行列式的性质

教学单元教案设计

教学单元讲稿

一、复习提问与上次课作业典型问题答疑 1. 二、三阶行列式的定义及计算法则

2. n 阶行列式的定义，并讲解P23 T1(1)(2) P23 T2 T3 二、教学单元名称

第三节 行列式的性质 三、课程导入

复习导入

四、分析思路

首先给出对换的概念及对换如何改变排列的奇偶性，再推导出出行列式的6条性质，最后通过讲解几个例题让学生掌握行列式的性

质。

五、讲授内容

第三节 行列式的性质

1.3.1对换

对换的定义：在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换．

将相邻两个元素对调,叫做相邻对换． 例：b b b a a a l 11 ——b b a b a a l 11.

定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.

推论

奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.

证明 ： 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立

定理2 ：n 阶行列式为：

.)1(211

2123

2221

13

12112

1

n p p p t n n n n

a a a a a a a a a a a a -∑=

其中t 为n p p p 21的逆序数.

（以4阶行列式为例,对证明过程作以说明） （补充）定理3 n 阶行列式也可定义为

.)1(1

2

121

11

2123

2221

13

1211n q p q p q p t n n n n a a a a a a a a a a a a -∑=

其中n p p p 21和 n q q q 21是两个n 级排列,t 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.

练习：试判断655642312314a a a a a a 和662551144332a a a a a a -是否都是六阶行列式中的项.

1.3.2 行列式的性质

转置行列式的定义

记 nn n n n

n

a a a a a a a a a D 21

22221

12111

=

T D =nn

n n n n a a a a a a a a a 21222121

2111

(D ')

行列式T D 称为行列式D 的转置行列式（依次将行换成列）

一、n 阶行列式的性质

性质 1： 行列式与它的转置行列式相等.

由此知，行与列具有同等地位.关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然. 如: d

c b a

D = d

b c

a D T

=

以r i 表示第i 行，j c 表示第j 列.交换j i ,两行记为i j r r ↔,交换

i,j 两列记

作i j c c ↔.

性质 2： 行列式互换两行（列），行列式变号.

推论： 行列式有两行（列）相同，则此行列式为零.

性质 3： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以数 k ,等于用数k 乘以该行列式.

推论： 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外.

性质 4： 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.

性质 5： 若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.

即若 ()()nn ni

ni n n n i i n i i a a a a a a a a a a a a a a a D '+'+'+=

2

1

22

2222111

11211

)(

则 nn ni n n n i n

i a a a a a a a a a a a a D

21222221111211=

+nn

ni

n n n

i n i a a a a a a a a a a a a '''2

1

2222

21

111211

. 性质 6： 把行列式某一行（列）的元素乘以数k 再加到另一行（列）上，则该行列式不变.

二、n 阶行列式的计算：

例1. 计算2

1

6

4

72954

1732152

-----=

D .

解： 2164729541732

1

5

2

-----=D 31c c ↔==2

461759243712

2

5

1

------

121

41

32

r r r r r r +--=0

210311061

2022

51----

4

24

32r r r r ++=0

21

0330063002

251---42r r ↔==93

00

030002102251-=--.

例2. a

b b b b a b b b b a b b b b a D =

4

321r r r r +++=

a b b

b

b a b b b b a b b

a b a b a b a 3333++++

b

a r 311+⨯=()a

b b b b

a b b

b b a b

b a 11113+1

4

,3,2br r i i -==()b

a b a b a b a ---+0

00000

11113

3(3)()a b a b =+-.

(推广至n 阶，总结一般方法)

例3. 证明：22222

211111

1p r r q q p p r r q q p p r r q q

p +++++++++222

111

2r q p r q p r q p =. 证明： 左端2

2222111115

p r r q p p r r q p p r r q p ++++++=第一列

性质2

222211111

p r r q q p r r q q p r r q q +++++++ 2

2

22

1111

r r q p r r q p r r q p +++=2

22

2

1111

p r r q p r r q p r r q ++++2

2

2

111

r q p r q p r q p =2

2

2

111

p r q p r q p r q + 2

2

2

111

2r q p r q p r q p =. 例4. nn

n n nk

n k

kk k k

b b b b

c c c c a a a a D

111111111

1110=，

,)det(11111kk

k k

ij a a a a a D

== .)det(11112nn

n n

ij b b b b b D ==

证明： 21D D D =.