数学建模完整论文设计宿舍楼紧急情况下人员疏散问题

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日期： 2014 年 9 月 1日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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汶川大地震的反思
摘要
在现如今社会，各类突发事件频频发生。

当一旦发生，如果不能迅速让建筑物内的人员有组织有秩序的疏散撤离，那将会造成严重的人员伤亡，严重威胁公众的生命安全。

学校的宿舍楼是一种人员非常集中的场所，由于学校宿舍楼开放的安全通道有限，加上缺少合理的人员疏散方案，造成学生进出宿舍时（尤其是雨天）的楼道拥堵，这样一旦发生险情，就容易造成严重的人员伤亡。

对于不同类型的建筑物，人员疏散问题的处理办法有较大的区别，在文章中分析了大型建筑物内人员疏散的特点，结合我校26栋楼的结构形式设定地震场景人员的安全疏散，对宿舍楼的典型的地震突发事件场景作了分析，并对该建筑物中人员疏散的设计方案做出了初步评价，分析该建筑物中人员疏散设计的现状，提出一种人员疏散的基础，得出了一种在人流密度较大的建筑物内，地震中人员疏散时间的计算方法，并对学校领导提出有益的见解建议。

研究在险情发生时如何在最短时间内组织人员逃出某建筑物这类应急处理问题，是为了寻求到最佳的疏散方案, 建立了人流疏散数学模型, 该模型考虑到人流速度与人流密度之间的关系, 以疏散时间最短为目标函数。

根据此模型求解得到了26栋宿舍楼人员快速疏散的优化方案。

通过对模型的检验, 对有关部门提出了必要的建设性意见。

在险情发生时人员能否安全疏散主要取决于疏散到安全区域所用时间的长短。

在人员疏散问题中, 疏散撤离所用的时间依赖许多因素,如果不将这些因素进行简化处理, 那将是一个十分复杂的问题。

为了便于建立数学模型,寻找出较为合理的疏散撤离方案,先仅考虑m 楼道口开通的情形,然后在此模型的基础上再作进一步的改进, 得出更加接近实际的数学模型。

下面假设地震发生时宿舍楼内的人员疏散问题，对我校26栋宿舍楼内的人员疏散方案进行了数学模型研究。

是关于安排建筑物的出口和撤离方案使所有人员撤离完毕所用疏散时间最小的优化问题。

问题二：我们假设只有单行和双行两种方式。

无论哪种方式，人流速度主要与人员密度有关，0.80v v ρ-=-。

通过分析知流量随人流密度的增加先增后减，单行流量小于双行的流量，故我们尽量使人流双行。

经分析得出：
540.800.8110[([/1])/2]*/[(2[1/1])]([1/1])ij i j l t N l d c v d v d --==⎧⎫=+-+-+⎨⎬-+⎩⎭∑∑
在以上基础上，给出符合实际情况的数据，模拟地震发生时的情形，经求解得出：
当V 0=4.0m/s 时，t=158.18s
当V 0=3.0m/s 时，t=216.25s
得出最佳撤离方案：即先撤出一楼单行的人员，再撤出一楼和二楼双行的人员，最后撤出三至七层楼的人员。

关键词: 人员疏散 疏散方案 疏散模型 人流密度 人流速度
1.问题的重述
1.1问题的背景
学校的宿舍楼是一种人员非常集中的场所，当发生地震、火灾等安全事故等突发事件时，学生需要尽快撤离事故现场，由于宿舍楼开放的安全通道有限，加上缺少合理的人员疏散方案，造成进出宿舍时（尤其是雨天）的楼道拥堵。

