5.逻辑代数基本公式与化简(数字系)

1.6 逻辑函数的公式法化简
最简与或式
乘积项的项数最少。
每个乘积项中变量个数最少。 例1： F ABC ABC ABC
ABC AB(C C) ABC AB A(BC B ) A(C B ) AC AB
提出AB
=1
提出A 反变量吸收
例2：F
AB A B BC B C
=A(1+B+C)+BC ; 结合律 =A • 1+BC ; 1+B+C=1 =A+BC =左边 ; A • 1=1
4、吸收规则
吸收是指吸收多余（冗余）项，多余（冗余） 因子被取消、去掉 被消化了。 长中含短 （1）原变量的吸收： A+AB=A 证明： A+AB=A(1+B)=A•1=A
留下短。
被吸收
（3）混合变量的吸收： AB AC BC AB AC
证明：
AB AC BC
1
AB AC ( A A )BC
正反相对， 余全完。
吸收
AB AC ABC ABC AB AC
例如： AB AC BC D
AB AC BC BC D AB AC BC AB AC
回顾：
1、逻辑函数的表示方法
逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图、波形图、卡诺图
2、三种常用表示方法之间的转换
（1）由真值表求逻辑函数式 （2）由逻辑函数式列出真值表 （3）由逻辑函数式画出逻辑图
（4）由逻辑图写出逻辑函数式
回顾：
3、最小项的概念
最小项和的形式——积之和（“与—或”表达式） 最小项：设 m 为包含 n 个因子的乘积项，且这 n 个 因子以原变量形式或者反变量形式在m中出现且只出 现一次，称 m 为 n 变量的一个最小项。n变量共有2n 个最小项。 最小项的编号规则：把最小项 m 值为1 的输入变量 取值看作二进制数，其对应的十进制数即为该最小 项的编号，记作mi 。
F1 A B (C D)
注意括号
解：
注意 括号
F1 AC BC AD BD
与或式
例 2： F2
解：
( A BC)CD 求F2的反。 F 2 ( A BC)CD
F 2 A ( B C) C D
Leabharlann Baidu
F 2 AB AC C D F 2 AB A C D F2 A C D
2、结合律
A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B A• (B • C)=(A • B) • C
3、分配律
A(B+C)=A • B+A • C
A+B • C=(A+B)(A+C)
普通代数 不适用!
求证: （分配律第2条） A+BC=(A+B)(A+C) 证明: 右边 =(A+B)(A+C) =AA+AB+AC+BC =A +A(B+C)+BC ; 分配律 ; 结合律 , AA=A
23
24
吸收律
一、 逻辑代数的基本运算规则
数字电路要研究的是电路的输入输出之间的 逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的 研究工具是逻辑代数（布尔代数）。
在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个 值（二值变量），即0和1，中间值没有意义。
0和1表示两个对立的逻辑状态。 例如：电位的低高（0表示低电位，1表示 高电位）、开关的开合等。
Y ABC ABC ABC ABC ABC
AB(C C) ABC AB(C C)
AB ABC AB
( A A)B ABC
B ABC
B AC
例5：将Y化简为最简逻辑代数式。
Y AB (A B)CD Y AB ( A B)CD
回顾：
4、最小项的其性质
最小项的性质： a) 对应任意一组输入变量取值，有且只有一 个最小项值为1； b) 任意两个最小项之积为0；
c) 全体最小项之和为1；
d) 具有逻辑相邻性的两个最小项相加，可合
并为一项，并消去一个不同因子。
§1.5 逻辑代数的公式和运算规则
一、逻辑代数的基本运算规则 二、逻辑代数的运算规律
• +
+ •
新表达式：F
变量与常数均取反
注意: 1.变换时，原函数运算的先后顺序不变
2.运算顺序：先括号 再乘法 后加法。 3.不是一个变量上的反号不动。 用处：实现互补运算（求反运算）。
反演定理的证明及其应用
例 1：
F1 A B C D 求F1的反。
F1 A B C D
非运算规则:
1 0
0 1
AA
三个基本定理（P.27）
1. 代入定理
在任何一个含有变量A的逻辑等式中，若以一函数 式取代该等式中所有A的位置，该等式仍然成立。
2. 反演定理
在一个逻辑式 Y 中 , 若将其中所有的“ +” 变成“ ·” ， “ ·” 变成“ +” ，“ 0” 变成“ 1” ，“ 1” 变成“ 0” ，原变 量变成反变量，反变量变成原变量，所得函数式即为 原函数式的反逻辑式，记作：Y 。
基本运算规则
