宝山区2018学年第一学期高三数学教学质量检测试卷

宝山区2018学年第一学期高三数学教学质量检测试卷 2018.12

一、填空题（本题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分

1.函数()()sin 2f x x =-的最小正周期为___________.

2.集合U R =，集合{}{}30,10A x x B x x =->=+>，则U B C A =__________.

3.若复数z 满足()12i z i +=（i 是虚数单位），则z =__________.

4.方程()

ln 9310x x +-=的根为__________.

5.从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每一个班级至少有一名代表，则各班的代表数有__________种不同的选法.（用数字作答）

6.关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为123015-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则x y +=__________.

7.如果无穷等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项的和的3倍，则公比q =__________.

8.函数()y f x =与ln y x =的图像关于直线y x =-对称，则()f x =__________.

9.已知()()2,3,1,4A B ，且()1sin ,cos ,,,222AB x y x y ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭

，则x y +=__________. 10.

将函数y =y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是__________.

11.章老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对

边，已知45b A =∠=︒,求边c 。显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 只有一解.那么，a 的可能取值是__________.（只需填写一个合适的答案）

12.如果等差数列{}{},n n a b 的公差都为()0d d ≠，若满足对于任意n N *∈，都有n n b a kd -=，其中k 为常数，k N *∈，则称它们互为“同宗”数列.已知等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，数列{}n b 为数

列{}n a 的“同宗”数列，若11221111lim 3

n n n a b a b a b →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，则k =__________.

二、选择题（本题满分20分）

13.若等式()()()23

2301231111x x x a a x a x a x +++=+-+-+-对一切x R ∈都成立，其中0123,,,a a a a 为实常数，则0123a a a a +++=（ ） .A 2 .B 1- .C 4 .D 1

14.“,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦

”是“()sin arcsin x x =”的（ ）条件. .A 充分非必要 .B 必要非充分 .C 充要 .D 既非充分也非必要

15.关于函数()232

f x x =-的下列判断，其中正确的是（ ） .A 函数的图像是轴对称图形 .B 函数的图像是中心对称图形

.C 函数有最大值 .D 当0x >时，()y f x =是减函数

16.设点,M N 均在双曲线2

2:143

y x C -=上运动，12,F F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ）

.A .B 4 .C .D 以上都不对

三、解答题（本题满分76分

17.（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分

如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，4=PA ，设E 为侧棱PC 的中点.

（1）求正四棱锥ABCD E -的体积V ；（2）求直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小.

18.（满分14分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题7分.

已知函数()100

22cos 112sin 3

x

x x f -=，将()x f 的图像向左平移()0>αα个单位得函数()x g y =的图像. （1）若4π

α=，求()x g y =的单调增区间； （2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,

0πα，()x g y =的一条对称轴为12π=x ，求()x g y =，⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 的值域.

19.（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分.

某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工人作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y (单位:度)与时间t (单位：小时，[]20,0∈t ）近似地满足函数2

13++-=t b t y 关系，其中，b 为大棚内一天中保温时段的通风量. （1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到0.1C ︒)；

（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17C ︒.求大棚一天中保温时段通风量的最小值.

20.（满分16分）本题有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.

已知椭圆Γ：2

214

x y +=的左、右焦点为12F F 、. （1）以1F 为焦点，原点为顶点的抛物线方程；

（2）若椭圆Γ上的点M 满足123F MF π

∠=，求M 的纵坐标M y ；

（3）设(0,1)N ，若椭圆Γ上存在不同两点,P Q 满足90PNQ ︒∠=，证明直线PQ 过定点，并求该定点坐标.

21.（满分18分）本题有3小题，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分.

如果数列{}n a 对于任意n N *∈，都有2n n a a d +-=，其中d 为常数，则称数列{}n a 是“间等差数列”，d 为“间公差”，若数列{}n a 满足()R a a a N n n a a n n ∈=∈-=+*+11,,352.

（1）求证：数列{}n a 是“间等差数列”，并求间公差d ；

（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若n S 的最小值为153-，求实数a 的取值范围；

（3）类似地：非零数列{}n b 对于任意n N *∈，都有q b b n

n =+2，其中q 为常数，则称数列{}n b 是“间等比数列”，q 为“间公比”。已知数列{}n c 中，满足()*-+∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛=∈≠=N n c c Z k k k c n n n ,212018,,0111，试问数列{}n c 是否为“间等比数列”，若是，求最大的整数k 使得对于任意n N *∈，都有1+>n n c c ；若不是，说明理由.