3.3综合法与分析法 课件(北师大版选修1-2)
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北师版数学高二选修1-2课件 3.3 综合法与分析法
答案
梳理
(1)定义：从命题的条件出发，利用 定义 、 公理 、 定理 及运算法则，通 过 演绎推理 ，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明.我们 把这样的思维方法称为 综合法 . (2)综合法的框图表示
P⇒Q1 ―→ Q1⇒Q2 ―→ Q2⇒Q3 ―→…―→ Qn⇒Q
(P表示已知条件、已有的 定义 、公理 、定理 等，Q表示 所要证明的结论 )
第三章 推理与证明
§3 综合法与分析法
学习目标
1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点. 2.会用综合法、分析法解决问题.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 综合法
思考
阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 证明 因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc. 又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc. 因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 答案 利用已知条件a>0，b>0和重要不等式，最后推导出所要 证明的结论.
B.a＝b D.无法确定
解析 ∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，b＝ex<e0＝1， ∴a>b.
12345
解析 答案
2.设 0<x<1，则 a＝ 2x，b＝x＋1，c＝1－1 x中最大的是
√A.c
B.b
C.a
D.随x取值不同而不同
解析 ∵0<x<1，∴b＝x＋1>2 x> 2x＝a，
∵1－1 x－(x＋1)＝1－1－1－x x2＝1－x2 x>0，∴c>b>a.
梳理
(1)定义：从命题的条件出发，利用 定义 、 公理 、 定理 及运算法则，通 过 演绎推理 ，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明.我们 把这样的思维方法称为 综合法 . (2)综合法的框图表示
P⇒Q1 ―→ Q1⇒Q2 ―→ Q2⇒Q3 ―→…―→ Qn⇒Q
(P表示已知条件、已有的 定义 、公理 、定理 等，Q表示 所要证明的结论 )
第三章 推理与证明
§3 综合法与分析法
学习目标
1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点. 2.会用综合法、分析法解决问题.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 综合法
思考
阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 证明 因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc. 又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc. 因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 答案 利用已知条件a>0，b>0和重要不等式，最后推导出所要 证明的结论.
B.a＝b D.无法确定
解析 ∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，b＝ex<e0＝1， ∴a>b.
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解析 答案
2.设 0<x<1，则 a＝ 2x，b＝x＋1，c＝1－1 x中最大的是
√A.c
B.b
C.a
D.随x取值不同而不同
解析 ∵0<x<1，∴b＝x＋1>2 x> 2x＝a，
∵1－1 x－(x＋1)＝1－1－1－x x2＝1－x2 x>0，∴c>b>a.
高中数学选修1-2北师大版 第三章 3 综合法与分析法 课件(35张)
(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因如下的框 图来表示： 得到一个明显 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →„→ 成立的条件
1． 综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知， 由因导果通 过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为 ×××，所以×××，所以××ׄ„所以×××成立． 2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐 步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的 证明格式：要证×××，只需证×××，只需证××ׄ„因为 ×××成立，所以×××成立．
5．如图所示，SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，过 A 作 SB 的垂线，垂足为 E，过 E 作 SC 的垂线，垂足 为 F，求证：AF⊥SC.
§ 3
理解教材 新知
知识点一 知识点二 考点一 考点二 考点三
第 三 章
综 合 法 与 分 析 法
把握热点 考向
应用创新 演练
§ 3
综合法与分析法
综 合 法
阅读下面的例题． 例：若实数 a，b 满足 a＋b＝2，证明：2a＋2b≥4.
