高考数学(人教a版-理科)题库:直线与圆锥曲线的位置关系(含答案)
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第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
1.直线4kx -4y -k =0与抛物线y 2=x 交于A ,B 两点,若|AB |=4,则弦AB 的中点到直线x +1
2=0的距离等于
( ).
B .2
D .4
解析 直线4kx -4y -k =0,即y =k ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x -14,即直线4kx -4y -k =0过抛物线
y 2=x
的焦点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14,0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |=x 1+x 2+12=4,故x 1+x 2=72,则弦AB 的中点的横坐标是74,弦AB 的中点到直线x +12=0的距离是7
4+12=94. 答案 C
2.设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)交于不同的两点,且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为
( ).
:
解析 由于直线与椭圆的两交点A ,B 在x 轴上的射影分别为左、右焦点F 1,
F 2,故|AF 1|=|BF 2|=b 2
a ,设直线与x 轴交于C 点,又直线倾斜角θ的正切值为22,结合图形易得tan θ=22=|AF 1||CF 1|=|BF 2||CF 2|,故|CF 1|+|CF 2|=22
b 2a =
|F 1F 2|=2c ,整理并化简得2b 2=2(a 2-c 2)=ac ,即2(1-e 2)=e ,解得e =2
2. 答案 C
3.抛物线y 2=2px 与直线2x +y +a =0交于A ,B 两点,其中点A 的坐标为(1,2),设抛物线的焦点为F ,则|FA |+|FB |的值等于
( ).
A.7 B.3 5 C.6 D.5
解析点A(1,2)在抛物线y2=2px和直线2x+y+a=0上,则p=2,a=-4,F(1,0),则B(4,-4),故|FA|+|FB|=7.
答案A
4.设双曲线x2
a2-
y2
b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过
F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2=().
>
A.1+2 2 B.4-22
C.5-2 2 D.3+22
解析如图,设|AF 1|=m,则|BF1|=2m,
|AF2|=m-2a,|BF2|=2m-2a,∴|AB|=
|AF2|+|BF2|=m-2a+2m-2a=m,得m=
22a,又由|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,可得m2
+(m-2a)2=4c2,即得(20-82)a2=4c2,∴e2
=c2
a2=5-22,故应选C.
答案C
5.已知直线l:y=k(x-2)(k>0)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|AF|=2|BF|,则k的值是().
C.2 2
解析法一据题意画图,作AA 1⊥l′,BB1⊥l′,
BD⊥AA1.
设直线l的倾斜角为θ,|AF|=2|BF|=2r,
》
则|AA1|=2|BB1|=2|AD|=2r,
所以有|AB|=3r,|AD|=r,
则|BD|=22r,k=tan θ=tan∠BAD=|BD| |AD|=
2 2.
法二直线y=k(x-2)恰好经过抛物线y2=8x的焦点F(2,0),由
⎩⎨
⎧
y 2=8x ,y =k x -2
,
可得ky 2-8y -16k =0,因为|FA |=2|FB |,所以y A =-2y B .
则y A +y B =-2y B +y B =8k ,所以y B =-8
k ,y A ·y B =-16,所以-2y 2B =-16,即y B =±2 2.又k >0,故k =2 2. 答案 C
6.过双曲线x 2a 2-y 25-a 2
=1(a >0)的右焦点F 作一条直线,当直线斜率为2时,直
线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围是 ( ).
A .(2,5)
B .(5,10)
C .(1,2)
D .(5,52)
解析 令b =
5-a 2,c =
a 2+
b 2,则双曲线的离心率为
e =c
a ,双曲线的渐
近线的斜率为±b
a .
{
据题意,2
a <3,如图所示. ∵b
a =e 2-1, ∴2 7.椭圆x 22+y 2=1的弦被点⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 12,12平分,则这条弦所在的直线方程是________. … 解析 设弦的两个端点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=1,y 1+y 2=1. ∵A ,B 在椭圆上,∴x 212+y 21=1,x 222+y 22=1. 两式相减得: x 1+x 2 x 1-x 2 2 +(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0, 即y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x 22y 1+y 2, ∵x 1+x 2=1,y 1+y 2=1, ∴ y 1-y 2x 1-x 2 =-12,即直线AB 的斜率为-1 2. ∴直线AB 的方程为y -12=-12⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ x -12, | 即该弦所在直线的方程为2x +4y -3=0. 答案 2x +4y -3=0 8.已知椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0),F (2,0)为其右焦点,过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C 的方程为________. 解析 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧ c =2,b 2 a =1, a 2= b 2+ c 2, 解得⎩⎨⎧ a =2, b =2,∴椭圆C 的方程为x 24+y 2 2=1. 答案 x 24+y 2 2=1 9.过椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ,与y 轴的交点为B ,若|AM |=|MB |,则该椭圆的离心率为________. 解析 由题意知A 点的坐标为(-a,0),l 的方程为y =x +a ,∴B 点的坐标为(0,a ),故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭ ⎪⎫-a 2,a 2,代入椭圆方程得a 2=3b 2,∴c 2=2b 2,∴e =63. — 答案 6 3 10.已知曲线x 2a -y 2 b =1(a ·b ≠0,且a ≠b )与直线x +y -1=0相交于P ,Q 两点,且OP →·OQ →=0(O 为原点),则1a -1b 的值为________.