高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结《精选》.ppt
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图2-4-3
8
【解析】如图2-4-4所示，作 AO⊥面BCD，O为垂足，连接 DO并延长和BC交于G，则G为 BC的中点. ∴DG⊥BC. 又AO⊥BC，∴BC⊥面ADG. 作EF⊥DG,F为垂足，则BC⊥EF, ∴EF⊥面BCD. 连接FC，则∠ECF是斜线CE与 平面BCD所成的角.
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∵SH 平面SAD，∴SH⊥BC.
又∵SH⊥AD,AD∩BC=D, ∴SH⊥平面ABC.
【评析】证明线面垂直，需先有线线垂直，抓住条件中 两个等腰三角形共用一条边，抓住公共边的中点，通过 作辅助平面，找到所需要的另一条直线.
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6
在空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD. 求证：BD⊥AC.
图2-4-4
9
设正四面体的棱长为a，
则AO= a2 ( 3 a)2 6 a .
3
3
故EF=
1
2AO=
6a .
6
又CE= 3 a ,
2
∴sin∠ECF=
2 3
.
即CE与底面BCD所成角的正弦值为
2
3.
【评析】求平面的斜线与平面所成的角的一般方法是： 在斜线上找一具有特殊性的点，过该点向平面作垂线， 连接垂足和斜足，即为斜线在平面上的射影，进而作出 斜线与平面所成的角，再解直角三角形求出线面角的大 小，同时要注意其取值范围.
a α
b α
a∩b=O l⊥a
l⊥α.
l⊥b
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1
3.一条直线PA和一个平面α相交，但不和这个平面 ，
这条直垂线直叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫
做 .过斜线上斜足斜以足外的一点向平面引垂线PO，
过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的
射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成
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15
如图1-10-5所示，在四面体ABCD中，BD2= a,
AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面ABD⊥平面BCD.
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10
在三棱锥O—ABC中，三条棱OA，OB，OC两两
互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的中点，则
OM与平面ABC所成角的正切值是
.
（如图，连接MC，则 ∠OMC为所求.在Rt△OMC
中，OM= 2 OA，
2
则tan∠OMC= OC = 2 .）
OM
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11
学点三 面面垂直的判定
作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H，
求证：
SH⊥平面ABC.
【分析】考查线面垂直的判定定理.
【证明】取SA的中点E， 连接EC，EB.
∵SB=AB,SC=AC,
∴SA⊥BE,SA⊥CE.
又∵CE∩BE=E,
∴SA⊥平面BCE.∵BC平面BCE， 精选整理
图2-4-2
返回5 目录
∴SA⊥BC. 又∵AD⊥BC,AD∩AS=A, ∴BC⊥平面SAD.
的
，叫做锐这角条直线和这个平面所成的角.一条直
线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直
线和平面平行，或
，我们说在它平们面所内成的角是0°
的角.
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2
4.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫
做 二面角 .这条直线叫做二面角的棱，这两个半平
面叫做 二面角的面 .棱为l，面分别为α,β的二面角
记作二面角α—l—β.在二面角α—l—β的棱l上任取一
点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直
于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的
∠AOB叫做
二面角的平面角.二面角的大小可
以用它的
平面角来度量，二面角的平面角是多
少度，就说这个二面角是多少度.平面角是
直角 的二面角叫做直二面角.一般地，两个平面相交，
∴△ASB,△ASC都是等边三角形.
∴AB=AC=a.
作AD⊥平面BSC于点D，
∵AB=AC=AS,
∴D为△BSC的外心.
又∵△BSC是以BC为斜边的直角三角形，
∴D为BC的中点，
故AD 平面ABC.
∴平面ABC⊥平面SBC.精选整理
14
【评析】证明面面垂直有两个途径：一是定义，二是 证明线面垂直.两者都是通过线线垂直来完成.如果题 目中给出了线段长度、角度等条件，可考虑用勾股定 理证线线垂直，所以空间问题平面化是解决立体几何 问题的重要思想.
如图1-10-3所示，过点S引三条不 共面的直线，使∠BSC=90°， ∠ASB=∠ASC=60°，若截取 SA=SB=SC. 求证：平面ABC⊥平面BSC.