证明：因为 a＋b＝2，所以 2a＋2b≥2 2a· 2b＝2 2a＋b＝2 22＝4， 故 2a＋2b≥4 成立． 问题 1：本题利用什么公式？
1 1 ＝ (a＋c)＋ b 2 2 b b 3 ≥ ac＋ ＝b＋ ＝ b＝右边． 2 2 2 C 3 2 A 故原不等式得证，即 acos ＋ccos ≥ b. 2 2 2
2
分析法的应用
[例 2] 当 a＋b>0 时，求证： 2 a ＋b ≥ (a＋b)． 2
2 2
[思路点拨]
条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明，
2．在△ABC 中，三边 a，b，c 成等比数列． C 3 2 A 求证：acos ＋ccos ≥ b. 2 2 2
北师版数学选修1-2课件：第3章 §3 3.2 分析法
2
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1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证 明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法． 2． 分析法的思路与综合法正好相反， 它是从要求证的结论出发， 倒着分析， 由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、 公理、公式、法则等．
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3．综合法和分析法的综合应用 在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结 构特点去转化结论，得到中间结论 Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得 到中间结论 P′.若由 P′可以推出 Q′成立，即可证明结论成立．
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分析法就是从结论推向已知．( ) ) )
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[小组合作型]
应用分析法证明不等式
a－b2 a＋b a－b2 已知 a>b>0，求证： < － ab< . 8a 2 8b
【精彩点拨】 本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要 先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．
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a－b2 a＋b a－b2 【自主解答】 要证 < － ab< ， 8a 2 8b a－b2 a－ b2 a－b2 只需证 < < . 8a 2 8b a－ b2 a＋ b2 a＋ b2 ∵a>b>0，∴同时除以 ，得 <1< ， 2 4a 4b a＋ b a＋ b 同时开方，得 <1< ，只需证 a＋ b<2 a，且 a＋ b>2 b， 2 a 2 b 即证 b< a，即证 b<a. a－b2 a＋b a－b2 ∵a>b>0，∴原不等式成立，即 < － ab< . 8a 2 8b
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1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证 明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法． 2． 分析法的思路与综合法正好相反， 它是从要求证的结论出发， 倒着分析， 由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、 公理、公式、法则等．
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3．综合法和分析法的综合应用 在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结 构特点去转化结论，得到中间结论 Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得 到中间结论 P′.若由 P′可以推出 Q′成立，即可证明结论成立．
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分析法就是从结论推向已知．( ) ) )
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[小组合作型]
应用分析法证明不等式
a－b2 a＋b a－b2 已知 a>b>0，求证： < － ab< . 8a 2 8b
【精彩点拨】 本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要 先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．
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a－b2 a＋b a－b2 【自主解答】 要证 < － ab< ， 8a 2 8b a－b2 a－ b2 a－b2 只需证 < < . 8a 2 8b a－ b2 a＋ b2 a＋ b2 ∵a>b>0，∴同时除以 ，得 <1< ， 2 4a 4b a＋ b a＋ b 同时开方，得 <1< ，只需证 a＋ b<2 a，且 a＋ b>2 b， 2 a 2 b 即证 b< a，即证 b<a. a－b2 a＋b a－b2 ∵a>b>0，∴原不等式成立，即 < － ab< . 8a 2 8b
北师版数学选修1-2讲义：第3章 §3 3.1 综合法
§3综合法与分析法3．1综合法1．了解综合法的思考过程、特点．(重点)2．会用综合法证明数学问题．(难点)[基础·初探]教材整理综合法阅读教材P60～P61“练习”以上部分，完成下列问题．1．综合法的定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．2．综合法证明的思维过程用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图3-3-1表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q图3-3-1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是由因导果的顺推证法．()(2)综合法证明的依据是三段论．()(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．()【解析】(1)正确．由综合法的定义可知该说法正确．(2)正确．综合法的逻辑依据是三段论．(3)正确．综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．【答案】(1)√(2)√(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________[小组合作型]用综合法证明三角问题在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b －c)sin B＋(2c－b)sin C.(1)求证：A的大小为60°；(2)若sin B＋sin C＝ 3.证明：△ABC为等边三角形．【精彩点拨】(1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A.(2)结合(1)中A的大小利用三角恒等变形证明A＝B＝C＝60°.【自主解答】(1)由2a sin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)·sin C，得2a2＝(2b－c)·b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，所以A＝60°.。
2020北师大版高中数学选修1-2 教师课件：第三章 综合法与分析法
由已知，
抛物线 f(x＋1)的对称轴 x＝－2ba－1 与 f(x)的对称轴 x＝－2ba关于 y 轴对称，8 分 所以－2ba－1＝－－2ab， 所以 a＝－b，10 分 所以 fx＋12为偶函数，12 分 解法二 要证 fx＋12为偶函数， 只需证：fx＋21＝f－x＋12. 2 分 令 x＋12＝t，则 x＝t－12
所以只需 f(t)＝f(－t＋1)，6 分 即证：f(x)＝f(－x＋1)． 因为函数 f(x＋1)与 f(x)的图像关于 y 轴对称， 所以函数 y＝f(x)上任一点(x，f(x))， 关于 y 轴的对称点(－x，f(x))在 y＝f(x＋1)上， 即 f(－x＋1)＝f(x)，10 分 所以 fx＋12为偶函数.12 分
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
三、分析法的定义 从_求__证__的__结__论___出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充__分__条__件__，直到归结为这 个命题的_条__件___，或者归结为__定__义____、__公__理____、__定__理____等，这种思维方法称为分析 法． 四、分析法证明的思维过程 用 Q 表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：
探究一 综合法的应用 [例 1] 已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4. [解析] 解法一 ∵a，b 为正数，且 a＋b＝1， ∴a＋b≥2 ab， ∴ ab≤21， ∴1a＋1b＝a＋ abb＝a1b≥4.
