有限元分析技术的应用

计算机辅助分析

题目：有限元分析技术的应用

学院：机电工程学院

专业：机械设计制造及其自动化

班级：

姓名：

学号：

年月日

有限元分析技术的应用

摘要

有限元单元法，简称有限元法，是伴随着电子计算机技术的进步而发展起来

的一种新兴数值分析方法，是力学、应用数学与现代计算技术相结合的产物。有

限元法是一种高效能、常用的计算方法。本文主要讲述了有限元的特点、作用、

基本思想、分析步骤，以及有限元的应用，除此之外，也对有限元的应用软件进

和有限元的发展趋势行了简单介绍。

关键词：有限元法，基本思想，应用软件，发展趋势

The application of finite element analysis technology

Summary

The finite element method, finite element method, is accompanied by advances in computer technology and the development of a new numerical analysis method, is a product of mechanics, applied mathematics and modern technology combine. The finite element method is an efficient computing method, commonly used. This paper mainly describes the characteristics,

finite element function, basic thought, analysis steps, and the application of finite element method, in addition, also do a simple introduction on the application software of finite element and finite element development trend.

Keywords: finite element method, the basic idea, application, development trend

一、有限元的基本概念

有限元，通俗的讲就是对一个真实的系统用有限个单元来描述。

有限元法，把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件。再加上它有成熟的大型软件系统支持，使其已成为一种非常受欢迎的、应用极广的数值计算方法。

有限元模型，它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。

有限元分析，是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统【8】。

二、有限单元法的特点

1）把连续体划分成有限个单元，把单元的交界结点（节点）作为离散点；

2）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究。

3）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起对该法的理解。

4）具有灵活性和适用性，适应性强。（它可以把形状不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均匀材料、各向异性材料、非线性应力、应变以及复杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流体力学及电磁场领域的许多问题。）

5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法【5】。

三、有限元的作用

1）减少模型试验的数量；计算机模拟允许对大量的假设情况进行快速而有效的试验。

2）模拟不适合在原型上试验的设计；例如：器官移植，比如人造膝盖。

3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本；

4）节省时间，缩短产品开发时间和周期；

5）创造出更可靠、高品质的设计。

四、有限元设计的内容

（1）有限元法在数学和力学领域所依据的理论；

（2）单元的划分原则；

（3）形状函数的选取及协调性；

（4）有限元法所涉及的各种数值计算方法及其误差、收敛性和稳定性；

（5）计算机程序设计技术；

（6）向其他各领域的推广【7】

五、有限元法的分类

有限元法可以分为两类，即线弹性有限元法和非线性有限元法。其中线弹性有限元法是非线性有限元法的基础，二者不但在分析方法和研究步骤上有类似之

处，而且后者常常要引用前者的某些结果。

（1）线弹性有限元

线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。

（2）非线性有限元

非线性问题与线弹性问题的区别：

1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；

2）非线性问题不能采用叠加原理；

3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。

以上三方面的因素使得非线性问题的求解过程比线弹性问题更加复杂、费用更高和更具有不可预知性【6】。

六、有限元法的基本思想

有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。

有限元方法（FEM）的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数