高考数学(人教a版-理科)题库:直线与圆锥曲线的位置关系(含答案)

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第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系

一、选择题

1.直线4kx -4y -k =0与抛物线y 2=x 交于A ,B 两点,若|AB |=4,则弦AB 的中点到直线x +1

2=0的距离等于

( ).

B .2

D .4

解析 直线4kx -4y -k =0,即y =k ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x -14,即直线4kx -4y -k =0过抛物线

y 2=x

的焦点⎝ ⎛⎭

⎪⎫

14,0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |=x 1+x 2+12=4,故x 1+x 2=72,则弦AB 的中点的横坐标是74,弦AB 的中点到直线x +12=0的距离是7

4+12=94. 答案 C

2.设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)交于不同的两点,且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为

( ).

:

解析 由于直线与椭圆的两交点A ,B 在x 轴上的射影分别为左、右焦点F 1,

F 2,故|AF 1|=|BF 2|=b 2

a ,设直线与x 轴交于C 点,又直线倾斜角θ的正切值为22,结合图形易得tan θ=22=|AF 1||CF 1|=|BF 2||CF 2|,故|CF 1|+|CF 2|=22

b 2a =

|F 1F 2|=2c ,整理并化简得2b 2=2(a 2-c 2)=ac ,即2(1-e 2)=e ,解得e =2

2. 答案 C

3.抛物线y 2=2px 与直线2x +y +a =0交于A ,B 两点,其中点A 的坐标为(1,2),设抛物线的焦点为F ,则|FA |+|FB |的值等于

( ).

A.7 B.3 5 C.6 D.5

解析点A(1,2)在抛物线y2=2px和直线2x+y+a=0上,则p=2,a=-4,F(1,0),则B(4,-4),故|FA|+|FB|=7.

答案A

4.设双曲线x2

a2-

y2

b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过

F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2=().

>

A.1+2 2 B.4-22

C.5-2 2 D.3+22

解析如图,设|AF 1|=m,则|BF1|=2m,

|AF2|=m-2a,|BF2|=2m-2a,∴|AB|=

|AF2|+|BF2|=m-2a+2m-2a=m,得m=

22a,又由|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,可得m2

+(m-2a)2=4c2,即得(20-82)a2=4c2,∴e2

=c2

a2=5-22,故应选C.

答案C

5.已知直线l:y=k(x-2)(k>0)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|AF|=2|BF|,则k的值是().

C.2 2

解析法一据题意画图,作AA 1⊥l′,BB1⊥l′,

BD⊥AA1.

设直线l的倾斜角为θ,|AF|=2|BF|=2r,

则|AA1|=2|BB1|=2|AD|=2r,

所以有|AB|=3r,|AD|=r,

则|BD|=22r,k=tan θ=tan∠BAD=|BD| |AD|=

2 2.

法二直线y=k(x-2)恰好经过抛物线y2=8x的焦点F(2,0),由

⎩⎨

y 2=8x ,y =k x -2

可得ky 2-8y -16k =0,因为|FA |=2|FB |,所以y A =-2y B .

则y A +y B =-2y B +y B =8k ,所以y B =-8

k ,y A ·y B =-16,所以-2y 2B =-16,即y B =±2 2.又k >0,故k =2 2. 答案 C

6.过双曲线x 2a 2-y 25-a 2

=1(a >0)的右焦点F 作一条直线,当直线斜率为2时,直

线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围是 ( ).

A .(2,5)

B .(5,10)

C .(1,2)

D .(5,52)

解析 令b =

5-a 2,c =

a 2+

b 2,则双曲线的离心率为

e =c

a ,双曲线的渐

近线的斜率为±b

a .

{

据题意,2

a <3,如图所示. ∵b

a =e 2-1, ∴2

7.椭圆x 22+y 2=1的弦被点⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12,12平分,则这条弦所在的直线方程是________.

解析 设弦的两个端点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),

则x 1+x 2=1,y 1+y 2=1.

∵A ,B 在椭圆上,∴x 212+y 21=1,x 222+y 22=1. 两式相减得:

x 1+x 2

x 1-x 2

2

+(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,

即y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x 22y 1+y 2, ∵x 1+x 2=1,y 1+y 2=1, ∴

y 1-y 2x 1-x 2

=-12,即直线AB 的斜率为-1

2. ∴直线AB 的方程为y -12=-12⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x -12,

|

即该弦所在直线的方程为2x +4y -3=0. 答案 2x +4y -3=0

8.已知椭圆C :x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0),F (2,0)为其右焦点,过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C 的方程为________.

解析

由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧

c =2,b 2

a =1,

a 2=

b 2+

c 2,

解得⎩⎨⎧

a =2,

b =2,∴椭圆C 的方程为x 24+y 2

2=1.

答案 x 24+y 2

2=1

9.过椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ,与y 轴的交点为B ,若|AM |=|MB |,则该椭圆的离心率为________. 解析 由题意知A 点的坐标为(-a,0),l 的方程为y =x +a ,∴B 点的坐标为(0,a ),故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫-a 2,a 2,代入椭圆方程得a 2=3b 2,∴c 2=2b 2,∴e =63.

答案 6

3

10.已知曲线x 2a -y 2

b =1(a ·b ≠0,且a ≠b )与直线x +y -1=0相交于P ,Q 两点,且OP →·OQ →=0(O 为原点),则1a -1b

的值为________.

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