解法二 ∵a，b 为正数，
∴a＋b≥2 ab>0，1a＋1b≥2 ∴(a＋b)1a＋1b≥4， 又 a＋b＝1，
得到一个明显 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 成立的条件
[双基自测]
抛物线 f(x＋1)的对称轴 x＝－2ba－1 与 f(x)的对称轴 x＝－2ba关于 y 轴对称，8 分 所以－2ba－1＝－－2ab， 所以 a＝－b，10 分 所以 fx＋12为偶函数，12 分 解法二 要证 fx＋12为偶函数， 只需证：fx＋21＝f－x＋12. 2 分 令 x＋12＝t，则 x＝t－12
所以只需 f(t)＝f(－t＋1)，6 分 即证：f(x)＝f(－x＋1)． 因为函数 f(x＋1)与 f(x)的图像关于 y 轴对称， 所以函数 y＝f(x)上任一点(x，f(x))， 关于 y 轴的对称点(－x，f(x))在 y＝f(x＋1)上， 即 f(－x＋1)＝f(x)，10 分 所以 fx＋12为偶函数.12 分
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
三、分析法的定义 从_求__证__的__结__论___出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充__分__条__件__，直到归结为这 个命题的_条__件___，或者归结为__定__义____、__公__理____、__定__理____等，这种思维方法称为分析 法． 四、分析法证明的思维过程 用 Q 表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：
探究一 综合法的应用 [例 1] 已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4. [解析] 解法一 ∵a，b 为正数，且 a＋b＝1， ∴a＋b≥2 ab， ∴ ab≤21， ∴1a＋1b＝a＋ abb＝a1b≥4.
解法二 ∵a，b 为正数，
∴a＋b≥2 ab>0，1a＋1b≥2 ∴(a＋b)1a＋1b≥4， 又 a＋b＝1，
得到一个明显 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 成立的条件
[双基自测]
北师大版选修1-2--第三章-3-3.2-分析法----课件(24张)
答案:C
1
3
2
3.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a>b>c,且
a+b+c=0,求证: 2 - < 3. 则证明的依据应是(
A.a-b>0
B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0
D.(a-b)(a-c)<0
解析: 2 - < 3⇔b2-ac<3a2⇔(a+c)2-ac<3a2⇔(ac)(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0.故选C.
(2)基本思路
分析法的基本思路是“执果索因”.由求证走向已知,即从数学题的
待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后找到一个明
显成立的条件.
(3)思维模式
若用Q表示要证明的结论,则分析法可以用如下的框图来表示:
Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件
知识梳理
名师点拨用分析法证明问题要注意以下三点:
答案:C
)
4
5
1
2 +2
4.将下面用分析法证明
≥ab
2
(a-b)2≥0
3
4
5
2 +2
的步骤补充完整:要证
≥ab,
2
只需证 a2+b2≥2ab,也就是证
,即证
于
显然成立,因此原不等式成立.
答案:a2+b2-2ab≥0
2
(a-b)2≥0
,由
1
2
3
4
5
5.设a,b,c为任意三角形的三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca.求
1
3
2
3.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a>b>c,且
a+b+c=0,求证: 2 - < 3. 则证明的依据应是(
A.a-b>0
B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0
D.(a-b)(a-c)<0
解析: 2 - < 3⇔b2-ac<3a2⇔(a+c)2-ac<3a2⇔(ac)(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0.故选C.
