2020年北京四中高一(下)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共13小题，共65.0分）1.某校老年、中年和青年教师的人数如表所示．采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为（）类别人数老年教师90中年教师180青年教师160合计430A. 9B. 10C. 18D. 302.总体由编号为01，02…，29，30的30个个体组成，利用下面的随机数表选取4个个体．7806 6572 0802 6314 2947 1821 98003204 9234 4935 3623 4869 6938 7481选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始，从左往右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）A. 02B. 14C. 18D. 293.10名工人生产某一零件，生产的件数分别是10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则（）A. a＞b＞cB. b＞c＞aC. c＞a＞bD. c＞b＞a4.投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是Ω={1，2，3，4，5，6}．设事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，则下列结论中正确的是（）A. A，C为对立事件B. A，B为对立事件C. A，C为互斥事件，但不是对立事件D. A，B为互斥事件，但不是对立事件5.方程x+|y-1|＝0表示的曲线是（）A. B.C. D.6.在△ABC中，若＜cos C，则△ABC为（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形7.下图是1，2两组各7名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为s1和s2，那么（）（注：标准差s=，其中为x1，x2，…，x n 的平均数）A. ＜，s1＜s2B. ＜，s1＞s2C. ＞，s1＞s2D. ＞，s1＜s28.集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A. B. C. D.9.在平面直角坐标系中，△ABC的顶点B，C坐标为（-2，0），（2，0），中线AD的长度是3，则顶点A的轨迹方程是（）A. x2+y2=3B. x2+y2=4C. x2+y2=9（y≠0）D. x2+y2=9（x≠0）10.在△ABC中，a=2，c=，sin B+sin A（sin C-cos C）=0，则∠C=（）A. B. C. D.11.在△ABC中，a2≤b2+c2-bc，则∠A的取值范围是（）A. B. C. D.12.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，则不同的排法有（）A. 60种B. 48种C. 36种D. 24种13.袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3个小球．设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）14.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a-1＞0”发生的概率为______ ．15.一组数据的方差是4，将这组数据中的每个数据都乘以5，所得到的新数据的方差是______．16.给出下列结论：（1）方程=l表示一条直线；（2）到x轴的距离为2的点的轨迹方程为y=2；（3）方程（x2-1）2+（y2-4）2=0表示四个点．其中正确结论的序号是______．17.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝_________m．18.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了______条毕业留言．（用数字作答）19.四个编号分别为l，2，3，4的小球，放入编号分别为l，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个球，则有且只有一个小球和盒子的编号相同的概率是______．20.在△ABC中，已知a≠b，．则内角C=______，式子的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）21.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A=60°，c=a．（Ⅰ）求sin C的值；（Ⅱ）当a=7时，求△ABC的面积．22.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．（Ⅰ）写出该试验的基本事件空间Ω，并求事件A发生的概率；（Ⅱ）求事件B发生的概率；（Ⅲ）事件A与事件C至少有一个发生的概率．23.从某校高一年级随机抽取n名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表：组号分组频数频率1[5，6）20.042[6，7）0.203[7，8）a4[8，9）b5[9，10）0.16（I）求n的值；（Ⅱ）若a=10，补全表中数据，并绘制频率分布直方图；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替．