高等数学第五章第5节反常积分收敛性判别
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x a 0
第 五 章 定 积 分
M M 0 及 q 1，使得 f ( x ) ( a x b ), 则 q ( x a) 瑕积分
b
a
f ( x )dx 收敛；若存在常数N 0 及 q 1，
N 使得 f ( x ) ( a x b ), 则瑕积分 q ( x a) 发散 .
f ( x ) g( x )
(1) 若 g( x )dx 收敛, 则 f ( x )dx 一定收敛; a a (2) 若
b
b
a f ( x )dx 发散, 则 a g( x )dx 一定发散.
- 10 -
b
b
第五节
反常积分收敛性判别法
定理8 (比较审敛法2) 设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b] 上连续，且 f ( x ) 0, lim f ( x ) .如果存在常数
第 五 章 定 积 分
且 0 f ( x ) g( x ) (a x ), 则 [a , ) 连续， 则无穷积分 （1） 如果无穷积分 g( x )dx 收敛，
a
a
f ( x )dx 也收敛； f ( x )dx 也发散。
a
则无穷积分 （2） 如果无穷积分 a g( x )dx 发散，
a
f ( x )dx 2 ( x )dx f ( x ) dx,
a a a
b
b
b
即
a
f ( x )dx 2 ( x )dx
a
-8-
a
f ( x ) dx.
收敛.
第五节
反常积分收敛性判别法
定义1 设函数f ( x )在区间[a , )连续，如果积 分 | f ( x ) | dx收敛，则称无穷积分
根据极限审敛法2，所给广义积分发散．
arctan x dx 的收敛性. 例４ 判别广义积分 1 x arctan x lim arctan x , 解 lim x x x x 2
根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
-7-
第五节
反常积分收敛性判别法
定理5 设函数 f ( x ) 在区间 [a , ) 上连续，如果
x
a
f ( x )dx
发散．
例２ 判别广义积分
2
1
dx 的收敛性. 2 x 1 x
1 解 lim x 1, 2 x x 1 x
所以，此广义积分收敛．
-6-
第五节
反常积分收敛性判别法
3/ 2
第 五 章 定 积 分
x dx 的收敛性. 例３ 判别广义积分 2 1 1 x x3/ 2 x2 x , lim 解 lim x 2 2 x 1 x x 1 x
x b
第 五 章 定 积 分
在区间 ( a , b] 上有界，则瑕积分 f ( x )dx 一定收敛。 a 定理7 设函数 f ( x ), g( x ) 在区间 ( a , b] 上连续， 且 f ( x ) 0, g( x ) 0, x a 为函数 f ( x ), g( x ) 的瑕点， 如果存在常数 c(a c b), 使得当 x (a , c ] 时，有
第五节
反常积分收敛性判别法
第五节
反常积分收敛性判别法
一 无穷积分的审敛法
第 五 章 定 积 分
二 瑕积分的审敛法 三 ---函数
-1-
第五节
反常积分收敛性判别法
一
无穷积分的审敛法
第 五 章 定 积 分
不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判 定方法. 并且 定理1 设函数 f ( x ) 在区间 [a , ) 上连续，
所以 F ( x ) 在 [a , )上是不减的, 又由 F ( x ) 是有界的, 由单调有界原理知 lim F ( x ) 存在,即无穷积分收敛.
-2-
x1
f ( x )dx 0
第五节
反常积分收敛性判别法
由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积分有以 下比较收敛原理． 定理2（比较审敛法） 设函数 f ( x ), g( x ) 在区间
f ( x ) 0, 若函数 F ( x ) f ( t )dt 在区间 [a , ) 上有
a x
界， 则无穷积分
a
f ( x )dx 收敛。
x2
证 因为 f ( x ) 0, 所以当 x2 x1 a 时,
F ( x2 ) F ( x1 )
x
0
e x dx 对 s 0 均收敛 .
o s
x
s 1
１．递推公式 ( s 1) s( s ) ( s 0). ２．当 s 0 时， ( s ) . 3．余元公式 ( s )(1 s ) (0 s 1). sins x s 1 ４．在 ( s ) e x dx 中，作代换 x u2，
2.当 s 1 0 时被积函数在点 x 0 的右领域内无界.