(2)基本思路
分析法的基本思路是“执果索因”.由求证走向已知,即从数学题的
待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后找到一个明
显成立的条件.
(3)思维模式
若用Q表示要证明的结论,则分析法可以用如下的框图来表示:
Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件
知识梳理
名师点拨用分析法证明问题要注意以下三点:
答案:C
)
4
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1
2 +2
4.将下面用分析法证明
≥ab
2
(a-b)2≥0
3
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2 +2
的步骤补充完整:要证
≥ab,
2
只需证 a2+b2≥2ab,也就是证
,即证
于
显然成立,因此原不等式成立.
答案:a2+b2-2ab≥0
2
(a-b)2≥0
,由
1
2
3
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5.设a,b,c为任意三角形的三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca.求
2018学年高中数学北师大版选修1-2课件：3.2 分析法 精品
跟踪训练 1 已知 a、b 是正实数,求证：a＋2 b≥1a＋2 1b. 证明 要证a＋2 b≥1a＋2 1b, 由于 a,b 是正实数,1a＋1b＞0, 只需证：(a＋b)a1＋1b≥4,
即证：1＋ba＋1＋ab≥4, 也就是证ba＋ab≥2, 因为 a,b 为正实数,所以ba＋ab≥2 成立.
知识点二 分析法证明的思维过程
用Q表示要证明的结论,则分析法的思维过程可用框图表 示为： Q⇐P1 ―→ P1⇐P2 ―→ P2⇐P3 ―→ …―→ 得到一个明显成立的条件
思考 用分析法证明不等式时，是否要找使结论成立的充要 条件？分析法证题过程如何写？ 答 (1)证明不等式时往往误用分析法，把“逆求”作“逆 推”，分析法过程没有必要“步步可逆”，仅需寻求充分条 件即可，而不是充要条件. (2)分析法的过程要正确使用一些联结关联词，如“要证 明”“只需证明”“即证”等.
2.分析法证题的书写格式 用分析法书写证明过程时的格式为： “要证……, 只需证……, 只需证……, … 由于…显然成立(已知,已证…), 所以原结论成立.”其中的关联词语不能省略.
3.综合法与分析法的比较 (1)综合法是由因导果,步骤严谨、逐层递进、步步为营,书 写表达过程条理清晰、形式简洁,宜于表达推理的思维轨迹. 缺点是探路艰难、困于思考、不易达到所要证明的结论. (2)分析法是执果索因,方向明确、利于思考、思路自然,便 于寻找解题思路.缺点是思路逆行、易表述出错.
a＋b
b＋c
a＋c
由公式 2 ≥ ab>0, 2 ≥ bc>0, 2 ≥ ac>0.
又∵a,b,c是不全相等的正数,
a＋b b＋c a＋c ∴ 2 · 2 · 2 > a2b2c2＝abc.
高中数学北师大版选修1-2第三章《综合法》ppt课件
2.设a>0,b>0,若 值为( )
3
是3a与3b的等比中项，则
1+1 ab
的最小
(A)8
(B)4
(C)1
【解析】选B.由3a·3b=( 3 )2,即3a+b=3,
(D) 1
4
∴a+b=1,
则
1+1 ab
a+b + a+b ab
≥24.
b a
+
a b
3.已知实数a,b,c满足a+b+c=0，abc≠0,则bc+ac+ab的
3.(5分)若sinα +sinβ +sinγ =0,cosα +cosβ +cosγ =0,则 cos(α -β )=__________.
【解题提示】由于所求cos(α -β )中没有γ ,故应在变形中将 角γ消去. 【解析】由条件知sinα +sinβ =-sinγ ,cosα +cosβ =-cosγ , 两式平方相加，则有 sin2α +cos2α +sin2β +cos2β +2sinα ·sinβ +2cosα ·cosβ =sin2γ+cos2γ, 即2+2cos(α-β)=1,∴cos(α-β)=- . 1
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
42
谢谢欣赏！
2019/8/29
最新中小学教学课件
43
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
高中数学第三章推理与证明3.3综合法与分析法课件北师大版选修1_2
1 1
1 3
.
∴x2+y2+z2≥3 当且仅当������ = ������ = ������ = 3 时,取等号 .
