2第二章 杆件的基本变形

杆件在外力作用下产生变形时，其内部产生的相互作用力称为内力。

内力随外力的增大而增加，但内力的增加是有一定限度的，超过某一限度，杆件就会被破坏。

．截面法

①概念：将受外力作用的杆件假想地切开用以显示内力，并以平衡条件来确定其合力的方法，称为截面法。

②用截面法求内力的步骤

截面法是分析杆件内力的唯一方法。一般可分为“截、取、代、平”四个步骤：．截：在需求内力的截面处，沿该截面假想地把构件切开；

．取：选取其中一部分为研究对象；

．代：将去掉部分对研究对象的作用以截面上的内力来代替；

．平：根据研究对象的平衡条件，建立平衡方程，以确定内力的大小和方向。

．轴力和轴力图

1）轴力：由于内力的作用线与杆件的轴线重合，故内力也称轴力。

轴力的符号规定：当杆件受拉伸时，即轴力背离横截面时，取正号；反之，当杆件受压缩时，即轴力指向横截面时，取负号。

2）轴力图：为了表示轴力随截面位置的变化情况，取平行于杆轴线的x轴的坐标表示横截面的位置，再取垂直于x轴坐标表示横截面的轴力，一般把正的轴力图画轴的上方，负的轴力图画在x轴的下方，这样会出的线图称为轴力图。

注：截面上的内力是分布在整个截面上的，利用截面只能求出这些分力的合力。

（3）例题：

如图示等截面杆，A、C、B点分别由F1=10N，F2=30N，F3=20N三力作用而平衡，求杆的轴力。

解：由于杆上有三个外力，因此在AC

CB段的截面上将有不同的轴力。

（1）求截面1—1上的轴力

①沿1—1截面假想把直杆切为两部

②取右端为研究对象；

③在截面上以F N1轴力代替舍去部分对

研究部分的作用；

④对研究对象列出平衡方程式

∑F x＝0 F2－F3－F N1＝0

F N1＝F2－F3

＝（30－20）N＝10N

（2）用上述方法可以求出截面2—2的轴力

F N2＝－20N

注：解题时不论选取那一部分为研究对象，都可得到同样的结果。

三、小结

通过本节的学习，同学们应：

．掌握材料的基本变形形式。

．了解内力的概念。

．掌握截面法求内力的步骤。

．掌握画轴力图的方法。

．掌握材料在伸和压缩时的变形特点和受力特点。

四、作业

教材习题

例题1：圆截面杆如图示，已知F1=400N，F2=1000N，d =10mm，D =20mm，试求杆横截面上的正应力。

解：由于该杆AB段和BC段的横截面

面积不同，所以正应力不同，应分段计算。

（1）计算各段内的轴力

AB段：取1—1截面左段为研究对象，

列平衡方程式

∑F x＝0 F1－F N1＝0

F N1＝F1＝400N

段：取2—2截面左段为研究对象，列平

衡方程式

∑F x＝0 F1＋F2－F N2＝0

F N2＝F1＋F2＝1400N

（2）计算各段正应力

AB段：σAB＝F N1/A1≈5.1MPa

BC段：σBC＝F N2/A2≈4.5Mpa

三、小结

通过本节的学习，同学们应：

．理解应力、正应力的概念。

．掌握轴向拉伸和压缩时截面应力的计算。

四、作业

教材习题

（四）强度计算

．利用轴向拉伸或压缩时构件的强度条件可以解决三类强度计算问题：

（1）校核构件强度若已知构件尺寸、载荷数值，可计算出工作应力，再用强度条件检查构件是否满足强度要求。

（2）选择构件截面尺寸若已知构件所受载荷和许用应力，可按下式确定截面面积。A≥F/[σ]

（3）确定许可载荷已知构件尺寸和材料的许用应力，可按下式求出构件能承受的最大轴力。F Nmax≤A[σ]

．例题

如图示为冷镦机的曲柄滑块机构，锻压工件时，连杆接近水平位置承受的镦压力1100KN，连杆是矩形截面，高度h和宽度b之比h/b＝1.4，材料45钢，许用应力58Mpa，试确定连杆截面尺寸h和b。

解：（1）计算连杆最大轴向载荷

=F＝1100KN

p

（2）计算连杆受到的轴力

＝F p＝1100KN

N

（3）由强度条件式求连杆截面积

A≥F/[σ]＝18965.5mm2

（4）求连杆的高度h和宽度b

＝116.4mm b＝163.0mm

三、小结

通过本节的学习，同学们应：

．理解危险应力和工作应力、许用应力和安

全系数的概念。

．掌握材料的强度条件。

．了解强度条件可解决的三类问题。

．能熟练运用强度条件去解决实际问题。

四、作业

教材习题19、20

．虎克定律的另一种表达形式

σ=ε·E

这是一个重要的关系式，应用此关系式可从已知的应力求变形，也可通过变形的测量来求未知的应力。

．泊松比

若杆件的横向尺寸为b ，变形后的尺寸为b 1，则横向应变为 ε＇＝△l /l ＝(b 1－b )/b

试验表明，当应力值不超过某一限度时，横向应变ε＇和轴向应变ε之比的绝对值是一个常数，即

μ＝εε'

μ称为横向变形系数或泊松比，是一个无量纲的量。

．变形计算例题：如图示为一阶梯形钢杆，AC 段的截面积为A AB ＝A BC ＝500mm 2，段的截面积为A AB ＝200mm 2，受力情况及各段长度如图，已知材料的弹性模量E ＝200GPa 。求杆件的总变形量。

解：（1）求出钢杆各截面的轴力。画出轴力图。用截面法求出Ⅰ—Ⅰ处和Ⅱ—Ⅱ处的轴力为

F p Ⅰ=F 1－F 2＝20KN F p Ⅱ=-F 2＝－10KN

因为在AB 段内各截面上的轴力均相BD 段内各截面上的轴力也相等，由此画出轴力图，如c 所示。

（2）计算钢杆的总变形量

F N ＝F p ＝1100KN

全杆总变形量为各段变形量之代数和

△l AB ＝0.02mm △l BC ＝－0.01mm △l CD ＝－0.025mm 总变形量为 △l AD ＝△l AB ＋△l BC ＋△l CD ＝－0.015mm 三、小结：

通过本节的学习，同学们应： ．掌握虎克定律的内容。 ．了解材料的拉压弹性模量。

．能熟练运用虎克定律求解实际问题。 四、作业 教材习题18