设 I1 e x dx, I 2 e x x s 1dx,
s 1 0 1
1 x
(1) 当 s 1 时, I1 是常义积分; 当 0 s 1 时,
1 1 1 e x 1 s x 1 s , x e x 而 1 s 1, 根据比较审敛法2, I1 收敛.
- 12 -
b
第五节
反常积分收敛性判别法
定义2
设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b] 上连续，且
b
f ( x ) 0, x a 为函数 f ( x ) 的瑕点，若瑕积分
第 五 章 定 积 分
收敛,
a | f ( x ) | dx b 则称瑕积分 a f ( x )dx 绝对收敛.
dx 例１ 判别广义积分 3 4 的收敛性. 1 x 1 1 1 1 4 解 0 , p 1, 4/ 3 4 4 3 3 x x 1 x 3 dx 根据比较审敛法１， 广义积分 3 4 收敛. 1 x 1
-5-
a
f ( x )dx 发散．
第五节
反常积分收敛性判别法
0
有 ( s ) 2 e
0
u2
u2 s 1du.
- 16 -
第 五 章 定 积 分
a
f ( x ) dx 收敛；则
a
f ( x )dx 也收敛．
1 证 令 ( x ) ( f ( x ) f ( x ) ). 2 ( x ) 0，且 ( x ) f ( x ) , f ( x )dx 收敛 ,
a
( x )dx 也收敛 . 但 f ( x ) 2 ( x ) f ( x ) ,
证 设 a b ，由 0 f ( x ) g( x )及
a
g( x )dx
收敛，得
a f ( x )dx a g( x )dx a
-3-
b
b
g( x )dx.
第五节
b a
反常积分收敛性判别法
由定理１知 即 F (b) f ( x )dx 在 [a ,) 上有上界．
0
e ax sin bx dx 收敛 . 所以所给广义积分收敛.
-9-
第五节
反常积分收敛性判别法
二 瑕积分的审敛法
定理6 设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b] 上连续，且 f ( x ) 的瑕点，若函数 f ( x ) 0, x a 为函数 b F ( x) f ( x)
根据比较审敛原理,
1 sin 1 x dx 也收敛． 从而 0 x
1 sin 1 x dx 收敛， 0 x
- 14 -
第五节
反常积分收敛性判别法
三 ---函数
定义 3
第 五 章 定 积 分
0
称函数( s ) e x x s 1dx ( s 0)为—函数.
特点: 1.积分区间为无穷;
所以有
-4-
定理3( 比较审敛法2) 设函数 f ( x ) 在区间 [a , )
第五节
反常积分收敛性判别法
第 五 章 定 积 分
(a 0) 上连续，且 f ( x ) 0. 如果存在常数 M 0 及 M p 1，使得 f ( x ) p (a x ), 则 f ( x )dx收敛； a x N 如果存在常数 N 0 ，使得 f ( x ) (a x )， x 则
b
a
f ( x )dx
- 11 -
第五节
反常积分收敛性判别法
定理9( 极限审敛法2) 设函数 f ( x ) 在区间(a , b] 上连续，且 f ( x ) 0, lim f ( x ) .如果存在常数
x a 0 q
0 q 1，使 lim ( x a ) f ( x ) 存在, 则瑕积分 f ( x )dx
x s 1
- 15 -
第五节
2 x
反常积分收敛性判别法
s 1 s 1
x ( 2) lim x (e x ) lim x 0, x x e ( s ) 根据极限审敛法1, I 2 也收敛. 由 (1), ( 2) 知
第 五 章 定 积 分
－函数的几个重要性质：
