第一章 (全)力学基本定律解析

v10
v20
恢复系数
v1
v2
f1
f2
m1
m2
m1 m2
碰撞时系统动量守恒
m1
m2
m1v1 m2v2 m1v10 m2v20
e v2 v1 v10 v20
恢复系数: 碰撞后两球的分离速度 与碰撞前两球的接近速度的比值
v1
v10
(1
e)m2 (v10 m1 m2
v20 )
v2
v20
(1
非弹性碰撞： Ek<0
碰撞过程中两球的机械能（动能）要损失一部分。
完全非弹性碰撞： Ek<0且绝对值最大
两球碰后合为一体，以共同的速度运动。
按碰撞前后速度之间关系分为:
正碰：两球碰撞前的速度在两球的中心连线上。 那么，碰撞时相互作用的力和碰后的速度也 都在这一连线上。（对心碰撞）
斜碰：两球碰撞前的速度不在两球的中心连线上。
如果 F Fi外 0
n
则有: p mivi c
i 1
若质点系所受合外力为零， 则质点系的总动量保持不变。
dP
F
dt
注意(1)使用时要注意定理的条件：
Fi外 0 惯性系
(3)常用分量式：
Fix 0
i
mivix 恒量
Fiy 0
i
miviy 恒量
Fiz 0
miviz 恒量
)
(v10
v20 )2
v1
v2
m2v20 m1v10 m1 m2
0 e 1 一般的非弹性碰撞
1-6 刚体的定轴转动
实际的物体运动不总是可以看成质点的运动
何谓刚体?
在任何情况下形状和大小都不发生变化的力学 研究对象。即每个质元之间的距离无论运动或 受外力时都保持不变。
ri j c
mj
mi
刚体运动的两种基本形式
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平
行的运动
A
A
B
A
B
平动：用质心运动讨论
B
转动：对点、对轴
转轴
O’
定轴转动：各质元均作圆周
运动，其圆心都在一条固定
不动的直线（转轴）上。
O
刚体的一般运动
既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动
蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示为 一个随质心的平动加上绕质心的转动。
P1
i
pi2
i
pi1
n
Ii P2 P1 质点系的动量定理.
i 1
质点系的动量定理:质点系所受外力的总冲量等于质 点系的总动量的增量
n
Ii P2 P1
i1 注意:只有质点系的外力才能改变质点系的总动量.内
力虽能改变质点系个别质点的动量，但不能改变质
点系的总动量。
四、质点系的动量守恒定理
d
dt
d 2
dt 2
d
dt
v r
v r
加速转动 减速转动
方向一致 方向相反
r
v
a r
an
v2 r
r 2
二 、刚体的转动动能 转动惯量
ຫໍສະໝຸດ BaiduE ki
1 2
mivi 2
1 2
miri 2 2
r mi
M
Ek
i
(1 2
mi ri 2
2
)
1 2
(
miri2 ) 2
——质点的动量定理
应用动量定理注意: 1、 因果关系; 2 矢量性：1）冲量矢量总等于质点在始末状态的动量矢量增量
2）写成分量式时，任何分量只改变它自己方向上的动量 分量。
分量表示式
I x
t2 t1
Fx
dt
mv 2 x
mv 1 x
I y
F t2
t1
y
dt
mv 2 y
mv1 y
Iz
t2 t1
i
这说明哪个方向所受的合力为零，则哪个方向的动量守恒。
(4)过程中系统内力比外力大很多时，动量近似守恒
例一、如图，车在光滑水平面上运动。已知m、M、l v0
人逆车运动方向从车头经t 到达车尾。
求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；
2、车的运动路程；
3、若人以变速率运动， 上述结论如何？
o l 解：以人和车为研究
系统，取地面为参照
系。水平方向系统动
量守恒。
•
(M m)v0 Mv m(u v)
m
u
v0
M
x
•
v
(M m)v0 Mv m(u v)
(M m)v0 Mv m(u v)
1、
m
ml
v v0 M m u v0 M m t
2、
s
vt
(v0
m M
m
l t
)t
v0t
m M
1-5 动量 冲量 动量守恒定律
一、动量 （描述质点运动状态，矢量）
质点的动量 质点系的动量
p mv
p pi mivi
二、质点的动量定理
F
d (mv )
dp
dt dt
元冲量
动量定理的微分形式
动量定理的微分形式
其中令
I
t2
Fdt
t1
称为力的冲量.
动量定理的积分形式
作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量
一、刚体定轴转动的运动描述
转动平面
P
X
参考 转轴 方向
P X
Q
X
各质元(在转动平面内绕平面与转轴的交点做圆 周运动)的线速度、加速度一般不同，
但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同
描述刚体整体的运动用角量最方便。
角位移,符号约定:沿逆时针转动取正,反之取负
d
dt
角速度方向规定为沿轴方向， 指向用右手螺旋法则确定。
Fz
dt
mv 2z
mv 1 z
三、质点系的动量定理
设有两个质点系m1、m2
受外力：
m1
受内力：
m2
对质点
“1”
d(
d(
p1 dt p1
dt
p2 ) p2 )
F1 F1
F2 F2
对质点“2” dp2
dt
F2
f
f f
一般言之：设有N个质点，则：
d dt
(
p1
p2
pn )
m
l
3、
m v v0 M m u
m
u
o s
t
vdt
0
t 0
(v0
mu )dt M m
v0t
m M
m
l
•
M
x
v0
•l
v
五、碰撞
物体在短时间内发生相互作用的过程。
碰撞过程的特点：1、各个物体的动量明显改变。 2、系统的总动量守恒。
按能量变化分为:
弹性碰撞：Ek=0
碰撞过程中两球的机械能（动能）完全没有损失。
F1
F2
Fn
令:
p
p1
p2
pn
F F1 F2 Fn
则有:
dP
F
或:
dt
Fdt dP
动量定理的微分形式.
d dt
(
p1
p2
pn )
F1
F2
Fn
(t2 t1
F1
F2
Fn
)dt
P2
dP
P1
t2 t1 i
Fi外dt
P2
dP
e)m1(v20 v10 ) m1 m2
Ek
(1 e2 )m1m2 2(m1 m2 )
(v10
v20 )2
e 1时，EK 0，弹性碰撞
v1
(m1
m2 )v10 2m2v20) m1 m2
v2
(m2
m1)v20 2m1v10) m1 m2
e 0 完全非弹性碰撞
Ek
m1m2 2(m1 m2