在灾难发生之时，建筑物内的人员是否能有组织、有秩序地撤离是有关人身安全保障的大问题。

对于一个特定的建筑物，管理人员最关心建筑物内所有的人全部撤离完毕所用时间，以便于安排建筑物的出口以及撤离方案。

这个问题可以通过反复的实际演习来解决。

但多次反复的演习实际上是不可能的。

理想的办法是通过理论上的分析得到。

1.2问题的提出
现在考虑学校的22栋宿舍楼，共七层，其中每层宿舍楼有两排，共三十四间，如图1.1：
图1 . 1楼原平面图
楼里的学生可以沿寝室外的走道一直走到楼梯间下楼，可完成下面的问题：
1.用数学模型来分析这栋宿舍楼的学生疏散所用的时间；
2.根据建立的数学模型给出最佳撤离方案；
2.模型假设
(1)楼道中与楼梯上无障碍物；
(2)疏散时走道左右两边的人员各自排成一行独立有序行进, 互不影响；
(3)撤离人员间隔均匀且行进速度保持不变;
(4)全部人员的反应时间是一样的；
(5)地震时，学生都在宿舍中；
(6)队列中人的身体厚度相同；
(7)在疏散过程中，在门口、楼梯口、由于瓶颈因素人流可能出现滞留，在此情况按排
队等候型处理；
(8)个体始终朝出口方向移动，不考虑心理层面对个体的行为的影响；
(9)忽略卡死与跌倒现象；
(10)到一楼楼梯底即为逃脱。

（11）每个寝室的人员分布情况相同。

3.符号说明与名词解释
3.1符号说明
1.
2.L为每个寝室的门口到它前面一个寝室的门口的距离；
3.D为寝室门的宽度；
4.H为楼房的层高；
5.v是人流移动速度；
v是不发生拥挤时自由移动速度；
6.
7.ρ是人流密度；
8.b为肩宽；c为步长；e为身体厚度；
9.楼梯宽度w；楼梯长度l；
10.走廊宽度f；
11.d为相邻个体间距，d c e
=-；
12.l为相邻楼层间的楼梯长度；
13.人流的宽度：[/]
D b。

3.2名词解释
(1)单行：人员排成一列行走；
(2)双行：人员排成两列行走；
(3)人行流(人流)：运动的人员视为连续流动的介质，即人流。

4.模型的准备
4.1人行流(人流)的基本函数
人流密度反应了人流内人员分布的稠密程度, 通常是指单位面积内分布的人员的
数目。

Fegress认为人流密度指单位面积的疏散走道上的人员的水平投影面积, 它是一个分数值, 其大小为
p = nf／｛［(n-1)d0+nw］b0/2｝
人流间的间距(m); w 其中, n 为一定面积的总人数; f 为单位水平投影面积(m2); d
为疏散通道宽度(m)。

为人流间的厚度(m); b
式中的单位水平投影面积反映整个人流内人员投影面积的综合水平。

Fegress将人流内的人员按不同的年龄段分为3 类人:青年人、中年人、老年人,各类人员的投影面积可按实际测量得出取平均值, 然后按各类人员在人流中的百分比求加权平均值, 即
f = xa + yb + zc
式中, f 为单位水平投影面积(m2) ; x 、y、z 分别为青年人、中年人、老年人平均的单人水平投影( m2) ; a 、b、c分别为青年人、中年人、老年人在人流中的百分比。

人流速度是指人流整体的行进速度, 其值为人流首段的行进速度。

研究表明, 人流速度是人流密度的函数: v = f ( p ) , 一般说来, 由于性别、年龄、身体条件的不同, 疏散人员的能力也各有不同。

为简化起见,Fegress 将楼栋里的人群视为人流处理, 并具有一定的密度、速度及流量, 而不单独考虑人流内各个人员的具体特征。

图5显示了在不同疏散路线上人员行走速度与人员密度的关系:
图5 人员行走速度与人员密度的关系
4.2安全队列数
安全队列数是指在保证安全不拥挤的前提下, 疏散通道宽度一定时, 最多允许同
时通过的人员列数。

m = int[(b0-0.238)/b*]
其中, b*为人自由行走时所需的最小宽度, int表示取整。

4.3行走速度
人在紧急状态下行走速度会比正常情况下快。

根Predtechenskii Milinskii的研究,
正常情况下水平通道内的人流速度:
v = (112p 4-380p 3+434p 2
-217p+57)/60
其中, p ≤0.92, 当人流密度达到或超过这一数值时, 人流便会现拥挤或堵塞。