定理10 设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b] 上连续，且
f ( x ) 0, x a 为函数 f ( x ) 的瑕点，若瑕积分
b
a f ( x )dx
绝对收敛, 则 f ( x )dx 一定收敛. a
- 13 -
b
第五节
反常积分收敛性判别法
第 五 章 定 积 分
1 sin 3 x dx 的收敛性. 例7 判别广义积分 1 x 1 sin 1 dx 1 x ,而 收敛， 解 ０ x x x
定理4( 极限审敛法2) 设函数 f ( x ) 在区间 [a , ) (a 0) 上连续，且 f ( x ) 0. 如果存在常数 p 1， 使得 lim x f ( x ) 存在，则
x p
a
f ( x )dx 收敛；如果
第 五 章 定 积 分
x
lim xf ( x ) d 0 (或 lim xf ( x ) ), 则
x a 0 a
b
第 五 章 定 积 分
收敛；如果存在常数 q 1，使得 lim ( x a )q f ( x )
x a 0
d 0 (或 ), 则瑕积分 f ( x )dx 发散． a 3 dx 的收敛性. 例6 判别广义积分 1 ln x 解 被积函数在点 x 1 的左邻域内无界． 1 1 由洛必达法则知 lim ( x 1) lim 1 1 0, x 1 0 ln x x 1 0 x 根据极限审敛法2,所给广义积分发散.
a a
f ( x )dx为
第 五 章 定 积 分
绝对收敛 .
绝对收敛的广义积分
0
a
f ( x )dx 必定收敛．
ax 判别广义积分 e sin bxdx (a , b 是常数a 0) 例5
的收敛性.
解
e
0
ax
sin bx e
ax
,而 e axdx 收敛 .
a
第 五 章 定 积 分
f ( x )dx 收敛．
如果
a
假设 f ( x )dx 发散。
a
a
g( x )dx 收敛， 由
定理的第一部分可得
矛盾， 所以 f ( x )dx 收敛，
a
g( x )dx 发散。
由于无穷积分
a
当 p 1 时收敛； dx ( a 0) p x 当 P 1 时发散．
第 五 章 定 积 分
M M 0 及 q 1，使得 f ( x ) ( a x b ), 则 q ( x a) 瑕积分
b
a
f ( x )dx 收敛；若存在常数N 0 及 q 1，
N 使得 f ( x ) ( a x b ), 则瑕积分 q ( x a) 发散 .
f ( x ) g( x )
(1) 若 g( x )dx 收敛, 则 f ( x )dx 一定收敛; a a (2) 若
b
b
a f ( x )dx 发散, 则 a g( x )dx 一定发散.
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b
b
第五节
反常积分收敛性判别法
定理8 (比较审敛法2) 设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b] 上连续，且 f ( x ) 0, lim f ( x ) .如果存在常数
第 五 章 定 积 分
且 0 f ( x ) g( x ) (a x ), 则 [a , ) 连续， 则无穷积分 （1） 如果无穷积分 g( x )dx 收敛，
a
a
f ( x )dx 也收敛； f ( x )dx 也发散。
a
则无穷积分 （2） 如果无穷积分 a g( x )dx 发散，
a
f ( x )dx 2 ( x )dx f ( x ) dx,
a a a
b
b
b
即
a
f ( x )dx 2 ( x )dx
a
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a
f ( x ) dx.
收敛.
