第三章力系的平衡原理

例 已知：图示梁，求： A、B、C处约束力。
分析：
mA
?
整体： 四个反力
XA ? YA
?
→不可直接解出
NB 拆开： AC杆五个反力
mA ?
?
?
XC
XC?
XA ?
?
?
YC
YC?
YA
→不可解
BC杆三个反力 →可解
? NB
故先分析BC杆，再分析整体或AC杆，可解。
?
解：1、取BC杆为研究对象
XC?
? X ? 0 XC? ? 0
? MB ? 0
P3min ?8 ? 2P2 ? 10P1 ? 0
解得 P3min=75kN
? 空载时， FB ? 0, 为不安全状况
? M A ? 0 4P3max-2P2=0
解得 F3 max=350kN
75kN ? P3 ? 350kN
P3=180kN时
? M A ? 0 4P3 ? 2P1 ? 14 P2 ? 4FB ? 0
m1 ? m2 ? m3 ? m4 ? 15N?m
求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 合力偶距
M? m1? m2 ? m3 ? m4 ? 4?(?15)? ?60N?m
平面力偶系平衡
?
NB
?
60 0.2
?
300N
NB ? 0.2? m1 ? m2 ? m3 ? m4 ? 0
? NA? NB ? 300 N
思考-2
已知：如图所示结构，P，l，R. 求：固定端A处约束力.
解题思路：
先分析杆CD
FBC
再分析杆AB
FAx FAy M A
总结：
?二力杆的分析； ?一般不拆滑轮。
提问：要求陈述习题分析过程 [例] 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N， AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？
Mx ? 0
(2)各类力系独立平衡方程数
6
3
3
3
3
2
2
1
可用于判断问题是否可解
例3．1 已知：系统如图，不计杆、轮自重， 忽略滑轮大小， P=20kN；
求：系统平衡时，杆AB、BC受力. 解：AB、BC杆为二力杆， 取滑轮B（或点B），画受力图.
用解析法，建图示坐标系
?
F ix
?
0
?
F BA
?
F 1
解得 MA ? ? 1188kN ?m
例3-３ 已知：P1 ? 700kN, P2 ? 200kN, AB ? 4 m ,尺寸如图； 求： （1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；
（2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。 解： 取起重机，画受力图.
? 满载时，FA ? 0, 为不安全状况
求： 固定端A处约束力.
解： 取T型刚架，画受力图.
其中
1
F1 ?
?
F x
q ? 3l ? 2
? 0 FAx
30kN
? F1 ?
F
sin 600
?
0
解得 FAx ? 316.4kN
? Fy ? 0 F Ay ? P ? F cos 60? ? 0 解得 FAy ? 300kN
? MA ? 0
MA ? M ? F 1?l ? F cos 60? ?l ? F sin 60? ?3l ? 0
F
Fl
F Cx
?
cotθ ? 2
? 11.25kN 2h
? Fy ? 0 ? F CB sin ? ? F Cy ? 0
FCy ? 1.5kN
省力装置
B
E
FAy C
D
MA
F FDA A
FAx
FCE FDE E
F
F
? DE
F DB D
F DA
F Ay
C
F
? CE
MA FAx
B
F
? DB
例题. 图示铰链四连杆机构 OABO 1处于平衡位置 . 已知OA=40cm, O1B=60cm, m1=1N·m,各杆自重不 计.试求力偶矩 m2的大小及杆 AB所受的力.
则
? Fx ? 0 ? Fy ? 0 ? Fz ? 0
3. 空间平行力系
让各力线平行于z轴，有
? Mz ? 0,? Fx ? 0,? Fy ? 0,
则
? Mx ? 0 ? M y ? 0 ? Fz ? 0
平面汇交力系、平行力系的方程形式呢？
4. 平衡方程要点
? ? (1)力系平衡时，对任意轴x，有 Fx =0
? Mx ? 0 ? My ? 0 ? Mz ? 0 即空间力系平衡方程基本形式
6个独立方程 可解6个未知量。 2. 其它形式 4矩式 、 5矩式、6矩式及其补充条件。
由基本式去掉力系几何性质自动满足的方程
1. 平面一般力系
置各力线于xoy平面，则
? ? M x ? 0, ? M y ? 0, Fz ? 0
FD' y ? 2F
对ADB杆受力图
? MA ? 0
FBx ?2a ? FDx ?a ? 0
FBx ? ? F
例 已知： a ,b ,P,各杆重不计， C,E处光滑；
求证： AB杆始终受压，且大小为P.