若上述数据的平均值为7.84，求a，b的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率．24.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=a，c=2．（Ⅰ）若A=，求C的大小；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．25.曲线C是平面内到点F（0，1）和直线l：y=4的距离之和等于5的点P的轨迹．（Ⅰ）试判断点M（1，2），N（4，4）是否在曲线C上，并说明理由；（Ⅱ）求曲线C的方程，并画出其图形；（Ⅲ）给定点A（0，a），若在曲线C上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A对称，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：在抽取的样本中，青年教师有32人，而抽样的的比例为=，该样本的老年教师人数为x，则有=，∴x=18，故选：C．由题意分层抽样的定义和方法，求出则该样本的老年教师人数．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始，从左往右依次选取两个数字，出的前4个个体的编号分别为：08，02，14，29．则选出的第4个个体的编号为29．故选：D．利用随机数表法直接求解．本题考查样本编号的求法，考查随机数表法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：数据10，12，14，14，15，15，16，17，17，17中，平均数为a=×（10+12+14+14+15+15+16+17+17+17）=14.7，中位数为b=15，众数为c=17，所以c＞b＞a．故选：D．由题意计算这组数据的平均数、中位数和众数．本题考查了求数据的平均数、中位数和众数的问题，是基础题．4.【答案】C【解析】解：∵投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是Ω={1，2，3，4，5，6}．事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，当掷出的点数3时，A，B同时发生，故A，B不是互斥事件，故A，B也不是对立事件；即B，D错误；A，C不可能同时发生，故A，C为互斥事件，但A∪B={1，2，3，4，6}≠Ω，故A，C不是对立事件，故A错误，C正确，故选：C结合已知中基本事件空间是Ω={1，2，3，4，5，6}．事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，分析A，B，C是否满足互斥事件和对立事件的定义，可得结论．本题考查的知识点是互斥事件与对立事件，熟练掌握并正确理解对立事件和互斥事件的概念是解答的关键．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了曲线与方程，训练了绝对值的去法，考查了函数图象的作法，是中档题．分y≥1和y＜1去绝对值后画出函数图象，则答案可求．【解答】解：由方程x+|y-1|=0，得．∴方程x+|y-1|=0表示的曲线是：故选：B．6.【答案】A【解析】解：在△ABC中，∵＜cos C，∴sin A＜sin B cos C，∴sin（B+C）＜sin B cos C，展开化为：cos B sin C＜0，∵B，C∈（0，π）．∴cos B＜0，B为钝角．∴△ABC为钝角三角形．故选：A．由＜cos C，利用正弦定理可得sin A＜sin B cos C，即sin（B+C）＜sin B cos C，展开化简即可判断出结论．本题考查了正弦定理、三角形内角和定理、和差公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：由茎叶图，得第1组的7名同学的体重分别为53 56 57 58 61 70 72，∴第1组的7名同学体重的平均数为：=（53+56+57+58+61+70+72）=61kg因此，第1组的7名同学体重的方差为：s2=[（53-61）2+（56-61）2+…+（72-61）2]=43.00kg2，同理，第2组的7名同学体重的平均数为：=（54+56+58+60+61+72+73）=62kg因此，第2组的7名同学体重的方差为：s2=[（54-62）2+（56-62）2+…+（73-62）2]=63.14kg2，∴＜且s1＜s2故选：A．将题中的茎叶图还原，结合平均数、方差计算公式，分别算出第1组7位同学和第2组7位同学的平均数和方差，再将所得结果加以比较，即得本题的答案本题给出茎叶图，要我们求出数据的平均数和方差，着重考查了茎叶图的认识、样本特征数的计算等知识，属于基础题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查古典概型及其概率公式，属于基础题．总的方法种数为6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从A，B中各取任意一个数共有:(2,1),(2,2),（2,3），（3,1），（3,2），（3,3）六种方法，而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，故所求的概率为：=．故选C．9.【答案】C【解析】解：设A的坐标：（x，y），由题意可得B，C的中点坐标为：（0，0），y≠0，再由圆的定义可得：x2+y2=9，（y≠0）；故选：C．由题意求出中点的坐标，根据两点间的距离求出A的轨迹构成，注意三角形中A，B，C不能共线．考查轨迹方程的求法，注意条件的应用，A是三角形的顶点，属于基础题也是易错题．10.