导体、绝缘体和半导体的能带论

导体、绝缘体和半导体的能带论

.1. 能带的填充与导电性. ()()E k E k =−K K

(1) 22()2k E k m

=+K =Δ (2) E 是k 的偶函数，v(k)是k 的奇函数。在电场下，/dk eE τ=−K K =

对满带，k 与-k 的电子数相等，I = 0 。

图1

.2. 金属、绝缘体和半导体

a) 对Ag ，Au ，Cu 及碱金属， 每原子含一个价电子。

b) 碱土金属，二个价电子，对一维情况能带填满，为绝缘体；三维晶体各方向上带宽不等的能带产生重迭，结果仍然是金属。

c) 对Al ，S ，P 等，p 带半满。 d) 对C ，Si ，Ge 等，半导体。

图2

.3. 空穴的慨念

在能带中空的轨道常叫空穴。空穴在外电场和外磁场的作用下就象带正电+e 一样。我们通过以下五步来说明： 1) k k k =−K K e （3） 对于满带，电子的总波矢为零，0k =∑K

，此结果是从布里渊区的几何对称性得到的：即对每一个基本类型的格子，都存在着关于任一格点的反演对称性（）；从而倒格子及布里渊区亦存在着反演对称性。如果能带中所有的轨道对都被填满，则总波矢为零。 r →−K K r 如果轨道中一个波矢为的电子逸失，则系统的总波矢为-，这也就是空穴的波矢。结果令人吃惊：电子从e k K e k K

e k K

处逸失，于是在色散关系图中（图4）空穴亦处于的位置。但是空穴真实的波矢e k K k k e k =−K K ，亦即如果空穴中图中的E 点， 则其波矢在图中的G 点。空穴波矢-e k K

加入到光子吸收的选择定则中。 空穴是能带中一个电子逸失后的另一种描述， 我们要么说空穴具有波矢

-，要么说一个电子逸失后能带的总波矢为-e k K e k K

。

图4

2) ()()k k e e E k E k =−K K ) (4)

令价带带顶的能量值为零。在此价带中电子逸失的能量越低，则系统的能量越高。因为从能带中一个低能量的轨道移走一个电子所要做的功比从高能量轨道中移走一个电子的大，所以空穴的能量与逸失电子的能量符号相反。于是如果能带是对称的话，有()()()(e e e e k e k k E k E k E k E k =−=−−=−K K K K 。于是为空穴构造如图5的能带草图，它反映出空穴的性质。

3) (5) k v v =K K e 空穴的速度等于逸失电子的速度，从图5，显然有()()k k e e E k E k ∇=∇K K

，即

()()k k e e v k v k =K K

K K 4) (6)

**k m =−e m 因为2*22/()E m k

∂=∂=，电子价带为倒抛物形，空穴带为抛物形，二阶导数符号相反。在价带的顶部，电子有效质量为负，所以空穴有效质量为

正。

*e

m

图5 注意空穴带不是导带

【构造空穴带是阐述问题的关键。】

图6

5) (k k dk e E v B dt =+×K K K K =) (7)

此式来自于运动方程：(k e dk e E v B dt

)=−+×K K K K = (8)

图7 我们用逸失电子的-来取代式中的k k K e k K ；用k v K 来取代式中的，则得(7)式。

e v K 这就是空穴的运动方程，它与一个带正电粒子的运动方程一样。正电荷的图象与图6中价带电子携带的电流相符，即电流由在轨道G 未成对的电子携带。 ()[()][()]j ev G e v E e v E =−=−−=K K K K (9)

这正好是具有在E 处逸失电子速度的带正电荷的粒子的电流，如图7所示。

空穴（hole ）与空位（vacancy ）的区别:

空穴：k (状态)空间的一种状态空缺，是存在这一空缺的整个能带的描述，同其它电子一样，在真实空间的位置不确定；在k 空间的运动方向与其它电子相同；总带正电荷。

空位：真实空间中格点(原子实)的空缺；在真实空间以跳跃的方式运动，(实际上的其它原子实的跳跃运动，而非其它原子实或晶格的总体运动)；不总带正电荷(可正可负)。

引入空穴的另一种途径：这种途径相对简单，但没有给出空穴的能带图像。

设想在满带中有某一个状态k K

未被电子占据，此时能带是一满的，在电场的作用下，应有电流产生，用k I K K 来表示。如果引入一个电子填补这个空的状

态，这个电子的电流等于－()ev k K

K 。引入这个电子后，能带又被电子充满，

总的电流应为零。所以：[()]k I ev k +−=K 0K K K 即： ()k I ev k =K K K K 此式说明，当状态是空的时，能带中的电流就象是由一个正电荷e 所产生的，而其运动的速度等于处在状态k K

k K 的电子运动的速度，这种空的状态称为空穴。

()v k K

K 在电磁场的作用下，空穴的位置的变化和周围电子的能态变化是一样的。（注意这里所说的变化是指空间的状态变化，而不是坐标空间中的位置变

化。）就如同坐标空间前进队伍中缺少了一个人，这个空位可以随着前进队伍

一起运动一样。空状态的变化规律为 k K

k K

11{[k dk eE e E B dt =−−∇×K K K K ==]} 由于满带顶的电子比较容易受热而激发到导带，因此空穴多位于带顶。在能带顶附近电子的有效质量是负的，即在能带顶的电子的加速度犹如一个具有质量－m k (m * = - m k <0)的粒子，

()1111{[]}{[]}k k k k dv k eE e E B eE e E B dt m m =−−−∇×=+∇×K K K K K K K ==

K (10) 上式犹如一个具有正电荷e 、正质量m h 的粒子在电磁场中运动所产生的加速度，因此空穴的运动规律和一个带正电荷e 、正质量m h 的粒子的运动规律完全相同。

有了空穴的图像后，我们就可以解释为什么有的晶体的霍尔系数是正的。 〖能带理论取得相当成功，它是半导体物理，光电物理及技术的基础，但也有它的局限性：

1. 对某些过渡金属化合物晶体，其价电子的迁移率甚小，相应的自由程约与

晶格间距相当，这种情况就不能把价电子看作是晶体中所有原子共有的，周期场的描述失去意义，此时能带理论不适用了。

2. 非晶固体只有短程序，液态金属也只有短程序，它们的电子能谱显然都不

是长程序的周期场的结果

3. 从多体问题的角度来看，电子之间的相互作用不能简单地用平均场代替，

a) 对强关联系统， 必须计及电子与电子之间的相互作用; b) 费米液体系统，电子与电子之间弱相互作用，集体运动; c) 电子与晶格之间的相互作用（极化声子）

.4. 能态密度