高三数学解三角形,平面向量与三角形的综合练习

解三角形，平面向量与三角形的综合练习

一、填空题

1．若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为______________．

2．已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么a b 的值为________． 3．已知向量)3,1(=a ，)0,2(-=b ，则b a +=_____________________.

4． )6cos()(π

ω-

=x x f 最小正周期为

5

π

，其中0>ω，则=ω

5．b a ,的夹角为

120，1,3a b ==，则5a b -=

6．若BC AC AB 2,2=

=，则ABC S ∆的最大值

7．设02x π⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．

8．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．

9．若向量a ，b 满足1

2a b ==，且a 与b 的夹角为3

π

，则a b += ． 10．若3

sin(

)25

π

θ+=，则cos2θ=_________。 11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若

(

)

C a A c b cos cos 3=-，

则=A cos

。

12已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b -=，则||b 的取值范围

是 。

13．.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c ===︒ 则A

＝ .

14． 关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：

①若a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）

三、解答题

1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x π

ππ

=-

+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程

（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122

ππ

-上的值域

2．已知函数2

π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，上的取值范围．

3．已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n ⋅= (Ⅰ)求tan A 的值；

(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域.

4．已知函数f (x )=A sin(x +ϕ)(A >0,0<ϕ<π),x ∈R 的最大值是1，其图像经过点M 132π⎛⎫

⎪⎝⎭

，.

(1) 求f (x )的解析式；

(2) 已知α，β∈02π⎛⎫ ⎪⎝

⎭

，，且f (α)=35，f (β)=1213

，求f (α-β)的值.

5． 如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．

（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．

6．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B

52（1）求)tan(βα+的值； （2）求βα2+的值。

7．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的

B A C

D

E

总长为ykm 。

（1）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

8．（江西17）已知1

tan 3

α=-

，cos 5β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值； （2

）求函数())cos()f x x x αβ=-++的最大值．

解三角形，平面向量与三角形的综合答案

B

一、填空题

4

3

8- 2 7 10

2

725-

3 [01]， 6

π

②

三、解答题 1解：（1）

()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x πππ

=-+-+

1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =

+-+

221cos 22sin cos 2x x x x =

+-

1cos 22cos 222

x x x =

+- sin(2)6

x π

=-

2T 2

π

π==周期∴ （2）

5[,],2[,]122636

x x ππ

πππ

∈-

∴-∈- 因为()sin(2)6

f x x π

=-在区间[,]123

ππ-

上单调递增，在区间[,]32ππ

上单调递减，

所以 当3

x

π=

时，()f x 取最大值 1

又

1()()12

222f f π

π-

=-

<=

，∴当12

x π

=-时，()f x 取最小值2-所以 函数 ()

f x 在区间[,]122

ππ

-

上的值域为[2- 2. 解：（Ⅰ）1cos 2(

)22x f x x ωω-=

11sin 2cos 2222x x ωω=

-+π1sin 262x ω⎛

⎫=-+ ⎪⎝

⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以

2π

π2ω

=，解得1ω=．