在紧急情况下人流在水平通道内的行走速度为： v 1 = vu 1
式中, u1= 1.49 - 0.36p 。

在紧急情况下人流在斜直方向(下楼梯)速度近似为：
V 2 = u 1v
研究对象是在无穷长的路上沿单向运动的一条人流假定不允许任何人超前行走，路上也没有岔路，在路上选定一个坐标原点，记作0x =。

以人流运动方向作为x 轴的正向，于是路上任一点用坐标x 表示。

对于每一时刻t 和每一点x ，引入3个基本函数： 流量(,)q x t 一时刻t 单位时间内通过点x 的人数；
密度(,)x t ρ一时刻t 点x 处单位长度内的人数；
速度(,)u x t 一时刻t 通过点x 的人流速度。

将人流视为一维流体场，这些函数完全可以类比作流体的流员、密度和速度．注意这里速度(,)u x t 不表示固定的哪一个人的速度.
3个基本函数之间存在着密切关系．首先可以知道，单位时间内通过的人数等于单位长度内的人数与人流速度的乘积，即
(,)(,)(,)q x t u x t x t ρ= (1)
其次，经验告诉我们，人流速度u 总是随着人流密度ρ的增加而减小的当一个人前面没有人时，它将以最大速度行走，可描述为0ρ=时m u u = (最大使)：当人首尾相接造成堵塞时，人无法前进，可记为m ρρ= (最大使)时0u =．不妨简化地假设u 是ρ的线性函数，即 (1)m m u u ρρ=-
(2) 再由(1)式可得： (1)m m
q u ρρρ=- (3) 表明流量随人流密度的增加先增后减，在''/2m ρρ=处达到最大使m q (图6)。

应该指出，(2)，(3)式是在平衡状态下,u ρ和q 之间的关系，即假定所有人的速度相同，路
上各处人的人流密度相同。

图6
3
5.问题的分析
5.1 问题二的分析
由于本宿舍楼的楼道是对称双向的，故可简化为两个单边寝室单向出口的形式。

人员疏散时间不仅与人员密度、出口通量、人员疏散速度有关系,还与建筑结构形式有关。

我们把运动的人员视为连续流动介质。

这里我们令[/]D b =1，2w ，即人员从门通过时是单行，楼梯最多并行两个人；且楼梯长度l 小于2L 。

由模型的准备可知流量随人流密度的增加先增后减，单行的流量小于双行的流量，故我们尽量使人流双行。

单行速度1v ，双行速度2v ，如图7：
图7 二楼人员刚出来时一楼的情况
因为12v v >且2l L <，故二楼的1N 中第一个跑出的人员与一楼人员相遇。

如图8：
图8 二楼人员与一楼人员相遇时一楼的情况
忽略一些特殊情况，如图9：
此段当作双行
图9 人员运动过程中的特殊情况
由于人员都是连续的人流，故只有前面
n个人员单行，其余的都双行，故我们可以
1
得出：
疏散时间=单行人员疏散时间+双行人员疏散时间
根据假设，在疏散过程中，在门口、楼梯口、由于瓶颈因素人流可能出现滞留，在此情况按排队等候型处理。

在等待过程中，如果出现以下情况，如图10：
图10 等待中出现的情况
则可以自动调整为以下情况，如图11：
图11 调整后的情况
在问题二的基础上，在人员疏散过程中，我们设定以下规则：
1.当不拥挤时，人员单行出楼时，无需等待，直接出楼；
2.当拥挤时，人员按照排队理论，先到的人行流先行；
3.若出现图10的情况时，自动转变为图11；
4.即使不是在同一人行流中，到出口时，可以互相“组队”形成双行，使楼梯利用率
最大。

我们模拟地震逃亡，给出一些符合实际的模拟数据，给出最佳撤离方案。

6.模型的建立与求解
6.1问题一模型的建立
日本的.K Togawa 提出经过Melink 和Booth 简化推导得到的计算公式，他们认为人流速度主要与人员密度有关：
0.80v v ρ-=- [1]
v 是人流移动速度，0v 是不发生拥挤时自由移动速度，ρ是人流密度。

