统计学基本术语与常用抽样分布

例2 设 X1 , X2, …, X9 是来自正态总体的简单随机样本, 且
1 9 990307 Y2 X i , 3 i 7 Y1 Y2 服从什么分布?分布 若记总体的方差为σ2 , 那么随机变量 / 2 参数为多少?
1 6 Y1 X i , 6 i 1
答 服从 N ( 0 , 1 ) .
i 1
证毕.
推论: 离差平方的和等于平方的和减去均值平方的等量和
( X i X ) = X i2 nX 2
2 i 1 i 1 n n
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例1 设 Xi ~N (μi ,σ2) ,i = 1, 2, …, 10，其中各μi 不尽相等. 问 X1 , X2, …, X10 是否为简单随机样本? 为什么? 识别要点有三: 答 不是:由于期望值不全等,因而分布 不同; 而且无法得知彼此间是否独立! 来自同一总体 同分布且相互独立
2
2 量是独立标准正态量的平方和.
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（基于标准正态量的统计学常用分布） ２. 2 分布(独立标准正态量平方和的分布)
2 2) 还可证明, (n) 的密度函数
n x 1 1 x2 e 2 , x 0 n f ( x) 2 2 ( n ) 2 0 , x0
相互独 立 独立正态算术平均量 X 的分布 1.
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若
X i ~ N( , 2 ), i 1, 2,, n
ind
则算术平均量
1 n X X i ~ N( , ) n n i 1
2
独立正态量的算术平均量仍是正态量: 均值不变,方差等于原方差的容量(n) 分之一. 从而
X
(
n 1 ) t 2 ( n21) 2 f (t ) (1 ) , t n n n ( ) 2
概率密度的 图象与标准 正态曲线极 其相似
n 1 ( ) 2 ( n 1 ) t 2 t 1 2 lim f (t ) lim (1 ) 2 e 2 (t ) n n n n 2 n ( ) , 2 因而, 当 n 较大时, 其概率密度 f (t ) (t )
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例3 设X1 , X2 , …，X100 是来自正态总体 X 的样本. 那么, 在
以下的样本函数中, 谁可能不是统计量?
(1) max { X1 , X 2 , , X100 }
1 100 (3) Xi 100 i 1
(2) min { X1 , X 2 , , X100 }
(4) a1 X1 a2 X 2 a100 X100
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以及
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（基于标准正态量的统计学常用分布）
相互独 立 t 分布(标准正态量与 2 量方根之商的分布) 3.
2 3) 若 X i ~ N( , ), i 1, 2,, n ind
则商变量
自由度
X ~ t (n 1) S/ n
其中
1 n 1 n X Xi , S2 ( X i X )2 n i 1 n 1 i 1

X ~ t (n 1) S/ n
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证毕.
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（基于标准正态量的统计学常用分布）
相互独 立 F 分布(两独立 2量之商的分布) 4. 1) 若 U ~ 2 (n1 ) , V ~ 2 (n2 ) , 二者相互独立 , 则商变量
分子自由度

U V
F
可以证明
n1 n2
~ F (n1 , n2 )
i 1
n
自由度
1 n 1 n 2 并可证明 X X i 与 S ( X i X )2 n 1 i 1 n i 1
相互独立 (证略) .
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（基于标准正态量的统计学常用分布）
相互独 立 t 分布(标准正态量与 2 量方根之商的分布) 3.
2 X ~ N(0,1) , Y ~ (n) ,二者相互独立, 1) 若
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实践中最常使用的统计量（含统计值）有如下三种： 1. 样本均值(算术平均量)
1 n X Xi n i 1 其中, ( X1 , X2 , …，Xn ) 是总体 X 中的容量为 n 的样本.

S 2 与样本标准差 S 2. 样本方差 n 1 1 n S2 ( X i X )2， S ( X i X )2 ， n 1 i 1 n 1 i 1 其中, ( X1 , X2 , …，Xn ) 是总体 X 中的容量为 n 的样本,
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2. 样本与简单随机样本
设总体 X 的分布函数为F ( x ). 若随机变量 X1 , X2 , …，Xn 相互独立, 而且各自的分布函数也都是 F ( x ), 那么就称这 n 个
随机变量所组成的整体 ( X1 , X2 , …，Xn ) 是取自相应总体 X 或取自相应分布F ( x ) 的、容量为 n 的简单随机样本.
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（基于标准正态量的统计学常用分布）
相互独 立 2 分布(独立标准正态量平方和的分布) ２.
2 4) 若 X i ~ N( , ), i 1, 2,, n ind
则平方和变量
(n 1) S 2
2
~ 2 (n 1) 即
1
2
( X i X )2 ~ 2 (n 1)
不难看出, 若 F ~ F (n , n ) , 则必有 1 2
1 ~ F (n2 , n1 ) F
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（基于标准正态量的统计学常用分布） 2量之商的分布) 4. F 分布(两独立
2 3) 若 X i ~ N( 1 , 1 ), i 1, 2,, n1 2 Y j ~ N( 2 , 2 ), j 1, 2,, n2 ind ind
2) F (n1 , n2 ) 的概率密度
n n n1 n2 21 1 n1 21 )y ( ) ( 2 n2 , y0 n1 n2 f ( y ) n1 n ny ( ) ( 2 )[1 ( 1 )] 2 2 2 n2 0 , 其它
概率密度 曲线是非 对称的单 峰曲线, 峰体前倾.
则商变量
分子自由度
分母自由度
S12 / 12 ~ F (n1 1, n2 1) 2 2 S2 / 2
2 ※但当二者的方差相同时，即若 12 2 2 , 则有
( X Y ) ( 1 2 ) Sw 1 1 n1 n2
2 (n1 1) S12 (n2 1) S2 2 ~ t ( n1 n2 2) , 其中 Sw n1 n2 2
分母自由度 2 n2 2n2 (n1 n2 2) E (F ) (n2 2) , D(F ) (n2 4). 2 n2 2 n1 (n2 2) (n2 4) 两独立 量除以各自自由度的商是 F 变量:
2
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（基于标准正态量的统计学常用分布）
2量之商的分布) 4. F 分布(两独立
答 ⑷ , 理由是其中含有具体大小不明的许多未知参数 ai .
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（基于标准正态量的统计学常用分布）
1.独立正态量算术平均量 X 的分布 2.标准正态量平方和的χ2 分布
2 3.标准正态量与 之商的 t 分布
2 2 4. 量与 量之商的 F 分布
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（基于标准正态量的统计学常用分布）
在不致造成误解的情况下, 总体容量为 n 的简单随机样本常 被简称为总体容量为 n 的样本. 因此, 统计学样本内所保含的 n 个随机变量, 已强制性地附加了独立和同分布的含义.
由于这一原因, 容量为 n 的样本( X1 , X2 , …，Xn ), 作为
n 维随机变量，其分布函数和概率密度等, 都可表为总体分布 函数和概率密度的乘幂形式，并被称为“ 似然函数 ”：
离差平方和简化计算恒等式
n n


