第四章自动控制原理根轨迹

q 增大，倾角值将重复出现，而独立的渐近线
只有（n-m）条．
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§４－２绘制根轨迹的基本规则 ２.渐近线与实轴的交点
a
p
i 1
n
i
zj
j 1
m
nm
渐近线的交点总在实轴上，即 a 必为实数。在计 算时，考虑到共轭复数极点、零点的虚部总是相互 抵消，只须把开环零、极点的实部代入即可．
第四章 根轨迹分析
系统的闭环极点为特征方程的根，当系统的 某个或某些参量变化时，特征方程的根在S平面上 运动的轨迹称为根轨迹。 采用根轨迹法可以在已知系统的开环零、极 点的条件下，绘制出系统特征方程式的根在S平面 上随参数变化运动的轨迹。
借助这种方法，可以比较简便、直观地分析 系统特征根与系统参数的关系。
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幅值条件改写
jω ∞
K1 s z j
j 1
m
s p
i 1
n
1
sz
j 1 n i 1
m
K
j
i
s p
pi
1 K1
K=0 × -1 K ∞
K=0.25 K=0 ×
σ
i
当 K1 0 ，必有Ｓ＝ 当 K1 ，必有Ｓ＝
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３．暂态性能
（１）当0<Ｋ<0.25时，闭环 特征根为实根，系统是过阻尼 状态，阶跃响应为非周期过程。
K=0 × -1
jω ∞ K K=0.25 K=0 × K ∞ σ
（２）当Ｋ=0.25时，两特征 根重合，均为-0.5，系统处于 临界阻尼状态。
（３）当Ｋ＞0.25时，两特征根变为共轭复根，系 统处于欠阻尼状态，阶跃响应为衰减振荡过程。
K=0
× -1 × σ
K=0
K ∵根轨迹关于实轴对称，∴分离点或会合点必然是 实数或共轭复数．常见的分离点或或会合点位于实轴 ∞ 上。
dK1 求方程式 0的根，可以确定分离点或会合点。 ds
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§４－２绘制根轨迹的基本规则
例４－２，求分离点上的坐标。
当K=0时，S1=0，S2=-1,假设a=1
∞ K K=0 × -1 K K=0.25 K=0 × σ
∞
a a s1.2 K 1 从系统的根轨迹图，可以获得下述信息: 2 2
所有的Ｋ值都是稳定的。
１.稳定性：因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系统对 ２.稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所 以是I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
jω
j 2
K1=6
实部 虚部
K 13 2 0 2 3 0
-2 -1 60°-0.423 -60°
2 , K 1 3 2 6
在绘制根轨迹时，在感兴趣的区段， 要比较细致地绘制，可用试探法， 根据相角条件确定几个根轨迹上的 点。允许有一定的误差，比如±５ °。而其它区段的根轨迹则可根据 一些规则迅速的勾画出来。 绘制根轨迹图时，Ｓ平面虚轴和 实轴的坐标比例应取得一致。
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§４－１根轨迹的基本概念
s0
× O
K S ( S 1)
三．根轨迹的分支数
四．实轴上的根轨迹
§４－２绘制根轨迹的基本规则
根轨迹由若干分支构成，分支数与开环极点数相同。
jω ×
在实轴上存在根轨迹的条 件是，其右边开环零点和开 环极点数目之和为奇数。
o
p1
s1
*
×
设系统开环零、极点分布如 图所示。为在实轴上确定属 于根轨迹的线段，首先在 p3 和 z1 之间任选一个试验点 s1 。
系统特征根为： s1.2 a
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2
a K1 2 第4章第2页共65页
2
下面讨论a保持常数，开环增益K1改变时的情况：
s1.2 a 2 a K1 2
2
当
a a 若 K1 ，则两根相等，均为： 2 4 a2 K1 时，s1和s2成为共扼的复数根，其实 当 4
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jω ×1
p

s1
o
*
×
z1

p
×
2
p3
σ
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§４－２绘制根轨迹的基本规则 K1 ( S 1)(S 3) 例４－１： G( S ) （单位反馈）
S ( S 2)(S 4)
① ∵有三个极点，根轨迹 有三条分支 ② ∵n=3, m=2 ∴有３-２＝１条根轨 迹→∞， ２条终止于开环零点。 ③在实轴上不同段上取试 验点
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jω
-4 -3 -2 -1
×
o
×
o ×
σ
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§４－２绘制根轨迹的基本规则
五．根轨迹的渐近线
１．根轨迹中（n-m）条趋向无穷远处的分支的 渐近线的倾角为
(2q 1)180 a nm
q 0，2…，（n-m-1) 1, ,
当 q 0 时，求得的渐近线倾角最小，
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§４－２绘制根轨迹的基本规则 续例４-２，将 s j 代入特征方程。
j ( j 1)( j 2) K 1 0 j ( 2 j 3 2) K 1 0 j 3 3 2 j 2 K 1 0
X
-2
X
-1
X
0
与实轴交点为：
(0 1 2) 0 a 1 3
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六.分离点和会合点
两条根轨迹分支在Ｓ平面上某一点相遇，然后又 jω 立即分开的点，称根轨迹的分离点（或会合点）。它 ∞ 对应于特征方程中的二重根（把分离点所对应的Ｋ1 K 值代入特征方程，应求得二重根）。 K=0.25
上式的根 s1, 2
K1=6
j 2
用幅值条件确定分离点的增益：
k1 s 0 s 1 s 2 0.423 0.5771.577 0.385
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§４－２绘制根轨迹的基本规则
七.根轨迹与虚轴的交点
当 K1 增加到一定数值时，根轨迹可能穿过 虚轴，进入右半Ｓ平面，这表示将出现实部为 正的特征根，系统将不稳定。必须确定根轨迹 与虚轴的交点，并计算对应的使系统处于临界 稳定状态的开环增益K1 。 在根轨迹与虚轴的交点处，在系统中出现 虚根。因此可以根据这一特点确定根轨迹与虚 轴的交点。可以用 s j 代入特征方程求解， 或者利用劳斯判据确定。
p2
O
z1
×
p1
×
p3
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§４-２绘制根轨迹的基本规则
规则一：系统根轨迹的各条分支是连续的，且对称 于实轴。 通常系统的特征方程为代数方程，当系数连 续变化时，代数方程的特征根也连续变化，所以 特征方程的根轨迹是连续的。 特征方程的根是实数或共轭复数，因此根轨 迹是对称于实轴的。 规则二：当K1=0时，根轨迹的各分支从开环极点出 发；当 K1 时，有m条分支趋向开环零点，另 外n-m条分支趋向无穷远。
图示系统的特征方程
1 G( S ) H ( S ) 0
G( S ) H ( S ) ——开环传函