二、分析法 从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分 条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理 等.我们把这种思维方法称为分析法. 名师点拨分析法的特点: (1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”. (2)用分析法书写证明过程的格式为“要证……,只需证……,只需 证……,由于……显然成立(已知,已证等),所以原结论成立.”其中的 关联词语不能省略. ������2 +������2 【做一做2 】 将下面用分析法证明 ≥ab的步骤,补充完整: 2 2 2 ������ +������ 要证 2 ≥ab,只需证a2+b2≥2ab,也就是证 ,即 证 ,由于 显然成立,因此原不等式成立. 答案:a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥03 Nhomakorabea√3
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟综合法证明问题的思路: (1)分析条件,选择方向.即分析题目的已知条件及已知与结论之 间的联系,选择相关的定理、公式等,确定恰当的解题方法. (2)转化条件,组织过程.即把已知条件转化成所需要的语言,主要 是文字、符号、图形三种语言之间的转化. (3)适当调整,回顾反思.即回顾解题过程,对部分步骤进行调整,并 对一些语言进行适当修饰,反思总结解题方法的选取.
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练 1 已知 a,b,c 都是正数,求证:
1 1 + . ������+������ ������+������
1 3
.
∴x2+y2+z2≥3 当且仅当������ = ������ = ������ = 3 时,取等号 .
二、分析法 从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分 条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理 等.我们把这种思维方法称为分析法. 名师点拨分析法的特点: (1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”. (2)用分析法书写证明过程的格式为“要证……,只需证……,只需 证……,由于……显然成立(已知,已证等),所以原结论成立.”其中的 关联词语不能省略. ������2 +������2 【做一做2 】 将下面用分析法证明 ≥ab的步骤,补充完整: 2 2 2 ������ +������ 要证 2 ≥ab,只需证a2+b2≥2ab,也就是证 ,即 证 ,由于 显然成立,因此原不等式成立. 答案:a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥03 Nhomakorabea√3
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟综合法证明问题的思路: (1)分析条件,选择方向.即分析题目的已知条件及已知与结论之 间的联系,选择相关的定理、公式等,确定恰当的解题方法. (2)转化条件,组织过程.即把已知条件转化成所需要的语言,主要 是文字、符号、图形三种语言之间的转化. (3)适当调整,回顾反思.即回顾解题过程,对部分步骤进行调整,并 对一些语言进行适当修饰,反思总结解题方法的选取.
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练 1 已知 a,b,c 都是正数,求证:
1 1 + . ������+������ ������+������
北师大版选修1-2--第三章-3-3.1-综合法----课件(29张)
由已知,得sin γ=-(sin α+sin β),
cos γ=-(cos α+cos β),
所以(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=sin2γ+cos2γ=1,
1
2
化简并整理得 cos(α-β)=− .
1
答案:− 2
1
2
3
4
5
4.若平面内有1 + 2 + 3 =0,且|1 | = |2 | = |3 |,
则△P1P2P3 一定是
三角形.(填“等腰”“等边”或“不等
边”)
解析:结合图形,由1 + 2 + 3 =0,
可知 O 是△P1P2P3 的重心.由|1 | = |2 | = |3 |可知O 是
△P1P2P3的三边垂直平分线的交点,所以可知△P1P2P3是等边三角形.
答案:等边
(3)数列的通项an与数列的前n项和Sn之间的关系:
1 , = 1,
an=
--1 , ≥ 2;
(4)递推公式与通项公式的关系.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.
(1)设 bn=
2 -1
, 求证: 数列{}是等差数列;
解析:因为a,b,c不全相等中含有a≠b≠c这种情况,所以③错误.①②正
确,所以正确的判断有2个.
答案:C
1
5
2 -4+5
2
5
2-4
2 已知 x≥ , 则() =
A.最大值
B. 最小值
cos γ=-(cos α+cos β),
所以(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=sin2γ+cos2γ=1,
1
2
化简并整理得 cos(α-β)=− .
1
答案:− 2
1
2
3
4
5
4.若平面内有1 + 2 + 3 =0,且|1 | = |2 | = |3 |,
则△P1P2P3 一定是
三角形.(填“等腰”“等边”或“不等
边”)
解析:结合图形,由1 + 2 + 3 =0,
可知 O 是△P1P2P3 的重心.由|1 | = |2 | = |3 |可知O 是
△P1P2P3的三边垂直平分线的交点,所以可知△P1P2P3是等边三角形.
