对弧长和曲线积分

则 f (x, y, z)ds
f ((t) , (t),(t) )
2 (t) 2 (t) 2 (t) d t
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L : y x2 ( 0 x 1)
1
0 x
1
x
1 4x2 dx
0
1 12
(1
4x
2
)
3
2
1 0
1 (5 5 1) 12
上点 O (0,0)
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例2. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对
称轴的转动惯量I (设线密度 = 1).
解: 建立坐标系如图, 则
y
o
Rx
L
:
xy
R cos R sin
( )
R2 sin2 (R sin )2 (R cos )2 d
第一节
第十章
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
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如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 则定义对弧长的曲线积
分为
n
L
f
(x,
y) ds
lim
0 k 1
f
(k ,k
)sk
如果 L 是闭曲线 , 则记为 L f (x, y) ds.
n
lim
0 k 1
f
(k ,k
)sk
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设各分点对应参数为
点 (k ,k )对应参数为
sk
tk tk 1
2 (t ) 2 (t ) d t
2 ( k ) 2 ( k ) tk ,
则
n
lim
0
k
f
1
[
(
k
)
,
(
k
)
]
注意 2 (t) 2 (t ) 连续
3
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例5. 计算
其中为球面
被平面
所截的圆周.
解: 由对称性可知 x2 ds y2 ds z2 ds
x2 ds 1 (x2 y2 z2 ) ds
3
1 a2 ds 1 a22 a
3
3
2 a3
3
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思考: 例5中 改为 计算
, 如何
解: 令
YX
x y
1 1,
Z z
则
:
X
2
Y2 Z2 X Y Z
a2 0
(X 1)2 ds
2 X ds
2 a3 2 X 2 a
3
圆的形心 在原点, 故
X 0
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例6. 计算
其中为球面 x2 y2
z2
9 2
与平面 x
z
1的交线.
解:
:
1 2
（k 为常数)
(3) f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds
1
2
( 由
组成)
( l 为曲线弧 的长度)
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4、几何与物理意义
(1) 当( x, y)表示 L的线密度时,
M L ( x, y)ds ;
(2)
(
x
12)2
1 4
y2
1,
化为参数方程
x z 1
x
2
cos
1 2
: y 2sin
0 2
则
z
1 2
2 cos
ds ( 2 sin )2
( 2 sin )2 d 2d
I
9 2
2
0
2d
18
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例7. 有一半圆弧
其线密度
求它对原点处单位质量质点的引力.
n
lim
0
k
1
f
[
(
k
)
,
(
k
)
]
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因此
说明:
(1) sk 0, tk 0,因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds (d x)2 (d y)2
y
2 (t ) 2 (t ) d t
因此上述计算公式相当于“换元法”. o
ds dy dx
xx
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解:
d
Fx
k
ds
R2
cos
(x, y)பைடு நூலகம்
d
Fy
k
ds
R2
sin
2k sin cos
R
0
Fy
2k R
0
sin
d
2k R
cos
sin
0
故所求引力为 F 4k , 2k
RR
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内容小结
1. 定义 f (x, y) ds L
R3
sin2
d
2R
3
2
sin 2
4
0
R3( sin cos )
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例3. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
解: 在极坐标系下
y
它在第一象限部分为
L1 : r a cos 2 (0 4 )
利用对称性 , 得
x L xds , L ds
y L yds . L ds
二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理:
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分
且
f (x, y) ds f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
L
证: 根据定义
当 f ( x, y) 1时,
L弧长
ds;
L
z f (x, y)
(3) 当 f ( x, y)表示立于L上的 s 柱面在点( x, y)处的高时,
S柱面面积
f ( x, y)ds.
L
L
(4) 曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量 ,
Ix
x 2 ds,
L
Iy
y 2 ds.
L
(5) 曲线弧的重心坐标
如果曲线 L 的方程为
则有
b
f (x, (x) )
a
1 2(x) dx
如果方程为极坐标形式: L : r r( ) ( ),则
f (r( ) cos , r( )sin
)
r 2 ( ) r2 ( ) d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为
: x (t), y (t), z (t) ( t )
思考:
(1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 L d s 表示什么?
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中
dx 可能为负.
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3. 性质
(1) f (x, y, z) g(x, y, z) ds f (x, y, z) ds g(x, y, z) ds
o
x
4 4 r cos
r 2 ( ) r2 ( ) d
0
4 4 a2 cos d 0
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例4. 计算曲线积分 线
解: (x2 y2 z2 ) ds
其中为螺旋 的一段弧.
a2 k 2 2 [a2 k 2t 2]d t 0
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 )