材料力学典型例题及解析 1.拉伸应力典型习题解析

轴向拉压应力与材料的力学性能
典型习题解析
1　图示直杆截面为正方形，边长a =200 mm ，杆长L = 4 m ，F = 10 kN ，材料密度
3m /kN 20=ρ. 考虑杆的自重，计算1-1和2 -2截面轴力，并画轴力图。

解题分析：杆的自重为体积力。

当杆件重量与外载荷大小在同一数量级时，应考虑杆自重对内力、应力的影响。

为画轴力图，要先计算一些特殊截面上的轴力，如集中力作用的截面和A-A 截面。

解：1、计算1-1截面轴力：从1-1截面将杆截成两段，研究上半段。

设截面上轴力为1N F ，
为压力（见图b ），则1N F 应与该杆段所受外力平衡。

杆段所受外力为杆段的自重，大小为
ρ2
4
a L ，方向向下。

于是由静力平衡条件∑=0y F 得 04
2
N1=+
−ρa L F N 800N/m 1020m 2.0m 2.04
m 44332
N1=××××==
ρa L F 2、计算2-2截面轴力：从2-2截面将杆截成两段，研究上半段。

设截面上轴力为N2F ，为压力（见图c ），则N2F 应与该杆段所受外力平衡。

杆段所受外力为杆段的自重和集中力F ，杆段自重为
ρ2
4
3a L ，方向向下。

于是由静力平衡条件∑=0y F 得
(c)(a) (b)
题1图
(d)
kN 12.4N 104.12N/m 1020m 2.0m 2.04
m
43N 10104333332N2=×=×××××+×=+
=ρa L F F 3、计算集中力F 作用截面上的轴力：首先将杆沿力F 作用截面（B-B ）上侧截开，设截面上轴力为压力+
B F N ，研究上半部分杆段。

由于只受本身重量作用，所以由静力平
衡条件得F 作用截面上侧轴力为
kN 1.6N 106.1N/m 1020)m 2.0(2
m 4233322
N =×=×××==
+ρa L F B 然后将杆沿F 作用截面（B-B ）下侧截开，设截面上轴力为压力−
B F N ，研究上半部分杆段。

这时杆段受本身重量作用和集中力F 作用，所以由静力平衡条件得F 作用截面下侧轴力为
kN 11.6N 106.11N 1010N/m 1020)m 2.0(2
m 42333322
N =×=×+×××=+=
−F a L F B ρ 4、计算A -A 截面轴力：从A -A 截面将杆截开，设截面上轴力为压力A F N ，则A F N 应与该杆上所有外力平衡。

杆所受外力为杆的自重和集中力F ，杆段自重为ρ2La ，方向向下。

于是由静力平衡条件∑=0y F 得
kN 13.2N 102.13N/m 1020m 2.0m 2.0m 4N 101033332N =×=××××+×=+=ρLa F F A
5、画轴力图：在坐标轴上标出特殊截面（杆的顶截面、集中力F 作用截面的上下侧和A-A 截面）处的轴力值，用直线连接即得轴力图（图d ）。

讨论：（1）从轴力图看出，集中力作用的截面两侧轴力发生突变。

突变值就是该集中力的大小。

（2）计算各截面轴力时，得到的轴力均为正值，这只说明真实轴力的方向与事先的假设（本题均假设为压力）一致，并不意味着计算出的轴力为拉力。

2 图示石柱桥墩，压力F = 1000 kN ，石料密度3m /kN 25=ρ，许用应力][σ=1 MPa 。

试比较下列三种情况下所需石料体积。

（1）等截面石柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）等强度石柱（柱的每个截面的应力都等于许用应力][σ）。

