2015年高考陕西省理科数学真题含答案解析(超完美版)

2015年高考陕西省理科数学真题
一、选择题
1.设集合2
{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）
A ．[0,1]
B ．(0,1]
C ．[0,1)
D ．(,1]-∞
2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
A ．167
B ．137
C ．123
D ．93
3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数
3sin()6
y x k π
ϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为
（ ） A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
4.二项式(1)()n
x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．24π+
D ．34π+ 6. “sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要 7.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．|?|||||a b a b ≤
B ．||||||||a b a b -≤-
C ．2
2
()||a b a b +=+
D ．2
2
(a b)(a b)a b +-=-
8.根据下边的图，当输入x 为2006时，输出的y =（ ）
A ．28
B ．10
C ．4
D ．2
9.设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1
(()())2
r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）
A ．q r p =<
B ．q r p =>
C ．p r q =<
D ．p r q =>
10.某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A ．12万元
B ．16万元
C ．17万元
D ．18万元
11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率（ ） A ．
31
42π
+ B ．
11
42π
- C ．
112π
- D ．
112π
+ 12.对二次函数2
()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．-1是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值
D ．点(2,8)在曲线()y f x =上
二、填空题
13.中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为
14.若抛物线2
2(0)y px p =>的准线经过双曲线22
1x y -=的一个焦点，则p=
15.设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1
(0)y x x
=
>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标为 16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为
三、解答题
17.C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． 向量()
,3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．
()I 求A ； ()II 若7a =
，2b =求C ∆AB 的面积．
18.如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2
π
∠BA =
，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，
O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．
()I 证明：CD⊥平面1C
A O；
()II若平面1A BE⊥平面CD
B E，求平面
1
C
A B与平面
1
CD
A夹角的余弦值．
19.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
()I求T的分布列与数学期望ET；
()II刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
20.已知椭圆:E
22
22
1
x y
a b
+=（0
a b
>>）的半焦距为c，原点O到经过两点(),0c，()
0,b的直线的距离为1
2
c．
()I求椭圆E的离心率；
()II如图，AB是圆:M()()
225
21
2
x y
++-=的一条直径，若椭圆E经
过A，B两点，求椭圆E的方程．
21.设()
n
f x是等比数列1，x，2x，⋅⋅⋅，n x的各项和，其中0
x>，n∈N，
2
n≥．
()I证明：函数()()
F2
n n
x f x
=-在
1
,1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
内有且仅有一个零点（记为
n
x），且1
11
22
n
n n
x x+
=+；
()II设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()
n
g x，比较()
n
f x与()
n
g x的大小，并加以证明．
22.如图，AB切O于点B，直线D
A交O于D，E两点，C D
B⊥E，垂足为C．
()I证明：C D D
∠B=∠BA；
()II若D3DC
A=，C2
B=，求O的直径．
23.在直角坐标系x y
O中，直线l的参数方程为
1
3
2
3
2
x t
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴
C ()I 写出C 的直角坐标方程；