解： 取整体，画受力图.
? Fx ? 0
FAx ? 0
? M E ? 0 P ?(b ? x) ? FAy ?b ? 0
例 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1垂 直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计.
求:轴承A,B 处的约束力.
解： 取整体，受力图如图所示.
F2 ?400 ? FBz ?800 ? 0
? M z ? 0 F1 ?400 ? FBx ?800 ? 0
P
FAy
?
(b ? b
x)
取销钉A，画受力图
? Fx ? 0
? Fy ? 0
FAx ? FADCx ? 0
FAB ? FAy ? FADCy ? 0
FADCx ? 0
取BC，画受力图.
? MB ? 0
FC' ?b ? Px ? 0
FC'
?
x b
P
取ADC杆，画受力图.
? MD ? 0
F' ADCy
cos 60?
?
F 2
cos30?
?
0
F1 ? F2 ? P
解得： FBA ? ? 7.321kN ? Fiy ? 0 FBC ? F1 cos 30 ? ? F2 cos 60 ? ? 0 解得： FBC ? 27.32kN
例3-２已知： P ? 100kN, M ? 20 kN ?m ,
q ? 20 kNm ?1, l ? 1m; F ? 400kN,
FA sin? ? F1 cos45?cos? ? F2 cos45?cos? ? 0 FA cos? ? F1 cos45?sin? ? F2 cos45?sin? ? P ? 0
FA ? 8.66kN, F1 ? F2 ? 3.54kN
例 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的
孔,每个钻头的力偶矩为
作业： 3-2 3-3
§3-２ 物体系统的平衡问题
一、 静定与静不定问题的概念
静定: 只用静力平衡条件能求解的问题。 (各构件全部外力)
未知量个数Nr≤独立方程数Ne 超静定: 只用静力平衡条件不能求解的问题
未知量个数Nr>独立方程数Ne
判断下面结构是否静定？
二、物体系统的平衡问题 1.一般步骤: 1)确定研究对象。 2)确定问题性质。 3) 画受力图（注意力系的等效条件）。 4)建立坐标系。 5)建立平衡方程，求解未知量。 2. 典型例题
§3–1 一般力系的平衡原理 §3–2 物体系统的平衡问题
§3–1 一般力系的平衡问题
静力学 核心内容 力系简化结果 平衡条件(几何、解析)
一般 特殊 各类平衡问题
? ? 力系的平衡 ? FR ? Fi ? 0,且MO ? MO (Fi ) ? 0
一、 力系平衡条件 、平衡方程 1. 基本形式
由 ? Fi ? 0、? MO (Fi) ? 0 向直角坐标轴投影，得 ? Fx ? 0 ? Fy ? 0 ? Fz ? 0
? MC ? 0 ? FBy ?2a ? 0
FBy ? 0 取DEF杆，画受力图
? M D ? 0 FE sin 45 ?a ? F ?2a ? 0
? Fx ? 0 FE cos 45 ? FD' x ? 0
? M E ? 0 FDy '?a ? F ?2a ? 0
FE sin 45 ? 2 F FD' x ? FE cos 45 ? 2 F
解得
FB=870kN
? F iy ? 0
FA ? FB ? P1 ? P2 ? P3 ? 0
解得 FA=210kN
例 结构如图示，A处为固定球铰链，B端用绳子系在C、D两 点，结构关于Ayz平面对称。已知，BF⊥y轴，CE=EB=ED， θ=30o，P=10kN。求绳子拉力和A处的约束反力。
解： 研究AB 杆与重物 受力分析，画受力图 列平衡方程
则
? ? Fx ? 0, ? Fy ? 0, M z ? 0 ---基本式
? Fx ? 0,? M A ? 0,? MB ? 0 ---二矩式
( AB ? x )
? M A ? 0,? MB ? 0,? MC ? 0 ---三矩式
(A,B,C不共线)
2. 空间汇交力系 ，汇交于O点
? MO ? 0,即 ? M x ? 0, ? M y ? 0, ? M z ? 0
?