【答案】B【解析】解：△ABC中，∵已知sin B+sin A•（sin C-cos C）=0，又sin B =sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C，∵sin B+sin A（sin C-cos C）=0，∴sin A cos C+cos A sin C+sin A sin C-sin A cos C=0，∴cos A sin C+sin A sin C=0．∵sin C≠0，∴cos A=-sin A，∴tan A=-1．∵0＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得=，∴sin C=，∵a=2，c=，∴sin C=．∵a＞c，∴C=．故选：B．根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可，求C．本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，两角和差的三角公式，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：∵a2≤b2+c2-bc，∴bc≤b2+c2-a2，，∴，且0＜A＜π，∴，∴∠A的取值范围是．故选：C．根据a2≤b2+c2-bc即可得出，进而根据余弦定理得出，从而可得出∠A的取值范围．本题考查了不等式的性质，余弦定理，余弦函数的图象，考查了计算能力，属于基础题．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查排列的运用，注意分析相邻问题时，要用捆绑法．根据题意，A、B必须相邻且B在A的右边，视A、B为一个元素，且只有一种排法；将A、B与其他3个元素，共4个元素排列，由乘法计数原理可得答案．【解答】解：根据题意，A、B必须相邻且B在A的右边，视A、B为一个元素，且只有一种排法；将A、B与其他3个元素，共4个元素排列，即A44=24，则符合条件的排法有1×24=24种；故选D．13.【答案】D【解析】解：从口袋中5个小球中随机摸出3个小球，共有C53=10种选法，则既没有黑球也没有白球只有1种，∴每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为1-=，故选：D．从口袋中5个小球中随机摸出3个小球，共有10种选法，则既没有黑球也没有白球只有1种，根据互斥事件的概率公式计算即可．本题考查了古典概型的概率计算公式和组合数的计算公式，属于基础题14.【答案】【解析】解：3a-1＞0即a＞，则事件“3a-1＞0”发生的概率为P==．故答案为：．本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件“3a-1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．15.【答案】100【解析】解：一组数据的方差是4，将这组数据中的每个数据都乘以5，所得到的新数据的方差是52×4=100．故答案为：100．根据方差的定义与性质，计算即可．本题考查了方差的定义与性质的应用问题，是基础题．16.【答案】（3）【解析】解：（1）.=1，x≠2化为y=x-2，因此表示一条直线去掉一个点（2，0），错误；（2）到x轴的距离为2的点的轨迹方程为y=±2，错误；（3）方程（x2-1）2+（y2-4）2=0可得：，解得x=±1，y=±2，表示四个点（±1，±2），正确；故答案为：（3）．（1）.=1，x≠2化为y=x-2，因此表示一条直线去掉一个点（2，0）；（2）到x轴的距离为2的点的轨迹方程为y=±2，即可判断出正误；（3）方程（x2-1）2+（y2-4）2=0可得：，解出即可判断出正误．本题考查了简易逻辑的判定方法、直线与曲线的方程、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.【答案】100【解析】解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．18.【答案】1560【解析】解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为：1560．通过题意，列出排列关系式，求解即可．本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．19.【答案】【解析】解：四个编号分别为l，2，3，4的小球，放入编号分别为l，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个球，基本事件总数n==24，有且只有一个小球和盒子的编号相同包含的基本事件个数m==8，则有且只有一个小球和盒子的编号相同的概率p=．故答案为：．基本事件总数n==24，有且只有一个小球和盒子的编号相同包含的基本事件个数m==8，由此能求出有且只有一个小球和盒子的编号相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】[1+，2）【解析】解：△ABC中，∵，根据正弦定理和余弦定理，∴=．∴a2+b2=c2，即△ABC为直角三角形，．===．∵△ABC中，，∴，∴，，，∴．即．故答案为：．本题运用正余弦定理及两角和两角差公式，通过角化边化简计算即可．本题考查三角形的正余弦定理，内角和为π，两角和与差公式，要求学生有角化边的转化思想，属于中档题．21.【答案】解：（I）在△ABC中，因为∠A=60°，c=a，所以由正弦定理=可得sin C==．（II）因为a=7，所以c=×7=3．由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A得，解得b=8或b=-5（舍）．