊时代. 这两个国度都有发达的书写技巧，热衷于天文观测，而且对他们的军事胜利、商业交流和文化传统有着非常详尽的记录. 但是，不同的是，巴比伦人把这一切记录在泥板上，这的确是一个不易损坏的书写材料；而埃及人使用的却是纸莎草纸，显然这是一种相当易碎的材料. 如果不是因为干燥的沙漠气候，他们的文献早就灰飞烟灭了. 尽管如此，我们对古埃及的了解还是少于对美索不达米亚的了解. 我们主要是通过在各朝代埃及统治者的墓穴里发现的艺术品来了解他们，或者通过少部分残留下来的纸莎草纸卷轴，以及他们的神殿和碑文上的象形文字来了解他们.

众多的埃及神殿中最著名的就是金字塔，前后大约历时1500年人们建造金字塔来赞美统治者法老们生前身后的荣耀. 大量的文学作品都有关于金字塔的描述，遗憾的是，其中很多文学作品是虚构的. 金字塔吸引很多崇拜者的祭奠，这些人发现了这些墓碑与宇宙中事物间的隐含着的关联，从π的值到黄金分割，再到星相. 借用著名埃及古物学家理查德·基灵斯的话来说：“作家、小说家、记者以及虚构小说的写手们在19世纪发现了一个新话题…金字塔‟，对这个课题了解得越少，或者理解得越不清楚，那么他们可以驾驭的想象空间就越大.”

显然，建造每条边长为230 m、高为146 m的基奥普斯大金字塔这样如此巨大的墓碑需要大量的数学知识，而且可以肯定这些知识当中一定包含毕达哥拉斯定理. 但事实是这样的吗？我们对古埃及数学状况的了解主要来源于莱茵德纸草书，该书收集了84个问题，分别涉及算术、几何和初等代数等领域. 该书是由苏格兰的埃及古物学者亨利·莱茵德于1858年发现的，这本纸草书长近5.5 m、宽近4 m. 它保存得非常完好，是我们得到的近乎完整的最古老的数学教科书（该书现存于伦敦大英博物馆）. 这本纸草书是由一位名叫阿摩塞的抄写员在大约公元前1650年写成的，在西方称其为Ah-mose. 但是，正如阿摩塞告知我们那样，这本书不是他自己的著作，他只是把一份大约为公元前1800年的文献抄写下来而已. 书中对84个问题中的每一个问题都有详细的求解过程，有些问题还配有图. 最有可能的是这本著作是抄写员学校使用的训练手册，因为这是分配给皇家抄写员的文字工作的一部分，这些抄写员通常要做的是读（reading）、写（writing）、算（arithmetic），即我们现代所说的“3R”.

在莱茵德纸草书的84个问题中，有20个几何问题，这些问题大都是研究诸如求圆形谷仓的体积，或求给定尺寸的一块土地的面积等问题（求土地面积问题对埃及人来说是一个非常重要的问题，他们的生计与尼罗河每年的洪水息息相关）. 其中有5个问题是关于金字塔的问题，但在这些问题中并没有直接或间接地引用毕达哥拉斯定理. 其中重复出现的一个概念就是金字塔边的斜度，显然这一问题对施工人员来说非常重要，因为他们必须确保 4 个面相等而且有相同的斜度. 但是毕达哥拉斯定理呢？却一次也没有提到.

当然，就像考古学家喜欢说的那样，缺乏证据不能证明不存在. 然而，很有可能的是，莱茵德纸草书是对抄写员、建筑师或者收税员等一类有知识的人在其生涯中所遇到的数学问题的一种概括，没有提到毕达哥拉斯定理的事实充分提示埃及人不知道这个定理. 据说，他们是使用带有等距离间隔的绳结的绳子丈量距离. 那么可以这样推理：有3-4-5绳结的绳子一定会诱发埃及人发现3-4-5三角形是一个直角三角形，从而推断出32+42=52的事实. 但是，没有支持这种假设的任何证据. 更没有如有些作家所描述的那样，他们使用了3-4-5这样的绳子来构造直角，使用铅垂线似乎更容易实现这样的目的. 对于这种情况，引用3个著名的古代数学学者的话作为概括最好.

在90%（关于数学历史）的书籍中，有一本论述了埃及人知道边长为3、4和5的直角三角形，并使用这个直角三角形摆出了一个直角. 这一陈述有多少价值呢？完全没有.

——范德瓦尔登

没有迹象表明埃及人有什么毕达哥拉斯定理的概念，尽管有一些关于“拉绳定界先师”（司绳）的没有事实根据的故事，推测他们在有 3+4+5=12个绳结的绳子的帮助下构造出直角三角形.

——斯特洛伊克

好像没有证据表明他们知道三角形（3，4，5）是直角三角形. 确确实实是这样，根据最近的权威著作（皮特，《莱茵德纸草书》，1923），埃及数学中没有什么东西说明埃及人知道毕达哥拉斯定理或者这个定理的任何特殊情况.

——希思

当然，考古学家们也有可能在某一天挖出某份文献，它展示一个矩形，有如YBC 7289那样标明它的边和对角线. 但是，在这一发现之前，我们不能断定埃及人知道直角三角形的3条边之间的关系.

（摘编：海安县李堡中学张海燕）