()II P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
2015年高考陕西省理科数学真题答案
一、选择题 1.答案：A 解析过程： 由==⇒=2
{x }{0,1},M x
x M
=≤⇒=<≤N {x lg 0}N {x 0x 1}x
所以0,1M
N ⎡⎤=⎣⎦，选A
2.答案：B
解析过程：
由图可知该校女教师的人数为
，选B
3.答案：C 解析过程：
试题分析：由图像得， 当时，求得， 当时，，选C
4.答案：B 解析过程：
二项式(1)n
x +的展开式的通项是1r r
r n T C x +=，
令2r =得2x 的系数是2
n C ，
因为2x 的系数为15，所以2
15n C =，
即2
300n n --=，解得：6n =或5n =-，
11070%150(160%)7760137⨯+⨯-=+=sin()16
x π
+Φ=-min 2y =5k =sin(
)16
x π
+Φ=max 3158y =⨯+=
因为n N +∈，所以6n =，选C 5.答案：D 解析过程：
试题分析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半， 所以该几何体的表面积为，选 6. 答案：A 解析过程：
ααα=⇒-=22cos 20cos sin 0
αααα⇒-+=(cos sin )(cos sin )0
所以sin cos 或sin =-cos αααα=，选A 7.答案：B 解析过程：
因为cos ,a b a b a b a b ⋅=<>≤，所以选项A 正确；
当a 与b 方向相反时，a b a b -≤-不成立，所以选项B 错误； 向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；
22
(a b)(a b)a b +-=-所以选项D 正确，选B
8.答案：C 解析过程：
初始条件：；
第1次运行：；第2次运行：； 第3次运行：；；第1003次运行：； 第1004次运行：．不满足条件，停止运行， 所以输出的，故选 B ．
9.答案：B 解析过程：
()ln p f ab ab ==，(
)ln
22
a b a b
q f ++==， 11
(()())ln ln 22
r f a f b ab ab =+==
函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，
21
121222342
πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+D 2006x =2004x =2002x =2000x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅0x =2x =-0?x ≥2
3110y =+=
因为2a b ab +>，所以()()2a b
f f ab +>， 所以q p r >=，故选C
10.答案：D 解析过程：
设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润
由题意可列，其表示如图阴影部分区域：
当直线过点时，取得最大值， 所以，故选D 11.答案：D
解析过程：
如图可求得，，阴影面积等于 若，则的概率是，故选B ． 12.答案：A 解析过程：
假设选项A 错误，则选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+， 因为1是()f x 的极值点，3是()f x 的极值，
所以(1)0(1)3f f '=⎧⎨
=⎩，203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得23b a
c a
=-⎧⎨=+⎩，
因为点(2,8)在曲线()y f x =上，所以428a b c ++=， 解得：5a =，所以10b =-，8c =， 所以2
()5108f x x x =-+
x y 34z x y =+32122800
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩340x y z +-=(2,3)A z max 324318z =⨯+⨯=2222(1)||(1)1(1)1z x yi z x y x y =-+⇒=-+≤⇒-+≤(1,1)A (1,0)B 21111114242
ππ⨯-
⨯⨯=-||1z ≤y x ≥21
11
42142π
ππ
-
=-
⨯
因为()2
15(1)10(1)8230f -=⨯--⨯-+=≠，
所以1-不是()f x 的零点，所以假设成立，选A 二、填空题 13.答案：5 解析过程：
设数列的首项为，则， 所以
，故该数列的首项为 14.答案：解析过程：
抛物线2
2(0)y px p =>的准线方程是2
p
x =-， 双曲线2
2
1x y
-=的一个焦点1(F ， 因为抛物线2
2(0)y px p =>的准线 经过双曲线2
2
1x y -=
的一个焦点， 所以2
p
-
=p =15.答案：（1,1） 解析过程：
因为，所以，
所以曲线在点处的切线的斜率，
设的坐标为（），则， 因为，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率， 因为，所以，即，解得， 因为，所以，所以，即的坐标是
1a 12015210102020a +=⨯=15a =5x
y e =x
y e '=x
y e =()0,1010
1x k y e ='
===P ()00,x y 00x >00
1
y x =1y x =
21y x
'=-1
y x
=P 0
220
1x x k y x ='==-
121k k ⋅=-2
11x -
=-2
01x =01x =±00x >01x =01y =P ()1,1
16.答案：1.2 解析过程：
建立空间直角坐标系，如图所示：
原始的最大流量是
， 设抛物线的方程为（）， 因为该抛物线过点，所以，
解得，所以，即， 所以当前最大流量是
，
故原始的最大流量与当前最大流量的比值是
三、解答题 17.答案：（I ）；（II ）．
解析过程：
（I ）因为，所以，
由正弦定理，得 又，从而，
由于，所以
(II)解法一：由余弦定理，得
而
得，即
因为，所以.