G H
绘制根轨迹是求解特征方程的根，特征方程可改 写为： G( S ) H ( S ) 1
G( S ) H ( S ) 是复变量Ｓ的函数，根据上式两边的幅
值和相角分别相等的条件，可以得到：
a2 0 K1 4 2
时，s1和s2为互不相等的两个实根
部为： a
，这时根轨迹与实轴垂直相交于：
a （ ，j 0) 点。 2
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2
jω
令开环增益Ｋ从０变化到∞，用解 析方法求不同Ｋ所对应的特征根的值， 将这些值标在Ｓ平面上，并连成光滑的 粗实线，这就是该系统的根轨迹。箭头 表示随着Ｋ值的增加，根轨迹的变化趋 势。 2
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第一节 根轨迹的基本概念
设某系统框图如下： 系统闭环传递函数为：
K1 C ( s) 2 R( s) s as K1
R(s) +
G( s)
-
K1 s( s a)
C(s)
系统的特征方程为：s 2 as K1 0
在a和K1为正值的情况下，此二阶系统总是稳 定的。但特征根却随参数a和K1的值而变化，从而 影响到系统的暂态性能。
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G( S ) H ( S ) 1
G( S ) H ( S ) 1
G( S ) H ( S ) 180(2q 1),
q 0，2， 1 … ，
wk.baidu.com
这就是满足特征方程的幅值条件和相角条件， 是绘制系统根轨迹的重要依据。 现进一步将绘制根轨迹的幅值条件和相角条件 转换成实用的形式。
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由以上分析得知： 根轨迹就是控制系统特征方程的根随系统 参数变化在S平面上移动的轨迹。根轨迹表明 了系统参数对闭环极点分布的影响，通过它可 以分析系统的稳定性、稳态和暂态性能与系统 参数之间的关系。
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二．绘制系统根轨迹的依据
，即起点是开环极点。 ，即终点是开环零点。
zj
但在控制系统中，总有n>m，所以根轨迹从n个开环极 点处起始，到m个开环零点处终止，剩下的n－m条根轨迹将 趋于无穷远处。
G 举例如题， ( S )
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，起点：０，-１，无零点，n=２， m=0，n-m=2，有两条根轨迹→∞
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例4-2-2
反馈系统的根轨迹
K1 绘制开环传递函数为G(s) 的单位 s(s 1)(s 2)
解：开环零点： 无 开环极点：p1=0，p2=-1，p3=-2，所以根轨迹 有三个分支。 渐近线相角为：
180 (2q 1) a 60,180 (q 0,1) 3
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z1
p3
σ
p
×
2
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１．共轭复数极点到 s1的幅角 之和为０°，相互抵消，因 此开环共轭复数极点、零点 对实轴上根轨迹的位置没有 影响，仅取决于实轴上的开 环零、极点。 ２．若实轴上的某一段是根 轨迹，一定满足相角条件。 试验点左侧的开环零、极点 提供的相角为０°,而右侧的 相角为180°。 s1 点满足相角 条件，所以 p3～ z1 之间是根 轨迹。
jω
j 2
K1 0 系统的特征方程为 1 G( s) 1 s( s 1)(s 2)
或
K1=6
K1 s(s 1)(s 2)
dK1 (3s 2 6s 2) 0 ds
-2 -1 60°-0.423 -60°
×
×
×
σ
6 36 24 0.423 1.577 , 6 因为分离点在０至-１之间，故 s1 0.423 为分离点的坐标，而舍弃 s2 1.577
1
（＊）

i 1
n
s pi
n j i
j 1 2013年6月8日星期六
(s z ) (s p ) (2q 1)180
i 1
m
q 0,1,2, …
（＊＊）
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三．根据相角条件确定根轨迹上的点
设某一系统的开环零极点如图， 在Ｓ平面中的任意一点 ，用 s0 相角条件可以判断 是不是根 轨迹的点。 １．从 s 0 到各零极点连直线 ２．用量角器量(s0 p1 ) ,…等 各个角． ３．将量好的值代入（＊＊） 式，若等式成立，则 s 0 就是 根轨迹上的点．
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§４－１根轨迹的基本概念
s0
×
O
p2
O
z1
×
p1
×
p3
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(s0 z1 ) (s0 p1 ) (s0 p2 ) (s0 p3 ) 45 135 210 100 400
不满足，故 s 0 不是根轨迹上的点。
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§４－１根轨迹的基本概念 将开环传递函数写成下列标准的因子式：
G(S ) H (S )
K1 ( s z j )
j 1
m
(s p
i 1
n
i
)
z j －开环零点．
K1 s z j
j 1 m
pi －开环极点．
此时，幅值条件和相角条件可写成：