【分析】欲证面面垂直，需证线面垂直.故找出垂线是关键.
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12
【证明】证法一：如图1-10-4所示,取BC的中点D，连
接AD，SD.
由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB=AC，
1.如果直线l与平面α内的 任意一条 直线都垂直，
我们就说直线l与平面α互相垂直，记作
.l直⊥线α l
叫做
平面α的垂，线平面α叫做
直线l.的直垂线面与
平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做
. 垂足
2.一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直，
则该直线与此平面垂直.这个定理叫做直线与平面垂
直的
判定定，理用符号表示为：
如图，取BD的中点K，连接AK， CK. ∵AB=AD,K为BD中点， ∴AK⊥BD.同理CK⊥BD. ∵AK∩KC=K,∴BD⊥平面AKC.
∵AC 平面AKC，∴BD⊥AC.
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7
学点二 直线与平面所成的角
在正四面体A—BCD中，E为AD的中点，求CE与 底面BCD所成角的正弦值.
【分析】如图2-4-3所示，要求CE 与底面BCD所成角的正弦值，首 先要作出该角，其次应将其放在 直角三角形内求解，所以应过E作 底面的垂线.此时垂足所在位置特 别关键.由A—BCD为正四面体， 那么E在底面BCD的垂足必在 ∠BDC的角平分线上，连接CF， 根据条件找出边长即可.
如果它们所成的二面角是直二面角，源自文库说这两个平
面
互相垂. 直
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3
5.一个平面过另一个平面的 垂线 ，则这两 个平面垂直.这个定理叫做两个平面互相垂直的
判定定理 ，用符号表示为：
l⊥α
l β α⊥β.
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4
学点一 线面垂直的判定
如图2-4-2所示，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，
∴AD⊥BC,SD⊥BC. 令SA=a,在△SBC中，SD=2 a,
2
又AD=AC2 - CD=2 a,2
2
∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.
又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.
∵AD 平面ABC，
∴平面ABC⊥平面SBC.
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证法二：∵SA=SB=SC=a,又
∠ASB=∠ASC=60°,
图2-4-3
8
【解析】如图2-4-4所示，作 AO⊥面BCD，O为垂足，连接 DO并延长和BC交于G，则G为 BC的中点. ∴DG⊥BC. 又AO⊥BC，∴BC⊥面ADG. 作EF⊥DG,F为垂足，则BC⊥EF, ∴EF⊥面BCD. 连接FC，则∠ECF是斜线CE与 平面BCD所成的角.
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∵SH 平面SAD，∴SH⊥BC.
又∵SH⊥AD,AD∩BC=D, ∴SH⊥平面ABC.
【评析】证明线面垂直，需先有线线垂直，抓住条件中 两个等腰三角形共用一条边，抓住公共边的中点，通过 作辅助平面，找到所需要的另一条直线.
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6
在空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD. 求证：BD⊥AC.
图2-4-4
9
设正四面体的棱长为a，
则AO= a2 ( 3 a)2 6 a .
3
3
故EF=
1
2AO=
6a .
6
又CE= 3 a ,
2
∴sin∠ECF=
2 3
.
即CE与底面BCD所成角的正弦值为
2
3.
【评析】求平面的斜线与平面所成的角的一般方法是： 在斜线上找一具有特殊性的点，过该点向平面作垂线， 连接垂足和斜足，即为斜线在平面上的射影，进而作出 斜线与平面所成的角，再解直角三角形求出线面角的大 小，同时要注意其取值范围.
a α
b α
a∩b=O l⊥a
l⊥α.
l⊥b
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1
3.一条直线PA和一个平面α相交，但不和这个平面 ，
这条直垂线直叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫
做 .过斜线上斜足斜以足外的一点向平面引垂线PO，
过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的
射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成
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如图1-10-5所示，在四面体ABCD中，BD2= a,
AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面ABD⊥平面BCD.
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10
在三棱锥O—ABC中，三条棱OA，OB，OC两两
互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的中点，则
OM与平面ABC所成角的正切值是
.