答案:等边
(3)数列的通项an与数列的前n项和Sn之间的关系:
1 , = 1,
an=
--1 , ≥ 2;
(4)递推公式与通项公式的关系.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.
(1)设 bn=
2 -1
, 求证: 数列{}是等差数列;
解析:因为a,b,c不全相等中含有a≠b≠c这种情况,所以③错误.①②正
确,所以正确的判断有2个.
答案:C
1
5
2 -4+5
2
5
2-4
2 已知 x≥ , 则() =
A.最大值
B. 最小值
【精编】北师大版高中数学选修1-2课件3-3.1综合法-精心整理
∴A1G 綊 FC.
∴四边形A1FCG为平行四边形． ∴A1F∥GC. 又∵A1F⊄平面BCGH，CG⊂平面BCGH， ∴A1F∥平面BCGH. 又∵A1F∩EF＝F， ∴平面A1EF∥平面BCGH.
综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证， 即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达 到待证结论或需求的问题，有如从长江源头顺流而下，一直 到达上海的长江口．
研究对象的特殊
情况2 ． 数 学 证 由明大的前含提和义小：前根提作据出命的题判断的 和 已 知 的 、
、，利用演绎推理的法则将命题推导出条来件．
定义
公理 定理
1．综合法的定义
从 命 题 的 条 件 定出义 发 ，公理利 用定理、 、 及
通过运一算步法步则地接近要证演明绎的推结理论，直到完成命题的证明，这种
3．由于综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为如 下图所示：
故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必惟一，如B、 B1、B2等，可由B、B1、B2能推演出的进一步的中间结论则可能 更多，如C、C1、C2、C3、C4等等．最终能有一个(或多个)可推 演出结论D即可．
4．在综合法中，每个推理都必须是正确的，每个论断都应 当是前面一个论断的必然结果．因此所用语气必须是肯定的．
◎如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心， B1H⊥D1O，H是垂足，
求证：B1H⊥AD1
【错解】 证明：∵B1H⊥D1O，D1O⊂面AD1C ∴B1H⊥面AD1C 又∵AD1⊂面AD1C ∴B1H⊥AD1 【错因】 上述证法错在对线面垂直的判定定理掌握不准 确，而出现了由B1H⊥D1O推出B1H⊥面AD1C.事实上要得线面垂 直，必须直线垂直于平面内的两条相交直线．
∴四边形A1FCG为平行四边形． ∴A1F∥GC. 又∵A1F⊄平面BCGH，CG⊂平面BCGH， ∴A1F∥平面BCGH. 又∵A1F∩EF＝F， ∴平面A1EF∥平面BCGH.
综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证， 即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达 到待证结论或需求的问题，有如从长江源头顺流而下，一直 到达上海的长江口．
研究对象的特殊
情况2 ． 数 学 证 由明大的前含提和义小：前根提作据出命的题判断的 和 已 知 的 、
、，利用演绎推理的法则将命题推导出条来件．
定义
公理 定理
1．综合法的定义
从 命 题 的 条 件 定出义 发 ，公理利 用定理、 、 及
通过运一算步法步则地接近要证演明绎的推结理论，直到完成命题的证明，这种
3．由于综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为如 下图所示：
故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必惟一，如B、 B1、B2等，可由B、B1、B2能推演出的进一步的中间结论则可能 更多，如C、C1、C2、C3、C4等等．最终能有一个(或多个)可推 演出结论D即可．
4．在综合法中，每个推理都必须是正确的，每个论断都应 当是前面一个论断的必然结果．因此所用语气必须是肯定的．
◎如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心， B1H⊥D1O，H是垂足，
求证：B1H⊥AD1
【错解】 证明：∵B1H⊥D1O，D1O⊂面AD1C ∴B1H⊥面AD1C 又∵AD1⊂面AD1C ∴B1H⊥AD1 【错因】 上述证法错在对线面垂直的判定定理掌握不准 确，而出现了由B1H⊥D1O推出B1H⊥面AD1C.事实上要得线面垂 直，必须直线垂直于平面内的两条相交直线．
2019-2020学年高中数学北师大版选修1-2课件：3.1 综合法
3.1 综合法
7
n＋2 证明 ∵an＋1＝Sn＋1－Sn,an＋1＝ n Sn(n∈N＋), ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn), 整理,得 nSn＋1＝2(n＋1)Sn,∴nS＋n＋11＝2·Snn(n∈N＋). 故数列Snn是公比为 2,首项是 1 的等比数列.
