浅析可逆矩阵的相关结论及应用
可逆矩阵的性质与应用
可逆矩阵的性质与应用矩阵是数学中的一个基础概念，可逆矩阵是其中一个重要的概念，它在矩阵运算和计算机图形处理等领域中有着广泛的应用。
本文旨在介绍可逆矩阵的性质与应用，为读者理解和掌握相关知识提供一些帮助。
一、可逆矩阵的定义和性质可逆矩阵的定义很简单，一个n阶矩阵A，如果存在另一个n 阶矩阵B，使得AB=BA=E（其中E为单位矩阵），则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。
这也可以写成A×B=E或者B×A=E的形式。
可逆矩阵有一些重要的性质：1. 可逆矩阵是方阵：因为可逆矩阵的定义涉及到乘法，所以一个矩阵只有在行数等于列数（方阵）时才能有逆矩阵。
2. 可逆矩阵的逆是唯一的：因为只有一个矩阵能与原矩阵乘积结果为单位矩阵，所以A的逆矩阵B也是唯一的。
3. 可逆矩阵的转置仍是可逆矩阵：若A为可逆矩阵，则A的转置矩阵也是可逆矩阵。
4. 可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵：若A和B都是可逆矩阵，则它们的乘积AB也是可逆矩阵，并且(AB)的逆等于B的逆乘A的逆，即(AB)的逆=B的逆×A的逆。
5. 非零行列式的矩阵都是可逆矩阵：如果一个n×n的矩阵A行列式不为零，则A一定是可逆矩阵。
6. 可逆矩阵的行列式也为非零值：如果一个n×n的矩阵A可逆，则它的行列式也不为零。
二、可逆矩阵的应用可逆矩阵在线性代数、微积分、计算机图形学等领域中有着广泛的应用，下面简单介绍几个常见的应用。
1. 线性方程组的解法解线性方程组的基本方法就是利用矩阵的逆，假设有线性方程组Ax=b，其中A是一个可逆的矩阵，b是一个n维列向量，x是一个n维未知向量。
则可以用逆矩阵求解，即x=A⁻¹b。
2. 矩阵的求逆求一个矩阵的逆矩阵是很有用的，因为它可以用来解线性方程组、求解矩阵特征值、计算行列式等。
可以使用高斯-约旦消元法来计算逆矩阵，但是这个方法很慢而且需要做很多运算。
如果使用矩阵的初等变换的话，可以快速求解。
《可逆矩阵》课件
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定义
特点
02
03
举例
如果一个矩阵A，满足$A^{-1} = A^T$，则称A为三角可逆矩阵 。
三角可逆矩阵的逆矩阵与其转置 矩阵相等，即$A^{-1} = A^T$ 。
单位矩阵、对角矩阵等都是三角 可逆矩阵。
对角可逆矩阵
1 2
定义
如果一个矩阵A，满足$P^{-1}AP = Lambda$ ，其中$Lambda$是对角矩阵，则称A为对角可 逆矩阵。
可逆矩阵的判定条件
行列式不为零
如果矩阵$A$的行列式$|A| neq 0$，则矩 阵$A$是可逆的。
秩相等
如果矩阵$A$的秩$r(A) = n$，其中$n$是矩阵$A$ 的阶数，则矩阵$A$是可逆的。
满秩
如果矩阵$A$是满秩的，则它是可逆的。
02 可逆矩阵的运算规则
可逆矩阵的乘法规则
总结词
矩阵乘法满足结合律和交换律，但不满足消去律。
总结词
矩阵分解是将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理 的矩阵，是可逆矩阵的另一个重要应用。
详细描述
通过将矩阵分解为可逆矩阵和其它易于处理的矩阵的乘积， 可以简化矩阵的运算，提高计算效率。例如，QR分解、LU分 解等都是基于可逆矩阵的分解方法。
在特征值和特征向量求解中的应用
总结词
特征值和特征向量的求解是线性代数中的重要问题，可逆矩阵在这个问题中也有应用。
详细描述
矩阵没有除法运算，即不存在矩阵的 除法规则。但可以通过求逆矩阵来实 现“除法”功能，即$ A^{-1}B = A div B $。
可逆矩阵的逆矩阵求法
总结词
逆矩阵是可逆矩阵的一种重要运算方 式。
详细描述
浅析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用