（如图，连接MC，则 ∠OMC为所求.在Rt△OMC
中，OM= 2 OA，
2
则tan∠OMC= OC = 2 .）
OM
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11
学点三 面面垂直的判定
作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H，
求证：
SH⊥平面ABC.
【分析】考查线面垂直的判定定理.
【证明】取SA的中点E， 连接EC，EB.
∵SB=AB,SC=AC,
∴SA⊥BE,SA⊥CE.
又∵CE∩BE=E,
∴SA⊥平面BCE.∵BC平面BCE， 精选整理
图2-4-2
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∴SA⊥BC. 又∵AD⊥BC,AD∩AS=A, ∴BC⊥平面SAD.
的
，叫做锐这角条直线和这个平面所成的角.一条直
线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直
线和平面平行，或
，我们说在它平们面所内成的角是0°
的角.
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2
4.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫
做 二面角 .这条直线叫做二面角的棱，这两个半平
面叫做 二面角的面 .棱为l，面分别为α,β的二面角
记作二面角α—l—β.在二面角α—l—β的棱l上任取一
点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直
于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的
∠AOB叫做
二面角的平面角.二面角的大小可
以用它的
平面角来度量，二面角的平面角是多
少度，就说这个二面角是多少度.平面角是
直角 的二面角叫做直二面角.一般地，两个平面相交，
∴△ASB,△ASC都是等边三角形.
∴AB=AC=a.
作AD⊥平面BSC于点D，
∵AB=AC=AS,
∴D为△BSC的外心.
又∵△BSC是以BC为斜边的直角三角形，
∴D为BC的中点，
故AD 平面ABC.
∴平面ABC⊥平面SBC.精选整理
14
【评析】证明面面垂直有两个途径：一是定义，二是 证明线面垂直.两者都是通过线线垂直来完成.如果题 目中给出了线段长度、角度等条件，可考虑用勾股定 理证线线垂直，所以空间问题平面化是解决立体几何 问题的重要思想.
如图1-10-3所示，过点S引三条不 共面的直线，使∠BSC=90°， ∠ASB=∠ASC=60°，若截取 SA=SB=SC. 求证：平面ABC⊥平面BSC.
【分析】欲证面面垂直，需证线面垂直.故找出垂线是关键.
精选整理
12
【证明】证法一：如图1-10-4所示,取BC的中点D，连
接AD，SD.
由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB=AC，
1.如果直线l与平面α内的 任意一条 直线都垂直，
我们就说直线l与平面α互相垂直，记作
.l直⊥线α l
叫做
平面α的垂，线平面α叫做
直线l.的直垂线面与
平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做
. 垂足
2.一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直，
则该直线与此平面垂直.这个定理叫做直线与平面垂
直的
判定定，理用符号表示为：
如图，取BD的中点K，连接AK， CK. ∵AB=AD,K为BD中点， ∴AK⊥BD.同理CK⊥BD. ∵AK∩KC=K,∴BD⊥平面AKC.
∵AC 平面AKC，∴BD⊥AC.
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学点二 直线与平面所成的角
在正四面体A—BCD中，E为AD的中点，求CE与 底面BCD所成角的正弦值.
【分析】如图2-4-3所示，要求CE 与底面BCD所成角的正弦值，首 先要作出该角，其次应将其放在 直角三角形内求解，所以应过E作 底面的垂线.此时垂足所在位置特 别关键.由A—BCD为正四面体， 那么E在底面BCD的垂足必在 ∠BDC的角平分线上，连接CF， 根据条件找出边长即可.
如果它们所成的二面角是直二面角，源自文库说这两个平
面
互相垂. 直
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3
5.一个平面过另一个平面的 垂线 ，则这两 个平面垂直.这个定理叫做两个平面互相垂直的
判定定理 ，用符号表示为：
l⊥α
l β α⊥β.
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4
学点一 线面垂直的判定
如图2-4-2所示，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，
∴AD⊥BC,SD⊥BC. 令SA=a,在△SBC中，SD=2 a,
2
又AD=AC2 - CD=2 a,2
2
∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.
又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.
∵AD 平面ABC，
∴平面ABC⊥平面SBC.
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证法二：∵SA=SB=SC=a,又
∠ASB=∠ASC=60°,