高考数学(人教a版-理科)题库：直线与圆锥曲线的位置关系(含答案)

第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系

一、选择题

1．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋1

2＝0的距离等于

( )．

B ．2

D ．4

解析 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线

y 2＝x

的焦点⎝ ⎛⎭

⎪⎫

14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是7

4＋12＝94. 答案 C

2．设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为

( )．

:

解析 由于直线与椭圆的两交点A ，B 在x 轴上的射影分别为左、右焦点F 1，

F 2，故|AF 1|＝|BF 2|＝b 2

a ，设直线与x 轴交于C 点，又直线倾斜角θ的正切值为22，结合图形易得tan θ＝22＝|AF 1||CF 1|＝|BF 2||CF 2|，故|CF 1|＋|CF 2|＝22

b 2a ＝

|F 1F 2|＝2c ，整理并化简得2b 2＝2(a 2－c 2)＝ac ，即2(1－e 2)＝e ，解得e ＝2

2. 答案 C

3．抛物线y 2＝2px 与直线2x ＋y ＋a ＝0交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F ，则|FA |＋|FB |的值等于

( )．

A．7 B．3 5 C．6 D．5

解析点A(1,2)在抛物线y2＝2px和直线2x＋y＋a＝0上，则p＝2，a＝－4，F(1,0)，则B(4，－4)，故|FA|＋|FB|＝7.

答案A

4．设双曲线x2

a2－

y2

b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过

F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝()．

>

A．1＋2 2 B．4－22

C．5－2 2 D．3＋22

解析如图，设|AF 1|＝m，则|BF1|＝2m，

|AF2|＝m－2a，|BF2|＝2m－2a，∴|AB|＝

|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋2m－2a＝m，得m＝

22a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，可得m2

＋(m－2a)2＝4c2，即得(20－82)a2＝4c2，∴e2

＝c2

a2＝5－22，故应选C.

答案C

5．已知直线l：y＝k(x－2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|＝2|BF|，则k的值是()．

C．2 2

解析法一据题意画图，作AA 1⊥l′，BB1⊥l′，

BD⊥AA1.

设直线l的倾斜角为θ，|AF|＝2|BF|＝2r，

》

则|AA1|＝2|BB1|＝2|AD|＝2r，

所以有|AB|＝3r，|AD|＝r，

则|BD|＝22r，k＝tan θ＝tan∠BAD＝|BD| |AD|＝

2 2.

法二直线y＝k(x－2)恰好经过抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，由

⎩⎨

⎧

y 2＝8x ，y ＝k x －2

，

可得ky 2－8y －16k ＝0，因为|FA |＝2|FB |，所以y A ＝－2y B .

则y A ＋y B ＝－2y B ＋y B ＝8k ，所以y B ＝－8

k ，y A ·y B ＝－16，所以－2y 2B ＝－16，即y B ＝±2 2.又k >0，故k ＝2 2. 答案 C

6．过双曲线x 2a 2－y 25－a 2

＝1(a >0)的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直

线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 ( )．

A ．(2，5)

B ．(5，10)

C ．(1，2)

D ．(5,52)

解析 令b ＝

5－a 2，c ＝

a 2＋

b 2，则双曲线的离心率为

e ＝c

a ，双曲线的渐

近线的斜率为±b

a .

{

据题意，2

a <3，如图所示． ∵b

a ＝e 2－1， ∴2

7．椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12，12平分，则这条弦所在的直线方程是________．

…

解析 设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.

∵A ，B 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1. 两式相减得：

x 1＋x 2

x 1－x 2

2

＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，

即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2， ∵x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1， ∴

y 1－y 2x 1－x 2

＝－12，即直线AB 的斜率为－1

2. ∴直线AB 的方程为y －12＝－12⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x －12，

|

即该弦所在直线的方程为2x ＋4y －3＝0. 答案 2x ＋4y －3＝0

8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C 的方程为________．

解析

由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧

c ＝2，b 2

a ＝1，

a 2＝

b 2＋

c 2，

解得⎩⎨⎧

a ＝2，

b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2

2＝1.

答案 x 24＋y 2

2＝1

9．过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________． 解析 由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴c 2＝2b 2，∴e ＝63.

—

答案 6

3

10．已知曲线x 2a －y 2

b ＝1(a ·b ≠0，且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a －1b

的值为________．