有问题一的分析可知：
疏散时间=单行人员疏散时间+双行人员疏散时间
单行人员疏散时间：
11
l t v = 其中0.8101v v ρ-=-，11/1d ρ=+(2个/m )
单行人员个数为：
1[/1]n l d =+
注：[]a 表示不超过a 的最大整数，称为a 的整数部分。

双行人员疏散时间：
5421211[()/21]*/ij i j t N n d v ==⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭
∑∑
其中0.8202v v ρ-=-，212ρρ≈
最终列出疏散时间的模型方程：
12t t t =+
即：
540.800.8110[([/1])/2]*/[(2[1/1])]([1/1])ij i j l t N l d c v d v d --==⎧⎫=+-+-+⎨⎬-+⎩⎭
∑∑
6.2 问题二最佳撤离方案的建立
根据问题二的分析，我们模拟地震时，宿舍楼疏散时的情形。

下面我们给出宿舍楼的人数，见表1：
表1
初始化问题一中的一些变量：
l=6.4m
0.75
c m
=
Vo
04.0/,3.0/,2.0/
v m s m s m s
=
最佳撤离方案为：
当开始疏散时，所有的人员都同时行动。

一楼的人先按次序撤离，此时单行；当二楼的人员与一楼的人员相遇时，此时双行；忽略后面一小段单行，除去一开始单行，其余全部按双行处理。

即先撤出一楼单行的人员，再撤出一楼和二楼双行的人员，最后撤
出三至七层楼的人员。

我们取
03.0/
v m s
=时，所有人员疏散总时间为t=216.25s。

7.模型的进一步研究
由于我们的模型在一定程度上有理想化成分，我们将模型进行深度讨论，运用我们模型的思想作为为基础，来对该模型进行理论与实践上的讨论作为我们模型的推广。

人员疏散行为规律的研究一直是人们关注的焦点。

我国对安全疏散的研究起步比较晚，大都还停留在定性分析阶段。

近几年来，随着我国对消防安全的逐渐重视，才出现了一些关于建筑物中安全疏散模拟模型的研究。

但这些模型在计算人员疏散行动时间时，把人员在房间内的移动都看成是人到出口的直线运动路线。

而实际上由于房间中桌椅等障碍的影响，避难者的行动路线是折线运动。

针对这个问题，本文提出一种按“L”型行动路线表示人员在房间中的行走情况，并用面积法计算避难者在房间出口的集结状况。

而人员在走廊、楼梯间等通道中的移动则采用将通道划分为单元，每个单元长为“V T
∆”，以此计算出口的避难者人数。

并通过与国外公式的对比检验，证明了本模型具有一定的准确性。

疏散行动模型的建立：
7.1模型基本情况的假定
7.1.1建筑基本情况
建筑的标准层水平通道为条形或环形布置，房间在走道的两侧布置（房间也可单侧布置，另一侧为走道）。

疏散走道为双向疏散至楼梯间。

楼梯间通向安全避难层。

此避难层即为最终疏散的安全地点。

即建筑物都包括了房间、走道、楼梯间前室、楼梯间、
安全地点等主要的空间要素。

7.1.2人员情况
疏散人员包括以下几类人员：不同年龄的人、活动不便的人以及。

人员分布：疏散前人员在各房间内，在房间内按同一人员密度分布，其他位置（如：走道、楼梯间前室、楼梯间等疏散通道）内无人员分布。

7.1.3疏散情况
建筑中的人员按照既定的疏散计划方案中的疏散路径有序地进行疏散，且在疏散过程中人群不出现恐慌状态。

7.2疏散流动的模式化
7.2.1空间的模式化
采用空间网络型控制方法，将各个房间、通道、楼梯间前室、楼梯间、安全地点分别作为网络的基本节点。

再结合建筑情况和疏散过程的实际情况，把走道、楼梯间节点进一步细分为几种具有各自特性类型的节点。

各种类型节点的划分定义情况。

为了便于计算，还将各个空间节点之间的联系定义为连接。

该连接为各个空间节点相互联系的假想空间，该处既无面积，亦不存在用于移动的时间。

7.2.2流动的处理
在疏散过程中，人的流动以单向型人流对待，在门口、楼梯口、出入口等处由于瓶颈因素人流可能出现滞留，在此情况按排队等候型处理；在楼梯前室，如有两个出口，人流则按均匀分配处理。

