第三章力学量用算符表达讲解

上面的第四式称为Jacobi 恒等式。
[Bˆ Cˆ , Aˆ ] ?
思考：
[Bˆ Cˆ , Aˆ ] ?
本节例题
例题1：证明 [Aˆ , BˆCˆ ] [Aˆ , Bˆ]Cˆ Bˆ[Aˆ ,Cˆ]
证明:
[Aˆ , BˆCˆ] Aˆ BˆCˆ BˆCˆAˆ Aˆ Bˆ Cˆ Bˆ Aˆ Cˆ Bˆ Aˆ Cˆ Bˆ CˆAˆ [Aˆ , Bˆ]Cˆ Bˆ[Aˆ ,Cˆ]
ypˆ z
pˆ z
y
0
zpˆ
y
pˆ yz
0
pˆ y pˆz pˆz pˆ y 0 pˆz pˆ x pˆ x pˆz 0
写成通式:
x pˆ pˆ x i
pˆ pˆ pˆ pˆ 0
, x, y, z or 1, 2, 3
此即量子力学中最基本的对易关系。
（6）对易括号
为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典 力学的关系，人们定义了对易括号：
这是态叠加原理的反映。
薛定谔方程是否
线性方程？
（2）算符相等
若两个算符 Aˆ 和 Bˆ 对体系的任何波 函数的运算结果都相同，即
Aˆ Bˆ
则算符 Aˆ 和算符Bˆ 相等, 记为:
Aˆ Bˆ
例如： i
[
2
2 V (r )]
t
2m
i
2
2 V (r )
t 2m
（3）算符之和
算符 Aˆ与 B之ˆ 和记为 Aˆ， 满Bˆ 足
约定: 算符只对其右边的波函数作用。
定义单位算符Iˆ 和零算符 0ˆ :
Iˆ(r , t) (r , t) ; 0ˆ (r , t) 0
算符的一般特性
（1）线性算符 （2）算符相等 （3）算符之和 （4）算符之积 （5）对易关系
（6）对易括号
（7）逆算符 （8）算符函数 （9）复共轭算符 （10）转置算符 （11）厄米共轭算符
（12）厄米算符
（1）线性算符
满足如下运算规律的算符Â 称为线性算符:
Â(c1ψ1+c2ψ2)= c1 Âψ1+c2 Âψ2 其中c1, c2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：
动量算符 pˆ i 单位算符 Iˆ 是线性算符。
开方算符、取复 共轭就不是线性 算符。
注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，
第三章 力学量用算符表达
本章要求
1. 掌握算符的运算规则；掌握内积和简并态概念。 2. 掌握动量算符的本征值方程及其本征函数的“归
一化”问题；掌握动量和坐标算符之间的对易关 系。 3. 掌握角动量算符的本征值方程、本征函数（球函 数）及本征值问题；掌握角动量算符的对易关系。 4. 掌握厄米算符的性质。 5 了解力学量的完全集合的概念。
性质2: 若算符 Aˆ 、Bˆ 存在逆算符，则
Aˆ Bˆ 1 Bˆ 1 Aˆ 1 Aˆ 1 1 Aˆ
用
i i
x
x
i i i
x
x
x
i
x
( 任意)
[ pˆx , x] i
x
pˆ x
（7）逆算符
设
Aˆ
能够唯一地解出, 则可定义算符 之Aˆ 逆
Aˆ 为1பைடு நூலகம்:
Aˆ 1
性质1: 若算符 Aˆ 之逆 Aˆ 1 存在，则 Aˆ Aˆ 1 Aˆ 1 Aˆ I 证明？ [Aˆ , Aˆ 1] 0
同理
ypˆ y pˆ y y i
zpˆ z pˆ z z i
— 对易关系
即坐标算符和对应的动量分量算符不对易
但是坐标算符和非对应的动量分量算符对易；各动 量分量算符之间相互对易。
xpˆ y pˆ y x 0
xpˆ z
pˆ z
x
0
pˆ x pˆ y pˆ y pˆ x 0
ypˆ x pˆ x y 0 zpˆ x pˆ xz 0
xˆ x
例如，算符
pˆ x i
x
不对易。
证明：(1)
xpˆ x x(i
) i x
x
x
(2)
pˆ x x (i
)x i i x
x
x
显然，二者不相等，所以
xpˆ x pˆ x x ;
而 xpˆ x pˆ x x i
是任意波函数，故
xpˆ x pˆ x x i
[ Aˆ , Bˆ ]Cˆ Bˆ[ Aˆ ,Cˆ ] 任意
[Aˆ , BˆCˆ] [Aˆ, Bˆ]Cˆ Bˆ[Aˆ,Cˆ]
本节例题
一维谐振子 [ pˆ,V x] ?
例题2：证明
[ pˆ x , x] i
x
证明: [ pˆx , x] pˆx x x pˆx
于算 波符 函必 数须 ！作
特别注意: 一般来说算符之积不满足交 换律(除非算符A、B彼此独立，如/t与
算符)，即 Aˆ Bˆ BˆAˆ
这是算符与通常代数运算规则的不同之处。
例如： xˆpˆ x pˆ x xˆ
（5）对易关系
若 Aˆ Bˆ BˆAˆ ，则称 Aˆ 与 Bˆ 不对易。 若 Aˆ Bˆ BˆAˆ ，则称 Aˆ 与 Bˆ 对易。
Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ
是体系的任何波函数。
例如体系的Hamilton算符： Hˆ Tˆ Vˆ
算符求和满足交换律和结合律：
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ
( Aˆ Bˆ ) Cˆ Aˆ Bˆ Cˆ
（4）算符之积
算符之积 Aˆ 满Bˆ 足
Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ
是任意波函数。
第三章 力学量用算符表达
教学内容
§1 算符的运算规则 §2 动量算符和角动量算符 §3 厄米算符的本征值与本征函数 §4 共同本征函数
§1 算符的运算规则
算符: 代表对波函数进行某种运算或变换。 Aˆ u v 算符 Â 把函数u 变成v
注意 算符只是一种运算符号，单独存在是没有意
义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的 运算才有意义。
[Aˆ , Bˆ] Aˆ Bˆ BˆAˆ
采用对易括号，基本对易关系式可以写为：
[x , pˆ ] i
[ pˆ , pˆ ] 0
思考： [ pˆ , x ] ?
不难证明对易括号满足如下对易关系：
1. [Aˆ , Bˆ] [Bˆ, Aˆ ] 2. [Aˆ , Bˆ Cˆ ] [Aˆ , Bˆ][Aˆ ,Cˆ] 3. [Aˆ , BˆCˆ] [Aˆ, Bˆ]Cˆ Bˆ[Aˆ,Cˆ] 4. [Aˆ ,[Bˆ,Cˆ]] [Bˆ,[Cˆ, Aˆ]] [Cˆ,[Aˆ, Bˆ]] 0