3.1 综合法
解析 ∵y>x>0,且 x＋y＝1,∴设 y＝34,x＝41,
则x＋2 y＝21,2xy＝83,
x＋y ∴x<2xy< 2 <y,故选 D.
3.1 综合法
自查自纠
123
26
2.已知 a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( A.若 a>b,则 ac2>bc2 B.若ac>bc,则 a>b C.若 a3>b3 且 ab<0,则1a>1b D.若 a2>b2 且 ab>0,则1a<1b
(当且仅当 a＝b＝c＝13时等号成立)
∴ a＋ b＋ c≤ 3.
3.1 综合法
15
反思与感悟 综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性
质和已知的重要不等式,其中常用的有如下几个：
(1)a2≥0(a∈R).
(2)(a－b)2≥0(a,b∈R),其变形有 a2＋b2≥2ab,
a＋2 b2≥ab,a2＋b2≥
3.1 综合法
19
∴x0＝c,代入ax22＋by22＝1 可解得 y0＝±ba2, ∴|AF2|＝ba2. ∴|AF1|＝2a－|AF2|＝2a－ba2＝2a2－ a b2,
在 Rt△AF2F1 中,O 是 F1F2 的中点,
3.1 综合法
20
2b2c
∴O
到
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证 法2:∵a、b、c为 不相等正数 ，且abc = 1，
1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab 1 1 1 1 1 1 + + + 1 < b c+c a+a b = + 2 2 2 a
1 1 + . b c 1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例：有下列各式： 1 1> , 2 1 1 1+ + > 1, 2 3 1 1 1 1 1 1 3 1+ + + + + + > , 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + >2 2 3 4 5 6 7 15 你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。
又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个 交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个 交点也两两不相同. 从而平面内交点的个数是 k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2 =(k+1)[(k+1)-1]/2. 这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为: f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2. 根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都成立. 说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当 n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.
注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域. 练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 n-1 ------的条数f(n+1)=f(n)+_________. 练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将 空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 2k f(k+1)=f(k)+__________个区域.
0<6 0<6
成立.
a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 成立.
问题一:
三:反证法
求证:两条相交直线有且只有一个交点.
注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法
2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少两个.
问题二:求证一元二次方程至多 ------有两个不相等的实根.
作业：
１:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不 过同一点, 证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.
证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2
>
abc +
2
a bc +
2
ab c =
2
a+
b+
c.
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证 求 ：a + b + c < + + . a b c
综合法与分析法
知识结构
推理
推 理 与 证 明 证明 间接证明 合情推理 演绎推理
归纳推理
类比推理
比较法 直接证明 综合法 分析法 反证法
数学归纳法
一.综合法
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证 求 ：a + b + c < + + . a b c
1 1 1 ∴ + + = bc + ca + ab a b c
注:所谓至多有两个,就是不可能有三个,要证 “至多有两个不相等的实根”只要证明它的 反面“有三个不相等的实根”不成立即可.
问题:如图;已知L1、L2 是异面直线且
A、B∈ L1,C、D∈ L2,,
求证;AC,SD也是异面直线.
C D
L1
a
L2
A
B
五.归纳、类比、猜想、证明
例：在各项为正的数列{a n }中，数列的前n项 1 1 和s n 满足s n = (a n + ) 2 an （1）求a1、a 2、a 3； （2）由（1）猜想到数列{a n }的通项公式， 并用数学归纳法证明你的猜想。
例：已知a > 5，求证源自：• • • • • • • •
二.分析法
a -5 证明: 要证 只需证 只需证 只需证 只需证 因为 所以
a -3 <
a-2 -
a.
a -5 - a -3 < a -2 - a a -5 a < a -2 + a -3
a(a - 5) < (a - 2)(a - 3) a(a - 5)<(a - 2)(a - 3)
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不 过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2. 证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又 f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k条 直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必 与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.