第五节
反常积分收敛性判别法
定义1 设函数f ( x )在区间[a , )连续，如果积 分 | f ( x ) | dx收敛，则称无穷积分
根据极限审敛法2，所给广义积分发散．
arctan x dx 的收敛性. 例４ 判别广义积分 1 x arctan x lim arctan x , 解 lim x x x x 2
根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
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第五节
反常积分收敛性判别法
定理5 设函数 f ( x ) 在区间 [a , ) 上连续，如果
x
a
f ( x )dx
发散．
例２ 判别广义积分
2
1
dx 的收敛性. 2 x 1 x
1 解 lim x 1, 2 x x 1 x
所以，此广义积分收敛．
-6-
第五节
反常积分收敛性判别法
3/ 2
第 五 章 定 积 分
x dx 的收敛性. 例３ 判别广义积分 2 1 1 x x3/ 2 x2 x , lim 解 lim x 2 2 x 1 x x 1 x
x b
第 五 章 定 积 分
在区间 ( a , b] 上有界，则瑕积分 f ( x )dx 一定收敛。 a 定理7 设函数 f ( x ), g( x ) 在区间 ( a , b] 上连续， 且 f ( x ) 0, g( x ) 0, x a 为函数 f ( x ), g( x ) 的瑕点， 如果存在常数 c(a c b), 使得当 x (a , c ] 时，有
第五节
反常积分收敛性判别法
第五节
反常积分收敛性判别法
一 无穷积分的审敛法
第 五 章 定 积 分
二 瑕积分的审敛法 三 ---函数
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第五节
反常积分收敛性判别法
一
无穷积分的审敛法
第 五 章 定 积 分
不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判 定方法. 并且 定理1 设函数 f ( x ) 在区间 [a , ) 上连续，
所以 F ( x ) 在 [a , )上是不减的, 又由 F ( x ) 是有界的, 由单调有界原理知 lim F ( x ) 存在,即无穷积分收敛.
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x1
f ( x )dx 0
第五节
反常积分收敛性判别法
由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积分有以 下比较收敛原理． 定理2（比较审敛法） 设函数 f ( x ), g( x ) 在区间
f ( x ) 0, 若函数 F ( x ) f ( t )dt 在区间 [a , ) 上有
a x
界， 则无穷积分
a
f ( x )dx 收敛。
x2
证 因为 f ( x ) 0, 所以当 x2 x1 a 时,
F ( x2 ) F ( x1 )
x
0
e x dx 对 s 0 均收敛 .
o s
x
s 1
１．递推公式 ( s 1) s( s ) ( s 0). ２．当 s 0 时， ( s ) . 3．余元公式 ( s )(1 s ) (0 s 1). sins x s 1 ４．在 ( s ) e x dx 中，作代换 x u2，
2.当 s 1 0 时被积函数在点 x 0 的右领域内无界.
设 I1 e x dx, I 2 e x x s 1dx,
s 1 0 1
1 x
(1) 当 s 1 时, I1 是常义积分; 当 0 s 1 时,
1 1 1 e x 1 s x 1 s , x e x 而 1 s 1, 根据比较审敛法2, I1 收敛.
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b
第五节
反常积分收敛性判别法
定义2
设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b] 上连续，且
b
f ( x ) 0, x a 为函数 f ( x ) 的瑕点，若瑕积分
第 五 章 定 积 分
收敛,
a | f ( x ) | dx b 则称瑕积分 a f ( x )dx 绝对收敛.
dx 例１ 判别广义积分 3 4 的收敛性. 1 x 1 1 1 1 4 解 0 , p 1, 4/ 3 4 4 3 3 x x 1 x 3 dx 根据比较审敛法１， 广义积分 3 4 收敛. 1 x 1
-5-
a
f ( x )dx 发散．
第五节
反常积分收敛性判别法
0
有 ( s ) 2 e
0
u2
u2 s 1du.
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第 五 章 定 积 分
a
f ( x ) dx 收敛；则
a
f ( x )dx 也收敛．
1 证 令 ( x ) ( f ( x ) f ( x ) ). 2 ( x ) 0，且 ( x ) f ( x ) , f ( x )dx 收敛 ,
a
( x )dx 也收敛 . 但 f ( x ) 2 ( x ) f ( x ) ,
证 设 a b ，由 0 f ( x ) g( x )及
a
g( x )dx
收敛，得
a f ( x )dx a g( x )dx a
-3-
b
b
g( x )dx.