加运算规则:
0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1
A 0 A , A 1 1, A A A, A A 1
乘运算规则:
0•0=0
0•1=0
1•0=0
1•1=1
A 0 0 , A 1 A, A A A, A A 0
A B ( A B)CD
；A=A ;利用反演定理 ;利用公式A+AB=A+B
AB ABCD
AB CD
逻辑代数基本公式
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 1=0; 公 式 A 0=0 A 1=A 0=1（公理） A A= A A A=0 A B=B A A （B C） = （A B） C A （B+C）=A B + A C 序号 10 11 12 13 14 15 16 17 公 式 A+0=A A+1=1 A=A A+A=A A+A=1 A+B=B+A 摩根（ A+（B+C德 ） = （A+BDe. ）+C Morgan）定理 A+（BC） =（A+B) (A+C) 规 律 01律 01律 还原律 重叠律 互补律 交换律 结合律 分配律
5、反演定理
德 • 摩根 (De • Morgan)定理：
AB A B
A B AB
可以用列真值表的方法证明：
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 AB 0 0 0 1
AB
A
1 1 0 0
B
AB
1 1 1 0
1 0 1 0
1 1 1 0
反演定理内容：将函数式 F 中所有的

其他表达式如下：
F AB A C F ( A B)( A C )
与非-与非式： 或-与非式：
或非-或式：
或非-或非式： 与或非式： 与非-与式：
F A BC D
F A B AC
F AB CD
F AB A C
1.6 逻辑函数的公式法化简
问：为何要对逻辑函数进行化简？ 答：逻辑式越简单，它所表示的逻辑关系越明显， 有利于用较少的逻辑门电路来实现这个逻辑函数， 既能节省电子元器件，可靠性又高。
（AB A B ） (BC B C) AB A B(C C)
BC( A A ) B C
反演
配项
AB A BC A B C
被吸收
被吸收
ABC ABC B C
AB AC(B B) B C
AB AC B C
例3: 证明
3. 对偶定理
在一个逻辑式 Y 中 , 若将其中所有的“ +” 变成“ ·” ， “ ·” 变成“ +” ，“ 0” 变成“ 1” ，“ 1” 变成“ 0” ，所得 函数式即为原函数式的对偶式，记作： Y’ 。若两个函 数式相等，那么它们的对偶式也相等。
二、逻辑代数的运算规律
1、交换律
A+B=B+A A• B=B • A
例 3： 解：
F3 A B C D 求F1的反。
F3 A B C D
F3 (A B) (C D) F3 (A B) (C D)
F3 (A B) (C D)
F3 AC AD BC BD
例4：F2 A B C D E 求F2的反。
; A B AB
; 展开
A A A B B A B B
右边
结论：异或门可以用4个 与非门实现。
异或门可以用4个与非门实现：
Y A B AB AB A A B B A B
&
A B
& &
&
Y
例4：化简为最简逻辑代数式
Y ABC ABC ABC ABC ABC
解： F2 A B C D E
F2 A B C D E
反号不动
反号不动
A (B C D E)
A (B C D E)
F2 A B A C A D E
与或式
1.6 逻辑函数的公式法化简
一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可有多种不同的形式：
Y A B AB AB A A B B A B
右边 A A B B A B
; 摩根定律
A A B B A B
;
AA
A ( A B) B ( A B)
0 A B B A 0
AB B A
利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 例如：
AB CD ABD(E F) AB CD
被吸收
（2）反变量的吸收： A AB A B 证明： A AB
A AB AB
长中含反， 去掉反。
A B(A A) A B
例如：
A ABC DC A BC DC
9
A B=A+B
18
A+B=AB
反演律
逻辑代数常用公式
序号 19 20 公 式 规 律 吸收律 吸收律 A+A B=A A+A B=A+B
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22
A B+A B=A
A（A+B）= A AB+AC+BC=AB+AC AB+AC+BCD=AB+AC A AB=A B；A AB=A