数值天气预报 习题

1. 试证明球坐标系中单位矢量i 的个别变化率为。

2. 试说明局地直角坐标系(即z 坐标系)中的运动方程与球坐标系中的运动方程有何异同?

3. 在等压面p 与之间有一气柱,其横截面积为,气柱内的空气质量为。试根据该气柱在运动过程中其质量守恒的原理导出坐标系中的连续方程为

4. 应用、两坐标系因变量偏微商的转换关系式（1.69）和（1.78）证明

5. 应用、两坐标系因变量偏微商的转换关系式（1.113）和（1.117）把坐标系中的连续方程

转换到坐标系中去。

6. 应用坐标系中的连续方程（1.126）把该坐标系中分量形式的水平运动方程写成通量形式。

7. 已知小尺度运动系统龙卷的物理变量特征尺度为：~米，~米，~50米

秒，~1米秒，~40百帕。应用尺度分析方法简化运动方程（1.132）~（1.134），使其适用于龙卷尺度的运动。对于这种小尺度运动，流体静力近似是否成立？

8. 已知中尺度运动系统台风的物理变量特征尺度为：~米，~米，~100米秒，~10米秒，~40百帕。应用尺度分析方法简化运动方程（1.123）~（1.134），使其适用于台风尺度的运动。对于这种中尺度运动，流体静力近似是否成立？

9. 试说明涡度方程（1.149）中辐散项、倾斜项和力管项引起涡度局地变化的物理机制。

10. 涡度方程（1.170）有哪几种简化形式，它们各有什么特点？

11. 散度方程（1.175）有哪几种简化形式？它们各有什么特点？它们描述了哪些物理量场之间的平衡关系？

()

k

j r u dt di ϕϕϕcos sin cos -=p p δ-y x δδM δP 0=∂∂+∂∂+∂∂p w y v x u ()t z y x ,,,()t p y x ,,,F p z dt dF dt dF ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝

⎛()t p y x ,,,()t y x ,,,σP 0

=∂∂+∂∂+∂∂p w y v x u σσL 210D 410U ∙1-W ∙1-p h ∆L 510D 410U ∙1-W ∙1-p h ∆

1. 在与60°N 相割的极射赤面投影映像平面图上制作正方形网格(参见书P84图

2.14),网格

距=500公里,试求点

的地图放大系数和科里奥利参数。 2. 在与30°N 和60°N 相割的兰勃脱投影映像平面图上制作正方形网格(参见书P85图2.15),

网格距=300公里,试求点

的地图放大系数和科里奥利参数。 3. 在与22.5°N 和22.5°S 相割的墨卡托投影映像平面图上制作正方形网格(参见书P85图

2.16),网格距=200公里,试求点

的地图放大系数和科里奥利参数。 4. 试把运动方程（2.49）由普遍的正交曲线坐标系变换到普遍的地图投影坐标系。

5. 试由普遍的正交曲线坐标系中的连续方程（2.52）导出球坐标系中的连续运动方程。

第三章 习题

1. 什么是差分格式的收敛性和稳定性？二者之间有何关系？

2. 什么是差分格式的耗散性、色散性和守恒性？它们对数值解有何影响？

3. 试证明一阶偏微商的三点差商近似式

的截断误差为。 4. 假定用如下的五点公式表示一阶空间导数，试证明其截断误差为

5. 时间微商用前差格式、空间微商用后差格式写出一维线性平流方程

的有限差分格式，并应用冯—纽曼方法证明该格式的线性稳定性。

6. 时间微商用前差格式、空间微商用中央差格式构造微分

的有限差分格式，并应用冯—纽曼方法证明该格式的线性稳定性。

7. 试论述常用的克服非线性计算不稳定的有效方法。

d ()8,4=-=n n J I p d ()15,5==n n J I p d ()3=

e J p ()t Z Y X ,,,x u ∂R x u u u x u u x u n i n i n i n i n i n i +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+++2432123211R ()2

x O ∆()

4x O R ∆=R x u u x u u x u n i n i n i n i n

i +∆--∆-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+-+43123422110=∂∂+∂∂x u c t u 0=∂∂+∂∂+∂∂y u b x u a t u

1. 试证明差分格式（4.42）是平流方程（4.35）的一次守恒格式。

2. 试证明差分格式（4.47）是平流方程（4.46）的二次守恒格式。

3. 试把二次守恒平流格式（

4.57）展开成可以进行数值计算的形式。

4. 导出正压原始方程的有限差分方程（4.80）的频率方程和群速公式。

5. 写出正压原始方程组（4.95）的半隐式差分格式，并说明其具体求解步骤。

6. 设一维变量可表示为如下的谐波：

式中、和分别为谐波的振幅、波数和位相，而为一常数。试证明：当平滑系数取时，应用空间平滑运算（4.119）可以完全滤除中波长为2的短波波动。

7. 设一维变量可表示为如下的谐波：

式中、、和分别为谐波的振幅、波数、圆频率和初位相，而为一常数。试证明：当平滑系数取时，应用空间平滑运算 可以完全滤除中周期为2的高频振动。

8. 在兰勃脱投影天气底图上，选取的预报区域内共有个网格点，网格是均匀的，

网格距为，预报区域左下角的格点相对于北极点的坐标为。试编制一个计算各网格点的地图放大系数和科里奥利参数的子程序。

9. 已知预报区域内个网格点的初始位势高度、地图放大系数和科氏参数，网格距取为。在预报区域的内点采用中央差分格式、在边界点采用向前或向后差分格式，试编制一个计算各网格点的初始地转风分量和的子程序。

10. 已知预报区域内个网格点的初始位势高度，初始地转风和，地图放大系数和科氏参数，时间步长取，空间步长取，采用固定的水平侧边界条件，应用正压原始方程组的二次守恒平流格式（4.57）（略去放大系数的水平变化）编制一个时间积分子程序，并要求该子程序具有实施时间前差、中央差和欧拉—后差等时间积分方案的功能。

i F ()α++=i i kx F C F cos F k αC S

21i F x ∆n i F n i F ()

αω+-+=n i t kx F C cos F k ωαC S 21()()

1121~-+++-=n i n i n i t n i F F S F S F n i F t ∆N M ⨯D ()D J D I n n

,()J I RM ,()J I F ,N M ⨯()J I ZA ,()J I RM ,()J I F ,D ()J I UA ,VA ()J I ,N M ⨯()J I ZA ,()J I UA ,VA ()J I ,()J I RM ,()J I F ,DT D