7.2.3人的处理
由于已将疏散通道的各个空间节点细分了，且可把各疏散通道的空间节点看成是一个个微元单位。

因此，在人员疏散的流动过程中，在所划分的各个疏散通道的空间节点中的人员分布在各个时刻可看成是按该时刻时的同一密度均匀分布。

7.2疏散模型的基本原理
疏散人员从疏散开始后某一时刻T至下一时刻（T+△T ）时间阶段内所进行的疏散行动（移动）分为两个阶段：1.疏散人员在其所在的空间节点内的移动（移向该节点出口）。

2 .疏散人员在各连接（Link）的移动。

即由上一空间节点向下一空间节点的移动。

上一空间节点流出人数为此节点能够流出的人数和其出口允许流出人数两者的较小值。

而下一空间节点允许进入的人数等于该节点所能容纳的最大人数减掉该节点剩余人数。

因此，通过连接（link）的人数即为上一空间节点流出人数和下一空间节点允许进入的人数两者的较小值。

本文重点介绍房间内人员移动的技术原理。

图16 房间内避难者的移动计算图
如图2所示，房间内避难者的移动按“L型”的折线步行路径行动。

这是因为在房间中必然存在着一些障碍物（如家具、桌椅等）。

所以避难人员在房间中移动的实际路
线按“L 型”的折线步行路径行走考虑更为合理。

因此，可用面积法计算疏散开始后，经过时间 T 能到达房间出口的避难者人员总数：
()()()()222022
2r r r T r r r r r r r r V T a T V a a b p a V T a T V V a b V T a b b a b T V V ρρρ⎧⎫⋅⎪⎪ ≤≤⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪=+⋅- ≤≤⎨⎨⎬⎬⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎧⎫+-⋅+⎪⎪⎪⎪⋅- ≤≤⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
其中：T p ——时刻 T 时，能到达房间出口的避难者人员总数，人
a ——房间单元的短边长度，m
b ——房间单元的长边长度，m
V r ——避难者在房间内的步行速度，/m s
r ρ——疏散前房间单元内的人员密度，2/m 人
T ——疏散开始后经过的时间，s
则在时刻T T +∆时，在时间间隔△T 内人群向房间节点()R i 的出口集结，并有部分或者全部人员流出该节点，能够集结至房间节点()R i 出口部分的人数()Rout i 为：
()()()22202()2r r r r r r r r r r r r V T a V T T T V a b V a T T V V Rout i V T a b V T V T ρρρ⎡⎤⋅∆⋅⋅∆+ ≤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋅ ⋅⋅∆ ≤≤=⎡⎤⋅∆+-⋅⋅⋅∆- ⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()0r r r a b b T V V a b T V ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬+⎪⎪ ≤≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪+⎪⎪ ≤⎪⎪⎩⎭
其中：△T ——疏散累计计算时间间隔，s
此后，应用网络控制型原理可依次计算疏散过程中各时刻各空间节点的人数。

由于篇幅限制，这里不作详细阐述。

本文通过对空间节点的细化，建立了更为完善的人员疏散计算模型。

特别是对人员在房间内的行走提出了“L ”型行动路线更为真实的描述了人员行动规律。

8.模型的检验
人群疏散基本特征量的量化观测:
人群在建筑物内移动的基本特征量主要有3个即：人流密度、人员(或人流)移动速
度和流量。

人流密度是指在移动过程中单位面积内所拥有的人数，单位为2
/m 人 。

移动速度是指人员在单位时间内移动的距离，单位为/m s 。

人流流量一般是指单位宽度通道在单位时间内所能通过的人数，1/m s -⨯人。

一般而言，它们之间存在如下关系：
人流流量 = 人流速度 ×人流密度 ×通道宽度
同时，在这里人流的移动速度又在很大程度上取决于人流密度。

人流密度越大，人与人之间的距离越小人员移动越缓慢；反之密度越小，人员移动越快。

当然，这还与人们的文化传统、社会习惯、人们之间的彼此熟悉程度有关。

国外研究资料表明：一般人员密度小于20.5/m 人，人们可以按自由移动的速度移动；当密度超过257/m ~人时，人们几乎无法移动。

人流速度与密度的关系许多学者都进行了大量的观测。

比较典型有前苏联的Pr edtechenskii ，Milinskii ，美国的Fruin ，加拿大的Paul 等人，一般可以将人员密度和移动速度的关系描述成对数关系，也有人把它们描述成指数甚至线性关系。

