实数理论1-2章

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习 题 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 实数的十进表示的定义，比例数的十进表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第一章
实数的十进表示及运算
§1 比例数列的极限
人民教育出版社出版的《中学数学课本八年级上册》, 82页中写道: “无限不循环小数有叫做无理数(irrational number).· · · 比例数和无理数统称实数(real number).” 以前的中学课本中还提到: “无限循环小数有叫做有理数” (rational number) 同学们经过课本的学习,对于这些概念能够达成很好的感性认识.但是只能限于＂感性的＂程 度.因为课本中对于“无限不循环小数”，甚至“无限循环小数” ，都只能通过实例做些描述,根本不可 能谈论它们的确切含义. 当前的中学课本无法严格讲述什么是“无限小数”,其根本原因是缺少极限概念. 关于“rational number”是什么意思， Richard Courant和Fritz John的名著《Introduction to Calculus and Analysis Volume I》 （Springer-Verlag, 1999）第2页有一个脚注,好像是专门对企图把 “rational number”翻译成非英语言的人说的,他们说： The word “rational” here does not mean reasonable or logical but is derived from the word “ratio”meaning the relative proportion of two magnitudes. 人们习惯把rational number翻译成“有理数” ,把“irrational number”翻译成“无理 数” ，而且还能找出许多强词夺理的理由. 这不是数学问题. 在本讲义中我坚持把rational number 翻 译成“比例数” ，把irrational number 翻译成“非比例数”.
习 题 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 实数列与实数集的一些性质,一些练习 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 习 题 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 非比例数比比例数多得多, 基数的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 § 3.1 § 3.2 § 3.3 §4
目录 Euclid 空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 紧致性的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Rn 中的开集的结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
习 题 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 R 中的算术运算及大小次序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 习 题 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 正数的开方运算以及幂运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 § 4.1 § 4.2 § 4.3 §5 §6 开方运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 幂运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 幂函数和指数函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
其中, q ∈ Z, a1 , · · · , am ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 所以,我们把形如(1.1)的十进“有限小数”也叫做 比例数 r 的本原表示.
§ 1.2
比例数列以及比例数列的极限
先叙述一个重要的数学概念—映射. 定 义 1.1 设 A 和 B 都 是 不 空 的 集 合(简 称 为“集”).若 有 一 个 法 则,使 得 对 于 A 的 任 意 一 个 元 我们把 “f 是从集 A 到 素(简称为“元”) a ,按照这个法则,有 B 中唯一一个元素 b 与之对应,那么我们就说这个法则是从 A 到 B 的映射. 可以任意选定一个英文字母来代表映射. 例如用字母f 表示. 集 B 的映射”这个语句记作 “f : A −→ B . 设 a是A的一个元(即 a ∈ A). 那么, 映射 f ,使得在 B 中 有唯一的一个元 b 与 a 相对应,把 b 叫作 a 在映射 f 下的像,记作 f (a) , 即 b = f (a),并说 f 把a映到b, 称a为b在 映 射f 下 的 原 像. 用 符 号 {f (a) : a ∈ A} 表 示 A 的 一 切 元 的 像 的 全 体 所 成 的 集 合,记 为 f (A) ,叫作 A 在 f 下的像(或值域). 如果 f 把不同的元映到不同的元，也就是说，只要a, a′ ∈ A, a ̸= a′ ,就成立 f (a) ̸= f (a′ ),那么就 称f 为单射;如果B 的每个元都是 A 的某个(可以是多个)元的像,那么就称 f 为满射. 如果f : A −→ B 既 是满射又是单射,那么就称f 为满单射,也叫做一一映射或可逆映射. 这时,从B 中的元b到它在映射 f 下 的原象 a 的对应构成一个从 B 到 A 的满单射,记作 f −1 ,叫做 f 的逆映射. 例 1.1 射. 先解释一下正整数集合的“前集”指的是什么.我们知道,正整数集合 N+ 的元素从小到大形成了 一个“天然的顺序”.对于任何一个正整数 n,我们把不超过 n 的正整数的全体所成的集合叫做 N+ 的 一个前集(简称为前集), 它恰含有n个元. 那么集合 {1}, {1, 2}, {1, 2, 3} 等等都是前集. 如果让你数(读第三声,下同)一数你的教室里有多少张桌子,你一定会数. 想想看,你是不是在建立 这些桌子到正整数的一个前集的满单射.结果,这个前集的最大元(最大的那个正整数)就是你数出来的 桌子数(读第四声). 数(读第三声)数(读第四声)的数学本质是建立集合与正整数集合的一个“前集”的满单
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第 1 章 实数的十进表示及运算 全体比例数的集合记作 Q(英文Quotient的首字母). 由于任何 a ∈ Z,都可以看成是分数 a 1,
即a= a 1 ,所以, Z ⊂ Q. 既然比例数就是分数,那么中学课本中提到的“无限循环小数叫做比例数(原文为有理数)”就是 对于比例数规定了另一个“表示方法” ，目前我们对于这个表示方法还缺乏真确的了解。为了与这个 表示方法相区别，我们称熟知的“分数”为比例数的本原表示。 如果一个分数 r (比例数的本原表示)的分母是 10m (m ∈ N+ ),那么, r 可以写成小数点后只有 m 位的(十进制的) 有限小数的形式,即 r = p + 0.a1 · · · am , (1.1)
目录
第一章 实数的十进表示及运算 §1 比例数列的极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1.1 § 1.2 §2 §3 §4 比例数的本原表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 比例数列以及比例数列的极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
习 题 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 第二章 函数 §1 §2 §3 一元函数 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
习 题 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 再谈指数函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 习 题 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 n 维Euclid空间 Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1
习 题 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 多元函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 习 题 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
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§ 1.1
比例数的本原表示
承认同学们都已经很好地了解了比例数.比例数是怎样表示的？比例数就是“分数” ，即整数与 非零整数的比（ratio）. 大家都习惯于使用阿拉伯数字的十进位计数制.简称为十进制.如果不做声明,我们默认使用十进 制. 复习一下熟知的符号. 用 N 代表自然数集, N 的元素叫做“自然数”,即Natural number，这就是 使用(粗体)字母N 表示这个集合的缘由.全体正整数的集合记作 N+ .用 Z 代表整数集, 并用 N+ 代表正 整数集. 注意 N = N+ 全体整数的集合记作 Z (德文Zahlen的首字母). 1 ∪ {0}.