解题分析：设计这样的桥墩时，要考虑桥墩自重对强度的影响。

可以想象，在桥墩顶截面只有压力F 作用，轴力最小；在桥墩底截面，除压力F 外，还承受桥墩本身重量，该处轴力最大。

当桥墩采用等截面石柱时，只要考虑底部截面的强度即可。

如果采用阶梯型石柱，需考虑每段的强度。

如果要求各个截面强度相等，则需要对石柱的各截面进行特别设计。

解：1、采用等截面石柱
如图a 所示，设石柱横截面面积为A ，长为l ，底部截面轴力最大，其值为
Al F F ρ+=N
强度条件为
][N σρρσ≤+=+==
l A
F
A Al F A F 于是得 233263m 6.1m
15N/m 1025N/m 101N 101000][=××−××=−=l F
A ρσ
所用石料体积 321m 24m 15m 6.1=×==Al V 2、采用三段等长度的阶梯石柱
结构如图b 所示，按从上到下顺序，设各段横截面面积和长度分别为11,l A ，22,l A 和
33,l A 。

显然，各阶梯段下端截面轴力最大，分别为
11N1l A F F ρ+=,2211N2l A l A F F ρρ++=,332211N3l A l A l A F F ρρρ+++=
由石柱的各段均应满足强度条件，于是得
23326311m 14.1m
5N/m 1025N/m 101N 101000][=××−××=−=l F
A ρσ 2332623332112m 31.1m 5N/m 1025N/m 101m 5m 14.1N/m 1025N 101000][=××−××××+×=−+=l l A F A ρσρ 2
3
3
2
6
23323333
2
2113m 49.1m
5N/m 1025N/m 101m
5m 31.1N/m 1025m 5m 14.1N/m 1025N 101000][=××−××××+×××+×=
−++=l l A l A F A ρσρρ
所用石料体积为 322213212m 7.19m 5)m 49.1m 31.1m 14.1()(=×++=++=l A A A V 3、采用等强度石柱
(a) (d)
(c)(b)
题2图
A (x )d x
所谓等强度石柱，即要求每一个横截面上的应力都等于许用应力][σ。

取x 坐标如图c 所示，则根据等强度要求，有
][)
()
()(N σσ==
x A x F x 由于不同截面上轴力不同，因而横截面面积必须随x 坐标变化才能满足上式。

为确定横截面面积随x 坐标的变化规律，在石柱中x 处取d x 微段，设微段上截面的面积为A (x )，则下截面的面积为A (x )+d A (x )，微段石柱的受力情况如图d 所示。

考虑微段的静力平衡，有
x x A x A x A x A d )(])[(][)](d )([ρσσ+=⋅+ x x A x A d )(])[(d ρσ=
x x A x A d ]
[)()(d σρ= 设桥墩顶端截面( x = 0)的面积为0A ，对上式积分，得x 截面的面积为
x
A x A ]
[0exp
)(σρ
=
由于 22
6
30m 1N/m
101N 101000]
[=××=
=
σF A
石柱下端截面积 2N/m 101m
15N/m 10252]
[0m 45.1exp
m 1exp
)(2
633=×==×××σρl A l A
石柱的体积可由积分求得。

也可用下面的简便方法求解：
石柱下端截面的轴力G F l F +=)(N ，式中G 为石柱的自重，3V G ρ= 由石柱的下端截面强度条件得
][)
(σσ=+=
l A G
F F
l A G −=)(][σ
所以石柱体积为 33
3
3263m 18N/m
1025N
101000m 45.1Pa 101)(][=××−××=
−=
=
ρ
σρ
F
l A G
V
三种情况下所需石料的体积比值为24∶19.7∶18，或1.33∶1.09∶1。

讨论：计算结果表明，采用等强度石柱时最节省材料，这是因为这种设计使得各截面的正应力均达到许用应力，使材料得到充分利用。

3 滑轮结构如图，AB 杆为钢材，截面为圆形，直径mm 20=d ，许用应力MPa 160][=σ，BC 杆为木材，截面为方形，边长mm 60=a ，许用应力MPa 12][c =σ。

