(推荐下载)解析几何第三章知识点325
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证 先证(3.8-1)表示过L 的平面.
(3.8-1)即为(λ+μ )x +(λ+μ )y +(λ+μ )z +λ+μ = 01A 2A 1B 2B 1C 2C 1D 2D 上式中x ,y ,z 的系数必不全为零,若不然,则有
-μ:λ =:=:= :1A 2A 1B 2B 1C 2
C 这与与相交的假设矛盾. 故表示(3.8-1)一平面π,π显然通过与的交线L .
1π2π1π2π再证明对于过L 的任一平面π,必存在不全为零的实数λ,μ,使π的方程为(3.8-1). 首先,若π是,取λ = 1,μ = 0;若π是,取λ = 0,μ =1即可.
1π2π一般地,若π≠,i = 1,2,取π上一点A (a ,b ,c )L ,则由于(3.8-1)表示的平面要通i π∉过L 的条件是
λ (a +b +c +)+μ (a +b +c +) = 0
1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 即λ:μ =-(a +b +c +) :(a +b +c +)2A 2B 2C 2D 1A 1B 1C 1D 不妨取
λ =-(a +b +c +),μ =a +b +c +2A 2B 2C 2D 1A 1B 1C 1
D 则由于A 不在L 上,λ 和 μ 不全为零,因而过L 且过A 的平面π 的方程必可写成(3.8-1)的形式.
例 求过二平面4x -y +3z -1 = 0与x +5y -z +2 = 0的交线,且过原点的平面的方程. 解 略(讲解时实推). 定理3.8.2 如果两个平面
π1:x +y +z += 0
1A 1B 1C 1D (1)
π2:x +y +z += 0 2A 2B 2C 2D (2)
为平行平面,那么方程
λ(x +y +z +)+μ (x +y +z +) = 0
1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D (3.8-1)
为平行平面束,平面束中任一平面都和π1或π2平行. 式中λ 和 μ 是不全为零的任意实数,且
-μ :λ≠A 1 :A 2 = B 1 :B 2 = C 1 :C 2
定理3.8. 3 平行于平面π:Ax +By +Cz +D = 0的所有平面的方程可表为
Ax +By +Cz +λ = 0
(3.8-2)
例 求与平面3x +y -z +4 = 0平行,且在z 轴的截距等于-6的平面的方程. 解 设所求的平面是3x +y -z +t = 0,则由于点 (0,0,-6) 在平面上,有
t +6 = 0, t =-6
所求的平面方程为3x +y -z -6 = 0
2.平面把(平面汇)
定义3.8.3 空间中过一定点的所有平面的集合称为平面把,称为把心. 0M 0M 定理3.8.4 过定点(,,)的所有平面的方程为
0M 0x 0y 0z A (x -x 0)+B (y -y 0)+C (z -z 0) = 0
(3.8-3)
其中A ,B ,C 是任意不全为零的实数.
更一般地,我们有
定义3.8.3 空间中过一定点的所有平面的集合称为平面把,称为把心. 0M 0M 定理3.8. 5 过定点(,,)的所有平面的方程为
0M 0x 0y 0z A (x -x 0)+B (y -y 0)+C (z -z 0) = 0
(3.8-4)
其中A ,B ,C 是任意不全为零的实数.
定理3.8. 6 对任意不全为0的λ , μ,ν,方程
)()()(333322221111=+++++++++++D z C y B x A D z C y B x A D z C y B x A νμλ (3.8-5)
表示过三平面
:, 3
i π2,1,0==+++i D z C y B x A i i i i 的(惟一)交点(,,)的一个平面π;反之,对任意过的平面π,必存在不全为0M 0x 0y 0z 0M 零的λ , μ,ν,使π 的方程为(3.8-4).。