( X i X ) = X i2 nX 2
2 i 1 i 1
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离差平方和简化计算恒等式的证明
(X
i 1
n
i
X )2

(X
i 1
n
2 i
2 XX i X 2 )


X i2 2nX 2 nX 2
i 1
n
n
X i2 nX 2
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2
t F
2 (n)
t ( n)
F (n1 , n2 )
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一 二 三 四 五
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0. 描述统计学与推断统计学 随机现象应如何观测和试验，才能获得有 代表性的观测数据? 对已取得的观测数据，应如何进行整理、 分析，才能通过它们对整体的规律性作出正 确的推断和决策? 前者由名为描述统计学的数学分支专门研 究，后者由名为推断统计学的数学分支专门 研究． 本章仅对推断统计学的基本知识进行简要 介绍．
密度函数的图象 是位于第一象限的 非对称曲线: n ≥3时 曲线单峰, 峰体前 倾; n =1或2时曲线 无峰, 形如双曲线.
3) 分布具有可加性, 即若
2 2 ~ 2 (n2 ) , ~ (n1 ) , 2 12 2 ~ 2 (n1 n2 ) 且二者相互独立, 则
2 1 2
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1. 总体与个体
随机变量X 全部可能取值的集合称为该随机变量的统
计学总体 , 并依然用 X 加以标记.
因此, 随机变量 X 的分布及其数字特征也被称做相应 统计学总体X 的分布及其数字特征. 分布参数在许多时 候，都被广泛而形象地命名为“自由度”.
总体 X 内包含的任一具体取值都称做总体的一个个体. 总体所含个体的总数称为总体的容量. 容量有限的总体叫有限总体, 容量无限的总体叫无限 总体.
/ n
~ N(0,1)
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相互独 立 2 分布(独立标准正态量平方和的分布) ２. 1) 若 X i ~ N(0,1), i 1, 2,, n 则平方和变量
2
（基于标准正态量的统计学常用分布）
ind
自由度
n
i 1
X i2 ~ 2 (n)
可以证明
D( 2 ) 2n . E( ) n ,
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X ~ t (n 1) 的证明 S/ n
显然，
Z

X
/ n
~ N(0,1) ,
(n 1) S 2 Y ~ 2 (n 1) , 2

且二者相互独立. 所以，依 T 变量的定义
T

Z Y / (n 1)
~ t (n 1)
即
X / n S /
F ( x1 , x2 , , xn ) F n ( x ) ,
f ( x1 , x2 , , xn ) f n ( x ) .
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3. 统计量与统计值
若 X1 , X2 , …，Xn 构成总体 X 的一个样本, 且该样本 的函数 g (X1 , X2 , …，Xn) 完全不含总体中的未知分布 参数, 那么这种完全不含总体未知参数的样本函数就被称 作统计量. 因为统计量依然是随机变量, 所以统计量的具体取值也 用与该统计量同名的小写字母表示, 而且被称为该统计量 的统计值.
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( X Y ) ( 1 2 ) Sw
1 n1

X 是该样本的样本均值.
n n 2 i 1 i 1
离差平方和简化计算恒等式
( X i X ) = X i2 nX 2
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实践中最常使用的统计量（含统计值）有如下三种： 3. 样本原点矩 Ak 与样本中心矩 Bk
1 n Ak X i k , k 1, 2, 3, n i 1 1 n Bk ( X i X )k , k 1, 2, 3, n i 1 其中, ( X1 , X2 , …，Xn ) 是总体 X 中容量为 n 的样本.
则商变量
t

自由度
n 可以证明 E (T ) 0 , D(T )
X Y
~ t ( n)
n (n 2) . n2
2 标准正态量与 量除以其自由度的平方根的商是 t 变量:
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（基于标准正态量的统计学常用分布）
2 量方根之商的分布) 3. t 分布(标准正态量与
2) 还可证明, t (n) 的概率密度