试计算此结构的许用载
荷][F 。

解题分析：使各杆均满足强度条件的载荷即为许用载荷。

首先计算F 作用下各杆轴力，然后利用各杆的强度条件确定许用载荷][F 。

两根杆确定出两个可能不同的][F ，取其中的小值即为结构的许用载荷。

解：1、计算AB 和BC 两杆轴力AB F N,和BC F ,N 取图示坐标系，并设AB 杆受拉，BC 杆受压，则B 点的静力平衡方程为
060sin 30cos 0,N ,N =°⋅−°⋅=∑AB BC x F F F ，得 BC AB F F ,N ,N =
0260cos 30sin 0
,N ,N =−°⋅+°⋅=∑F F F F AB BC y ，得 F F F BC AB 2,N ,N ==
2、确定AB 杆可以承担的载荷
[]N 103.504
m)10(20πPa 10160232
-36
N ×=×××=⋅≤=AB
AB A F F σ，
kN 25.15N 1015.252
N 103.50][33=×=×=F
3、确定BC 杆可以承担的载荷
N 102.43m)1060(Pa 1012][23236c N ×=×××=⋅≤=−BC BC A F F σ， kN 21.6N 106.212
N 102.43][33=×=×=F
两者取小值，所以结构的许用载荷][F 为21.6 kN 。

4 两块钢板用直径mm 20=d 铆钉搭接。

先采用两种搭接形式，分别如图a 、图b 所示。

已知
kN 160=F ，两板尺寸相同，厚度δ=10 mm ，宽度mm 120=b ，铆钉和钢板材料相同，许用
切应力=][τ140 MPa ，许用挤压应力MPa 320][bs =σ，许用拉应力][t σ=160 MPa 。

试计算所需的铆钉数，并从强度角度比较两种搭接形式的优劣，校核板的拉伸强度。

解题分析：本题需要考虑下面强度问题：铆钉的剪切强度和挤压强度，钢板的拉伸强度。

一方面，较多数目的铆钉可以提高铆钉强度，另一方面，较多铆钉数意味着较多铆钉孔，可能会降低钢板的拉伸强度。

而铆钉孔对钢板拉伸强度的影响，表现在铆钉孔减小了钢板的横截面面积。

可以想象，如果将几个铆钉孔沿横向排成一排，对钢板强度最为不利。

所以铆钉孔排列方式，也影响到钢板强度。

解：首先假设不论什么排列方式，各个铆钉承受相同的载荷。

设所需铆钉数为 n ，则每个
题3图
铆钉所受剪力为 n F F =
S ，挤压力n
F F =b 。

1、按剪切强度条件确定铆钉数：设铆钉横截面面积为A ，则铆钉的剪切强度条件为 ][π42
S
ττ≤==
d n F A F 于是得 64.3N/m 10140m)1020πN
101604]
[π42
62332
=××××
××=
≥−（τd F n
2、按挤压强度条件确定铆钉数：挤压面面积d A δ=，铆钉挤压强度条件为 ][s
b s
b b bs σ
δσ≤=
=
d
n F A F
得5.2N/m
10320m 1020m 1001N
10160]
[2
6
3
3
3s b =××××××=
≥
−−σ
δd F
n
两者取大值，最后确定铆钉数n = 4。

3、钢板拉伸强度校核：分别按图 a 和图 b 排列方式，画出钢板轴力图如图示。

按图 a 排列，1-1截面为危险截面，拉应力为
][MPa 200m
1010m 10202012N 1016023331
1σδσ>=××××−×=−==−−−）（）（d b F
A F 所以，按图 a 方式排列铆钉时，不满足钢板拉伸强度要求。

若按图b 排列，则1-1截面的拉应力为
题4图
][MPa 160m
1010m 1020012N
10160333111
1σδσ==×××−×=−==−−−）（）（d b F A F 2-2截面上的拉应力为
][MPa 150m
1010m 102020124N
101603243433332
22σδσ<=××××−××=−=
=
−−−）（）（d b F A F
所以，按图 b 方式排列铆钉时，满足钢板拉伸强度要求。

比较两种排列方式，图b 中的排列方式较合理，因为这种排列方式在轴力较大的截面配置较少的铆钉孔，在轴力较小的截面配置较多的铆钉孔，从而降低最大拉伸应力值。

讨论：铆钉排列方式虽然对铆钉本身强度无影响，但却对钢板的拉伸强度影响较大。

所以，在工程中，从被连接件的拉伸强度考虑，铆钉一般按菱形排列。