故ABC 的面积为
()1
1010222162
⨯+-⨯⨯=2
2x py =0p >()5,22
225p ⨯=254p =
2252x y =2
225
y x =()()5
3235
35
522224022255255257575753
x dx x x --⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎡
⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎰16
1.2403
=3
π
332//m n sin 3cos 0a B b A sinAsinB 3sinBcos A 0sin 0B ≠tan 3A 0A π<<3
A π
=
2
222cos a b c bc A 7b 2,a 3
π
A =
2742c c 2230c c 0c
3c ∆1
33
bcsinA 2
2
解法二：由正弦定理得
72
sin sin
3
B
π
=
，从而21sin 7B =，
又由a b >，知A B >，所以27
cos 7
B = 故sin sin()
C A B =+sin()3
B π
=+
sin cos
cos sin
3
3
B B π
π
=+321
14
=
所以ABC ∆的面积为
133sin 22
bc A = 18.答案：（I ）证明见解析；（II ）
解析过程：
（I ）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，
BAD=
，所以BE AC 即在图2中，BE ，BE OC 从而BE 平面
又CD BE ，所以CD 平面. (II)由已知，平面平面BCDE ， 又由（1）知，BE ，BE OC
所以为二面角的平面角，所以.
如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，
因为, 所以 6
3
∠2
π
⊥⊥1OA ⊥⊥1A OC ⊥1A OC 1A BE ⊥⊥1OA ⊥1A OC ∠1--C A BE 1OC 2
A π
∠=11B=E=BC=ED=1A A BC ED 12
222(
,0,0),E(,0,0),A (0,0,),C(0,,0),2222
B
得 ，.
设平面的法向量， 平面的法向量，
平面与平面夹角为，
则，得，取，
，得，取， 从而， 即平面与平面夹角的余弦值为 19.答案：
()I T 的分布列为：
ET=32（分钟）
()II
解析过程：
从而 （分钟） (II)设分别表示往、返所需时间，
的取值相互独立，且与T 的分布列相同.
22BC(
,,0),22122
A C(0,)22
CD BE (2,0,0)1BC A 1111(,,)n x y z 1CD A 2
222(,,)n x y z 1BC A 1CD A θ11100
n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111100x y y
z -+=
⎧⎨-=⎩1
(1,1,1)n 2210
n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩22
200x
y z =⎧⎨-=⎩2(0,1,1)n =12cos |cos ,|3n n θ=〈〉=
=1BC A 1CD A 3
0.910.4400.132⨯+⨯=12,T T 12,T T
设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟， 所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.
解法一：
.
解法二：
故.
20.答案：
()I 2()II 22
x y +=1123
解析过程：
（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为，
则原点O 到直线的距离，由， 得
，解得离心率
. (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为. (1) 依题意，圆心M(-2,1)是线段AB 的中点，且.
易知，AB 不与x 轴垂直， 设其直线方程为，代入(1)得
设 则 由，得解得. 从而.
121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=121212(A)
P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T 12
P(40,40)T T 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=(A)1P(A)0.91P 0bx cy bc bc
d a =
=
12
d c 2222a
b a
c 32
c a
2
2244x y b |AB |10(2)1y
k x 2222
(14)8(21)4(21)40k x k k x k b 1122(,y ),B(,y ),A x x 22
12122
2
8(21)
4(21)4,.1414k k k b x x x x k k 1
2
4x x 2
8(21)4,14k k k 12
k
212
82x x b
于是. 由
，得，解得.
故椭圆E 的方程为
.
解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为. (2) 依题意，点A ，B 关于圆心M(-2,1)对称，且.
设 则，，
两式相减并结合
得.
易知，AB 不与x 轴垂直，则， 所以AB 的斜率 因此AB 直线方程为， 代入(2)得 所以，.
于是. 由
，得，解得.
故椭圆E 的方程为
.
21.答案：
（I ）证明见解析；（II ）当时， ，
12|AB ||x x =-=
=|AB |
1022)102
3b 2
21123
x y 2
2244x y b |AB |101122(,y ),B(,y ),A x x 2
221
144x y b 22
22244x y b 1212
4,y 2,x x y 1
212
-4()80x x y y 12x x ≠1212
1k .2
AB y y x x 1
(2)12
y
x 2
2
4820.x
x b 124x x 212
82x x b 12|AB ||x x =-=
=|AB |
1022)102
3b 2
2112
3
x y 1x ()()n n f x g x
当时，，证明见解析．
解析过程： （I ）则
所以在内至少存在一个零点. 又，故在内单调递增，
所以在内有且仅有一个零点. 因为是的零点，所以，
即，故.