如果人员的移动速度大，必然要求人口密度小，则相应的人流流量不一定大；反之，人员密度大，但速度又会降下来，流量也不一定大，人流流量只有在某一人口密度的条件下达到最大。

现有疏散时间的量化计算方法:
我国目前的建筑规范主要是控制建筑物的出口、楼梯、门等容量来进行疏散设计。

一般是根据总人数按单位宽度的人流通行能力及建筑物容许的疏散时来控制建筑物的出口总宽度 ，并限制人员离最近出口的最大距离来进行疏散设计。

此外还规定门、走道的最小净宽及每100人宽度指标等。

其基本的计算公式为在：
s N B k T =⨯ 式中：N 设计考察的人数；k 是单位宽度出口通过系数 1(/)m s -⨯人，一般取1.3 1.5~；s T 是建筑物容许设计的疏散控制时间，取24min ~。

我们所求的疏散时间符合上述要求。

对于人员在建筑内的疏散时间的计算 ，在过去几十年国内外的许多学者都进行过不同程度的研究 。

从可以检索的资料来看 ，国内在这方面较为详细探讨的主要包括 ：黄恒栋对于室内人员的疏散流动聚结时间设计特性和安全出口的人流流出时间特性规律进行了较为详细的分析。

最近刘文利等进行了人员在地下商业街的疏散预测研究，东北大学的陈宝智等也进行过关于事故时应急疏散模型的相关研究。

但总的说来我国在这一领域的研究还十分薄弱。

国外的许多科学家及建筑工程师等经过大量的观察、演习、访问等研究 ，推导和总结了一系列关于建筑物出口、通道容量的计算公式。

目前许多建筑设计仍大量应用这些公式。

其中比较著名的有如下公式。

(1)日本Togawa 推导的疏散时间近似计算公式
00011()n T e a i i i t i T N N t B t d T N B =⎡⎤=⨯-⨯⨯Φ+⎢⎥''⨯⎣⎦
∑⎰（）
经过简化可以得到如下公式：
a s e N k T B N v
=+'' 上式中：
a N 是建筑物疏散人员总数；
()i N t ，N '分别是第i 个出口和最终出口处的人员流量；
n 是出口总数；
B 是第i 个出口的宽度；
0T 是出现定常人口流动时的时间；
()i t Φ为第i 个出口处人员滞留系数；
s k 是从最终出口到人流起端的距离(可以简单认为是第一个人员移动到最终出口的距离)；
v 人流移动速度。

(2)英国的Melink 和Booth 方程
与Togawa 方程类似 ，但该方法主要偏重计算多层建筑的总体疏散时间：
1()/()n
r i r s i r T Q N b rt -='=+∑
上式中：
r T 是第r (r 从1到n )层以上人员疏散下来的最小时间；
i Q 为第 i 层的人数；
N '单位宽度楼梯通过的流量；
1r b -是从(1)r -到r 层的楼梯宽度；
s t 是在不受拥挤情况下的人员下降一层所需的时间,一般取16s 。

当/()s Q N b t '≥，则1r =时时间最长，/()e s T nQ N b t '=+；
当/()s Q N b t '<，则r n =时时间最长，/()e s T Q N b nt '=+；
(3)加拿大Paul 经验方法
加拿大Paul 经过了大量的演习观测总结出了一系列关于多层建筑疏散时间的计算方法,他提出了有效楼梯宽度的概念,即认为实际人们可以利用的楼梯面积应该扣除楼梯两侧不可利用部分各150mm ，并得到人流流量在楼梯处的经验拟合公式：
0.270.206f p =⨯。