对称性在二重积分中的应用

D
e| x|| y|dxdy.
y 轴都对称，且 被积函 由于积分区域 D 关于 x 轴， y 数关于 x, y 都是偶函数，根据推论1.1得
M e
D 1
| x|| y|
x y 4 e dxd y d x d y D1
D
1
1
y 1 x
D1
4 d x e x y d y 4.
I1 I 2 ,
D
I I1 I 2 0 0 0.
O
1
1 x
例2. （总习题九 1(2)）. 设有平面闭区域 D {( x , y ) a x a , x y a },
D1 {( x , y ) 0 x a, x y a}, 则
中国民航大学理学院 张晓斌
y
定理 1
D
D1
f ( x, y) 若有界闭区域 D 关于 y 轴对称，
在区域 D 上连续， 则
O
x
f ( x, y )d x d y
D
0
当 f ( x, y ) 关于 x 为奇函数时
2 f ( x, y )d x d y
D1
当 f ( x, y ) 关于x 为偶函数时
D
D1
D1 {( x, y ) D | x 0, y 0}
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y
定理 2
y x
若有界闭区域 D 与区域 D1 关于直 线 y x 对称， f ( x, y ) 在区域 D 上连续，则
D
D1
O
x

D
f ( x, y )d x d y f ( y, x)d x d y
D1
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y
y x
推论 2.1
D
x
若 有界闭区域 D 关于直线 y x 对 O f ( x, y ) 在区域 D 上连续，则 称，
f ( x, y)d x d y f ( y, x)d x d y
D D
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二、定理的应用 例1. 计算 I ( x y3 ) d x d y, 其中
《高等数学》（同济大学第五版）
—对称性在二重积分中的应用
主讲：张晓斌
中国民航大学理学院
中国民航大学理学院 张晓斌
主要内容
一、 常用的有关二重积分的对称性定理
二、定理的应用（典型例题分析）
三、小结
中国民航大学理学院 张晓斌
一、 常用的有关二重积分的对称性定理
定义 1：若二元函数 f ( x, y) 的定义域 D 关于 y 轴对称，且满足 f ( x, y) f ( x, y) （或 f ( x, y) f ( x, y)），则称 f ( x, y) 关于 x 为奇（偶）函数。 定义 2：若二元函数 f ( x, y) 的定义域 D 关于 x 轴对称，且满足 f ( x, y) f ( x, y) （或 f ( x, y) f ( x, y)），则称 f ( x, y) 关于 y 为奇（偶）函数。 定义 3：若二元函数 f ( x, y) 的定义域 D 关于 直线 y x 对称，且满足 f ( x, y) f ( y, x) ， 则称 f ( x, y) 关于x 和 y 对称。
1

1
f ( x ) f ( y ) d x d y 0 d x 0 f ( x) f ( y) d y
2
2
1
1
A f ( x) d x f ( y ) d y A , I . 0 0 2
证毕
例5.
设 f ( x ) 为取值恒大于0的连续函数，区域
a 与 b 是两个 D : (x , y )| x 2 y 2 R 2 ( R 0)，
y a D2 D1 DD 3 a D4 O a x
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例3. 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 | x | | y | ，求该薄 D {( x, y) | x | | y | 1}, 其面密度为 e 片的质量M。 解：根据二重积分的物理意义，M
( x y cos x sin y ) d x d y
D
A
.
( A) 2 cos x sin y d x d y
D1
( B) 2
D1
x y dx d y
(C ) 4 ( x y cos x sin y ) d x d y
D1
D D1 提示: 如图 ，
D2
D3
D4 .
D1
当 f ( x, y ) 关于 y 为偶函数时
D1 {( x, y ) D | y 0}
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y
推论 1.1 若 有界闭区域 D 关于 x 轴 和 y 轴都
D
D1
f ( x, y) 在区域 D 上连续，且 对称，
关于 x 和 y 均为偶函数，则
O
x
f ( x, y )d x d y 4 f ( x, y)d x d y
af ( y) bf ( x) dxdy, f ( y) f ( x ) D
af ( x ) bf ( y) 从而 dxdy f ( x) f ( y) D
1 af ( x ) bf ( y ) af ( y ) bf ( x ) [ ]dxdy 2 D f ( x) f ( y) f ( y) f ( x)
1 y 0 0
D

1
y
f ( x) dx A ,
2
0
1
yx
D1
1 x
I d y f ( x) f ( y ) d x f ( x) f ( y) d x d y
f ( y ) f ( x) d x d y I1 ,
D1 D D1
I I1 2 I
D1 {( x, y ) D | x 0}
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y
定理 1’
f ( x, y) O 若有界闭区域 D 关于 x 轴对称，
在区域 D 上连续， 则
D1
D
x
f ( x, y )d x d y
D
0
当 f ( x, y ) 关于 y 为奇函数时
2 f ( x, y )d x d y
0 0
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1 x
O
1
1x
例4. 设 f ( x) 在 [0,1] 连续，且
1 1
A D I 0 d x x f ( x) f ( y ) d y , 证明 I . 2 证明: 注意到被积函数关于 x 和 y 对称,考 o
虑利用定理2， 补区域 D1 使其与区域 D 关于直线 y x 对称。
非零常数，则二重积分
af ( x ) bf ( y ) d x d y Biblioteka Baidu_______. f ( x) f ( y) D
y
R
o
D
R
x
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解：由于区域 D 关于直线 y x 对称，根据 推论2.1可得
af ( x ) bf ( y) dxdy f ( x) f ( y) D
ab ab 2 R . dxdy 2 D 2
中国民航大学理学院 张晓斌
三、小结
本节给出了几种常用的有关二重积分的对称性定 理，并通过例题分析对这些定理做了应用，讨论 了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简 化二重积分的计算。
中国民航大学理学院 张晓斌
谢谢！
中国民航大学理学院 张晓斌
D {( x, y) | x | | y | 1}.
D
解： I
( x y ) d x d y x d x d y y
3 D D D
3
dx d y
y
1
y 如图，由于积分区域 D 关于 x 轴， 轴都对称，且 I1 和 I 2 中的被积函数 分别关于 x, y 是奇函数，根据定理1 和定理1’得 1