(推荐下载)解析几何第三章知识点325

证 先证(3.8－1)表示过L 的平面.
(3.8－1)即为(λ+μ )x ＋(λ+μ )y ＋(λ+μ )z ＋λ＋μ = 01A 2A 1B 2B 1C 2C 1D 2D 上式中x ，y ，z 的系数必不全为零，若不然，则有
－μ：λ =：=：= ：1A 2A 1B 2B 1C 2
C 这与与相交的假设矛盾. 故表示(3.8－1)一平面π，π显然通过与的交线L .
1π2π1π2π再证明对于过L 的任一平面π，必存在不全为零的实数λ，μ，使π的方程为(3.8－1). 首先，若π是，取λ = 1，μ = 0；若π是，取λ = 0，μ =1即可.
1π2π一般地，若π≠，i = 1，2，取π上一点A (a ，b ，c )L ，则由于(3.8－1)表示的平面要通i π∉过L 的条件是
λ (a +b +c +)＋μ (a +b +c +) = 0
1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 即λ：μ =－(a +b +c +) ：(a +b +c +)2A 2B 2C 2D 1A 1B 1C 1D 不妨取
λ =－(a +b +c +)，μ =a +b +c +2A 2B 2C 2D 1A 1B 1C 1
D 则由于A 不在L 上，λ 和 μ 不全为零，因而过L 且过A 的平面π 的方程必可写成(3.8－1)的形式.
例 求过二平面4x －y ＋3z －1 = 0与x ＋5y －z ＋2 = 0的交线，且过原点的平面的方程. 解 略（讲解时实推）. 定理3.8.2 如果两个平面
π1：x ＋y ＋z ＋= 0
1A 1B 1C 1D （1）
π2：x ＋y ＋z ＋= 0 2A 2B 2C 2D （2）
为平行平面，那么方程
λ(x ＋y ＋z ＋)＋μ (x ＋y ＋z ＋) = 0
1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D (3.8－1)
为平行平面束，平面束中任一平面都和π1或π2平行. 式中λ 和 μ 是不全为零的任意实数，且
－μ ：λ≠A 1 ：A 2 = B 1 ：B 2 = C 1 ：C 2
定理3.8. 3 平行于平面π：Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0的所有平面的方程可表为
Ax ＋By ＋Cz ＋λ = 0
(3.8－2)
例 求与平面3x ＋y －z ＋4 = 0平行，且在z 轴的截距等于－6的平面的方程. 解 设所求的平面是3x ＋y －z ＋t = 0，则由于点 (0，0，－6) 在平面上，有
t ＋6 = 0, t =－6
所求的平面方程为3x ＋y －z －6 = 0
2．平面把（平面汇）
定义3.8.3 空间中过一定点的所有平面的集合称为平面把，称为把心. 0M 0M 定理3.8.4 过定点(，，)的所有平面的方程为
0M 0x 0y 0z A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C (z －z 0) = 0
(3.8－3)
其中A ，B ，C 是任意不全为零的实数.
更一般地，我们有
定义3.8.3 空间中过一定点的所有平面的集合称为平面把，称为把心. 0M 0M 定理3.8. 5 过定点(，，)的所有平面的方程为
0M 0x 0y 0z A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C (z －z 0) = 0
(3.8－4)
其中A ，B ，C 是任意不全为零的实数.
定理3.8. 6 对任意不全为0的λ , μ，ν，方程
)()()(333322221111=+++++++++++D z C y B x A D z C y B x A D z C y B x A νμλ (3.8－5)
表示过三平面
：, 3
i π2,1,0==+++i D z C y B x A i i i i 的（惟一）交点(，，)的一个平面π；反之，对任意过的平面π，必存在不全为0M 0x 0y 0z 0M 零的λ , μ，ν，使π 的方程为(3.8－4).。