P 2
2、取整体为研究对象
? X ? 0 XA= 0
? Y ? 0 YA ? N B ? P ? 0
YA
?
P
?
NB
?
3P 2
∴ XA= 0 3P
YA ? 2 mA ? ? 2Pa
（↑） （）
XC ? 0 P
YC ? 2
P NB ? ? 2
（↑） （↓）
例 已知：P , a ,各杆重不计； 求：B 铰处约束力. 解： 取整体，画受力图
?
?
YC?
NB
mA
?
XA
? YA
? NB
? mA ? 0
N B ?4a ? Pa ? Pa ? mA ? 0 mA ? N B ?4a ? ? 2Pa
? mC ? 0 N B ?2a ? Pa ? 0
Pa P N B ? ? 2a ? ? 2
? Y ? 0 YC?? N B ? 0
YC? ?
? NB
力 投影
FA
F1
F2
P
X0
F1 sin45 ?
-F2 sin45 ?
0
Y FA sin? -F1 cos45?cos? -F2 cos45?cos? 0
Z FA cos? F1 cos45?sin? F2 cos45?sin? ? P
? X ? 0,
? Y ? 0, ? Z ? 0,
解得：
F1 sin45? ? F2 sin45? ? 0
解：① 选整体研究
② 受力如图 ③ 选坐标、取矩点、Bxy,B点 ④ 列方程为:
B
m2
O1
30o
A
O
m1
解: AB为二力杆
B
S
S 30o
A
SA = SB = S
S
O
m1
取OA杆为研究对象.
m2
O1
S
? mi = 0
0.4sin30o S - m1 = 0 (1)
取O1B杆为研究对象.
? mi = 0 m2 – 0.6 S = 0 联立(1)(2)两式得: S = 5
(2) m2 = 3
解得
FN ? F tan ? ?
取轮,画受力图.
FR l2 ? R2
解得 解得
? F ix ? 0 Fox ? FA sin? ? 0
Fox ? ?
FR l2 ? R2
? F iy ? 0 Foy ? FA cos? ? 0
Foy ? ? F
? Mo ? 0
FA cos? ?R ? M ? 0
解得 M ? FR
? Fx ? 0 FBA cosθ ? FBC cosθ ? 0
FBA ? FBC
? Fy ? 0 FBA sin θ ? FBC sin θ ? F ? 0
FBA
?
FBC =
F
2sin ?
tan? ? h ?
2 ,
? ? 7.59
l 15
FBA ? FBC ? 11.35kN
选压块C
? Fx ? 0 FCB cosθ ? FCx ? 0
? 例 已知： OA=R，AB= l, F , 不计物体自重与摩擦,
系统在图示位置平衡;
求: 力偶矩M 的大小，轴承O处的约 束力，连杆AB受力，冲头给导 轨的侧压力.
解: 取冲头B,画受力图.
? F iy ? 0 F ? FB cos? ? 0
解得
F
Fl
FB ? cos? ? l 2 ? R2
? F ix ? 0 FN ? FB sin ? ? 0
b ? 2
?
FC
b ? 2
?
0
F' ADCy
?
FC
?
xP b
FAB ? ? P (压)
思考-1
已知：如图所示结构，P和a.
求：支座A，B 处约束力. 解题思路：
先分析整体
FBx FAx
再分析BC
FBy FAy
总结：
?一般先分析整体； ?一般不拆滑轮； ?矩心尽量取在较多未知力的交点上； ?投影轴尽量与较多未知力相垂直。
例：示矩形板，边长分别为
a、2a，各受大小相等、方
A
向相反的力偶作用，试画出
整体和两板的受力图。
MC
? RA
A
MC
?
RA
?
M ?C
RC?
Hale Waihona Puke BaiduRC
M
B
M
M
?B RB
? RB
例 已知： F=3kN, l=1500mm, h=200mm，忽略自重；
求：平衡时，压块 C对工件与地面的压力， AB杆受力.
解： AB、BC杆为二力杆 .选销钉B为研究对象 .