第五节
b a
反常积分收敛性判别法
由定理１知 即 F (b) f ( x )dx 在 [a ,) 上有上界．
0
e ax sin bx dx 收敛 . 所以所给广义积分收敛.
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第五节
反常积分收敛性判别法
二 瑕积分的审敛法
定理6 设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b] 上连续，且 f ( x ) 的瑕点，若函数 f ( x ) 0, x a 为函数 b F ( x) f ( x)
根据比较审敛原理,
1 sin 1 x dx 也收敛． 从而 0 x
1 sin 1 x dx 收敛， 0 x
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第五节
反常积分收敛性判别法
三 ---函数
定义 3
第 五 章 定 积 分
0
称函数( s ) e x x s 1dx ( s 0)为—函数.
特点: 1.积分区间为无穷;
所以有
-4-
定理3( 比较审敛法2) 设函数 f ( x ) 在区间 [a , )
第五节
反常积分收敛性判别法
第 五 章 定 积 分
(a 0) 上连续，且 f ( x ) 0. 如果存在常数 M 0 及 M p 1，使得 f ( x ) p (a x ), 则 f ( x )dx收敛； a x N 如果存在常数 N 0 ，使得 f ( x ) (a x )， x 则
b
a
f ( x )dx
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第五节
反常积分收敛性判别法
定理9( 极限审敛法2) 设函数 f ( x ) 在区间(a , b] 上连续，且 f ( x ) 0, lim f ( x ) .如果存在常数
x a 0 q
0 q 1，使 lim ( x a ) f ( x ) 存在, 则瑕积分 f ( x )dx
x s 1
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第五节
2 x
反常积分收敛性判别法
s 1 s 1
x ( 2) lim x (e x ) lim x 0, x x e ( s ) 根据极限审敛法1, I 2 也收敛. 由 (1), ( 2) 知
第 五 章 定 积 分
－函数的几个重要性质：
定理10 设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b] 上连续，且
f ( x ) 0, x a 为函数 f ( x ) 的瑕点，若瑕积分
b
a f ( x )dx
绝对收敛, 则 f ( x )dx 一定收敛. a
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b
第五节
反常积分收敛性判别法
第 五 章 定 积 分
1 sin 3 x dx 的收敛性. 例7 判别广义积分 1 x 1 sin 1 dx 1 x ,而 收敛， 解 ０ x x x
定理4( 极限审敛法2) 设函数 f ( x ) 在区间 [a , ) (a 0) 上连续，且 f ( x ) 0. 如果存在常数 p 1， 使得 lim x f ( x ) 存在，则
x p
a
f ( x )dx 收敛；如果
第 五 章 定 积 分
x
lim xf ( x ) d 0 (或 lim xf ( x ) ), 则
x a 0 a
b
第 五 章 定 积 分
收敛；如果存在常数 q 1，使得 lim ( x a )q f ( x )
x a 0
d 0 (或 ), 则瑕积分 f ( x )dx 发散． a 3 dx 的收敛性. 例6 判别广义积分 1 ln x 解 被积函数在点 x 1 的左邻域内无界． 1 1 由洛必达法则知 lim ( x 1) lim 1 1 0, x 1 0 ln x x 1 0 x 根据极限审敛法2,所给广义积分发散.
a a
f ( x )dx为
第 五 章 定 积 分
绝对收敛 .
绝对收敛的广义积分
0
a
f ( x )dx 必定收敛．
ax 判别广义积分 e sin bxdx (a , b 是常数a 0) 例5
的收敛性.
解
e
0
ax
sin bx e
ax
,而 e axdx 收敛 .
a
第 五 章 定 积 分
f ( x )dx 收敛．
如果
a
假设 f ( x )dx 发散。
a
a
g( x )dx 收敛， 由
定理的第一部分可得
矛盾， 所以 f ( x )dx 收敛，
a
g( x )dx 发散。
由于无穷积分
a
当 p 1 时收敛； dx ( a 0) p x 当 P 1 时发散．