所以△ABC的面积S=bc sin A=×8×3×=6．所以△ABC的面积6．【解析】（Ⅰ）由正弦定理可得=可得sin C=•sin A，将题中的条件可得其值；（Ⅱ）由题意可得c的值，再由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A得即题中的条件可得b边，代入面积公式S=bc sin A可得面积．本题考查正弦定理及余弦定理的应用和面积公式，属于中档题．22.【答案】解：（I）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共有36个基本事件，事件A：“两数之和为8”，事件A包含的基本事件有：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共5个基本事件，∴事件A发生的概率为P（A）=．（II）事件B：“两数之和是3的倍数”，事件B包含的基本事件有12个，分别为：（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1），（5，4），（6，3），（6，6），∴事件B发生的概率P（B）==．（III）事件A与事件C至少有一个发生包含的基本事件有11个，分别为：（2，2），（2，4），（2，6），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，3），（6，2），（6，4），（6，6），∴事件A与事件C至少有一个发生的概率为P（A∪C）=．【解析】（I）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，利用列举法能求出Ω，再求出事件A“两数之和为8包含的基本事件有5，由此能求出事件A发生的概率．（II）利用列举法求出事件B：“两数之和是3的倍数”包含的基本事件个数，由此能求出事件B发生的概率．（III）利用列举法求出事件A与事件C至少有一个发生包含的基本事件个数，由此能求出事件A与事件C至少有一个发生的概率．本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23.【答案】解：（I）∵小组[5，6）内的频数是2，对应的频率是0.04，∴样本容量为n=；（1分）（II）小组[6，7）内的频数为50×0.20=10，小组[7，8）内的频率为=0.20，小组[8，9）内的频数为50-2-10-10-8=20，频率为=0.40，小组[9，10）内的频数为50×0.16=8，由此补全数据见下表（3分）；组号分组频数频率1[5，6）20.042[6，7）100.203[7，8）100.204[8，9）200.405[9，10）80.16绘制频率分布直方图见下图：（5分）（III）根据题意，得，（7分）解得；（8分）设“该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时”为事件A，则P（A）=．（9分）【解析】（I）根据频率=，求出n的值；（II）根据频率、频数与样本容量的关系，求出表中空余的数值，补全数表，并绘制频率分布直方图；（III）根据平均数的定义，列出方程组，求出a、b的值，计算日平均睡眠时间不少于8小时的概率．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数与概率的计算问题，是基础题目．24.【答案】解：（I）若，则由得sin B=sin A=，由于B∈（0，π），所以B=或B=．由于A+B+C=π，故C=或C=，（II）设BC=x，则AC=，根据面积公式，得，根据余弦定理，得cos B=，将其代入上式，得．由三角形三边关系，有解得，故当x=2时，S△ABC取得最大值2．【解析】（Ⅰ）直接利用正弦定理的应用求出结果．（Ⅱ）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用及不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，三角形三边关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．25.【答案】解：（I）设点P（x，y），则|PF|+d=5，即．发现点M的坐标（1，2）不满足方程，故点M不在曲线C上，而点N的坐标（4，4）满足方程，故点N在曲线C上；（II）由得，所以x2+（y-1）2=（5-|y-4|）2x2+（y-1）2=25-10|y-4|+（y-4）2x2=40-10|y-4|-6y=，曲线C如图所示．（III）显然，过点A与x轴平行的直线与曲线C的两个交点关于点A对称，且这两个点在同一段抛物线上；当两个点在同一段抛物线时，也只有当这两点所在直线与x轴平行，才存在关于点A对称的两点：当对称的两点分属两段抛物线时，不妨设其中一个点为P（x1，y1），其中y1=，且-4≤x1≤4，则其关于点A的对称点为Q（-x1，2a-y）所以2a-y1=-+5即2a=y1-+5=-+5=+5，考虑到直线PQ不与x轴平行，所以-4＜x1＜4且x1≠0．所以当＜a＜4时，方程2a=+5的解刚好有且只有两个．综上，实数a的取值范围为（，4）．【解析】（I）设点P（x，y），利用|PF|+d=5，即．推出结果即可．（II）由得，判断化简x2+（y-1）2=，画出图形．（III）显然，过点A与x轴平行的直线与曲线C的两个交点关于点A对称，且这两个点在同一段抛物线上；当两个点在同一段抛物线时，也只有当这两点所在直线与x轴平行，才存在关于点A对称的两点，结合图形，推出当＜a＜4时，方程2a=+5的解刚好有且只有两个．得到实数a的取值范围．本题考查轨迹方程的求法，抛物线的性质的应用，考查发现问题解决问题的能力，数形结合的应用，是难题．。