(II)解法一：由题设，
设
当时,
当时,
若,
1x ≠()()n n f x g x 2()
()212,n n n F x f x x x x (1)
10,n F n 1
2
1111111
2()1220,122222
12
n n
n n F +⎛⎫
- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-
< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭-
()n F x 1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
n x 1()120n n F x x nx -'=++
>1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
()n F x 1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
n x n x ()n F x ()=0n n F x 11201n n n
x x 111
=+22n n n x x 11()
.2n
n n x g x 2
11()
()()1,0.2
n
n
n n n x h x f x g x x x x x 1x ()
()n n f x g x 1x ≠()1
1
1()12.2
n n n n x h x x nx
--+'=++
-01x ()1111
1()22
n n n n n n h x x x nx x ----+'>++
-
11
110.2
2
n
n
n n n n x x
若,
所以在上递增，在上递减， 所以，即.
综上所述，当时, ；当时
解法二 由题设，
当时,
当时, 用数学归纳法可以证明.
当时, 所以成立.
假设时，不等式成立，即.
那么，当时，
.
又
令，
则
所以当,,在上递减；
当,,在上递增. 1x ()1
111
1()22
n n n n n n h x x
x nx x ----+'<++-
1
1
110.2
2
n
n
n n n n x x ()h x (0,1)(1,)+∞()
(1)0h x h ()()n n f x g x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x 211()1,()
,0.2
n
n n n n x f x x x x g x x 1x ()
()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x 2n
2221
()()
(1)0,2
f x
g x x 22()
()f x g x (2)n k k =≥()()k k f x g x +1n
k 1
1
1k+1k 11()
()()2
k
k k
k k k x f x f x x g x x x 1
211
2k
k x k x k 1
1
k+121111
()2
2
k
k k
k x k x k kx k x g x 1
()
11(x 0)k
k k h x kx k x ()()1
1()(k 1)11(x 1)k
k k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-0
1x ()0k h x '<()k h x (0,1)1x ()0k
h x '>()k h x (1,)+∞
所以，从而
故.即，不等式也成立.
所以，对于一切的整数，都有.
解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为,
则，，
所以, 令
当时, ,所以.
当时, 而，所以，.
若, ,,
当,,, 从而在上递减,在上递增.所以，
所以当又,，故
综上所述，当时, ；当时
22.答案：()I 见解析()II 直径为3 解析过程：
（Ⅰ）因为是
的直径，则，
又，所以， 又切
于点，得，
所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平分，则
， ()(1)0k k h x h 1
k+1211
()
2
k
k x k x k g x 11()
()k k f x g x +1n k 2n ≥()
()n n f x g x k a k b k 1,2,
, 1.n 1
11a b 11
n n n
a b x ()1
1+1(2n)n k x a k k n
-=-⋅≤≤1(2),k k b x k n -=≤≤()()
111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n
---=-=+
->≤≤1x =k k a b ()()n n f x g x 1x ≠()()1
2211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n
----+-'=
--=--2k n ≤≤10k 11n k -+≥0
1x 1
1n
k x ()0k m x '<1x 1
1n
k x
()0k
m x '>()k m x (0,1)()k m x (1,)+∞()(1)0k k m x m 01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,11a b 11n n a b ()()n n f x g x 1x ()
()n n f x g x 1x ≠()
()n n f x g x DE O 90BED EDB ∠+∠=︒BC DE ⊥90CBD EDB ∠+∠=︒AB O B DBA BED ∠=∠CBD DBA ∠=∠BD CBA ∠3BA AD
BC CD
==
又，从而，
由，解得，所以，
由切割线定理得，解得， 故，即的直径为3.
23.答案：
()I 2
2（-
3x y +=()II （3,0）
解析过程：
（1）由，得，
从而有，所以
（2）设，又， 则
24.已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}
24x x <<．
()I 求实数a ，b 的值；
()II
答案：()I a=-3,b=1()II 4 解析过程：
（Ⅰ）由，得，
由题意得，解得；
，
时等号成立， 故
BC
=
AB =222
AB BC AC =+4AC =3AD =2
AB AD AE =⋅6AE =3DE AE AD =-=O ρθ=2
sin ρθ=22x y +=(2
2
3x y +-=132P t ⎛⎫+
⎪⎝⎭
C PC ==x a b +<b a x b a --<<-2
4
b a b a --=⎧⎨
-=⎩3,1a b =-==
+≤4===1t =min
4=。