最新专转本高数定积分复习资料(同方)汇总

2013专转本高数定积分复习资料(同方)

第四章 定积分

本章主要知识点

● 定积分计算

● 特殊类函数的定积分计算 ● 变限积分

● 定积分有关的证明题 ● 广义积分敛散性 ●

定积分应用 （1）面积

（2）旋转体体积

一、定积分计算

定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式：设⎰+=C x F dx x f )()(，则

()()()()b

b a a

f x dx F b F a F x =-=⎰

。

其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需

要指出的是对于第Ⅱ类直接交换法，注意积分限的变化：

()11

1

()

()

()

()()(())x t b

b a

a t x f x dx f t t dt ϕϕϕϕϕϕ---=='=⎰

⎰

。

例4.1． 11

1)e

dx x

⎰

解：原式=e

11)ln d x ⎰=3

21

25((ln )ln )|33e

x x += 例4.2．3

⎰ 解：原式t x t x =+-==11222 1121t tdt t -+⎰=32 121t t dt t -+⎰=322125

()|33

t t -= 例4.3．⎰20

2sin π

xdx x

解：原式=⎰-2

2cos 21π

x xd =⎰+-20202cos 21|2cos 21π

πxdx x x

=20|2sin 414π

π

x +=4

π

二、特殊类函数的定积分计算

1．含绝对值函数

利用函数的可拆分性质，插入使绝对值为0的点，去掉绝对值，直接积

分即可。 例4.4．⎰--2

1|1|dx x

解：原式=1

2

1 1(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰=2

1

2|)2(2x x -+=)121(02--+=2

5 例4.5．⎰--++2

2

|)1||1(|dx x x

解：原式=112

2

1

1

(|1||1|)(|1||1|)(|1||1|)x x dx x x dx x x dx ---++-+++-+++-⎰⎰⎰

=1

12

21

1

(11)(11)(11)x x dx x x dx x x dx ------++++-+++-⎰

⎰⎰

=1

1

2

2

1

1

222xdx dx xdx ----++⎰⎰⎰=2

12122|4|x x ++---

=)14(4)41(-++--=10

2．分段函数积分

例4.6．⎩⎨⎧≤+>=0

,10,)(2x x x x x f ，求⎰-11

)(dx x f

解：原式=⎰⎰-+0

11

0)()(dx x f dx x f =⎰⎰-++0

11

02

)1(dx x dx x =1

03012|3

1|)2(x x x ++- =31)121(+--=6

5

例4.7．⎩⎨⎧≤>+=1

,1

,12)(x x x x x f ，求⎰-+12

)1(dx x f

解：原式1

1

2

2

1

(1)()u x f x dx f u du =+--=

+=

=⎰

⎰

12

11()()f u du f u du -+⎰⎰

1

2

2

211

1

(21)0()udu u du u u -=++=++⎰⎰624=-=

3．奇函数积分

如果 ()f x 为定义在[],a a -的奇函数，则()0a

a

f x dx -≡⎰，这是一个很重要考

点。 例4.8．

20082

4

2

3arctan 01x x dx x -=+⎰

例4.9．

33321

4441

sin (

)1

x x x e dx x --++⎰

解：原式1111

1

0x x

e dx e e e -----=+=-=-⎰

例4.10．

42

222cos sin 2(1)(2)x x x x x xe dx x x π

π-⎛⎫++ ⎪++⎝⎭

⎰ 解：原式2222

00()x

x

x

xe dx xe e π

π

ππ--=++=-=⎰22(1)(1)22e e π

π

π

π

-

-++

例4.11．()f x 为[-a,a]

上的连续函数，计算

(()()ln(a

a

f x f x x dx ---+⎰

解：()(),ln(f x f x x --为奇函数，原式＝0