㊀㊀㊀㊀㊀１５２㊀浅析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用浅析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用Һ孟庆云㊀王玉雷㊀（河南工业大学理学院，河南㊀郑州㊀４５０００１）㊀㊀ʌ摘要ɔ可逆矩阵是矩阵家族中最重要的一类．可逆矩阵由于其可逆的性质（可以在研究对象的一侧乘上可逆矩阵，并可以通过在同一侧继续乘上其逆矩阵而将其消去），使得可逆矩阵的作用来去自如，其应用灵活㊁有效．本文从作用的角度，以实例分析的方式解析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用，进一步解析矩阵实现线性变换的机理，从而帮助我们了解矩阵的运动变换属性．ʌ关键词ɔ可逆矩阵；线性变换；作用；反作用ʌ基金项目ɔ国家自然科学基金面上项目 有限群的特征标与群结构 （１１７７１３５６）；河南工业大学高等代数一流课程项目（０１１２／２６５１０００２）．引㊀言从矩阵的定义来看，矩阵是一个数表，是信息的载体，这体现的是矩阵的静态作用．然而更多的时候，矩阵是通过运算，特别是矩阵乘法运算实现其对研究对象的动态作用．我们以 榜样 这个词作为类比：当我们说张三是我们学习的榜样，那么这里 榜样 是一个名词，但其反映更多的是张三所起到的是能对我们产生积极影响的作用．可逆矩阵由于其可逆性，使得其成为刻画和描述可逆过程的得力工具．本文中，我们以实例分析的方式探析可逆矩阵的运动变换属性，从而拓展对可逆矩阵及其逆矩阵的理解与运用．１㊀实例例１㊀加密矩阵与解密矩阵图１是保密通信系统中信息传输端的简单模型．图１通常，信息用二元域上的ｎ维向量表示．在发送端，明文信息α经过加密矩阵Ｋ（ｎ阶可逆方阵）的作用（Ｋ左乘α）得到密文信息β＝Ｋα，这是加密的过程．加密过的信息β经过传输到达信息的接收端，还需要解密还原成明文信息才能被识别．这一过程需要解密矩阵Ｘ（即加密矩阵Ｋ的逆矩阵）的作用．具体为解密矩阵Ｘ左乘作用在密文β上，即Ｘβ＝ＸＫα＝Ｋ－１Ｋα＝α，从而将明文信息α还原．由此可看出：任意ｎ阶可逆矩阵可充当加密矩阵对明文信息进行加密，而其逆矩阵则为解密矩阵，可将加密过的信息进行解密还原，两者所起到的作用是相反的．事实上，可逆矩阵在保密通信中有着深入广泛的应用．［１］例２㊀逆时针旋转矩阵与顺时针旋转矩阵记Ａ＝ｃｏｓθ－ｓｉｎθｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷，观察矩阵Ａ左乘作用在向量α上的结果Ａα，其中α＝ｘｙæèçöø÷＝ｒｃｏｓφｒｓｉｎφæèçöø÷，α为平面上任意给定的２维向量，ｒ与φ分别表示向量α的长度与辐角．记 α＝Ａα，则 α＝ｃｏｓθ－ｓｉｎθｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷ｒｃｏｓφｒｓｉｎφæèçöø÷＝ｒｃｏｓ（φ＋θ）ｒｓｉｎ（φ＋θ）æèçöø÷．由此可看出：Ａ左乘α的效果是将α逆时针旋转θ角，从而得到 α，如图２所示．由此，我们称Ａ＝ｃｏｓθ－ｓｉｎθｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷（其中θ为任意给定的角度）为逆时针旋转矩阵．图２反之，注意到矩阵Ａ可逆，且Ａ－１＝ｃｏｓθｓｉｎθ－ｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷．将Ａ－１左乘 α继续作用在α上，可得Ａ－１将 α顺时针旋转θ角变回α，如图３所示．即Ａ－１为顺时针旋转矩阵，其能够将平面上过原点的向量作顺时针旋转．在此例中，我们看到旋转矩阵能使向量旋转的动态作用．图３例３㊀沿线反射矩阵记Ａ＝１００－１æèçöø÷，观察Ａ作用在２维向量α＝ｘｙæèçöø÷上的结果Ａα＝ｘ－ｙæèçöø÷．㊀㊀㊀１５３㊀㊀图４从图４可以看出：Ａ＝１００－１æèçöø÷的作用是将向量α沿ｘ轴所在的直线进行反射．一般地，设向量ε＝ｃｏｓθｓｉｎθæèçöø÷为任意一个单位向量，θ为向量ε与ｘ轴正向的夹角．则向量α＝ｘｙæèçöø÷沿ε＝ｃｏｓθｓｉｎθæèçöø÷所在的直线的反射：Ｔ（α）＝２（α，ε）ε－α＝２（ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ）ｃｏｓθｓｉｎθæèçöø÷－ｘｙæèçöø÷＝ｘ（２ｃｏｓ２θ－１）＋ｙｓｉｎθｘｓｉｎ２θ＋ｙ（２ｓｉｎ２θ－１）æèçöø÷＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷ｘｙæèçöø÷其中Ａ＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷．即矩阵Ａ＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷具有将向量α＝ｘｙæèçöø÷沿ε＝ｃｏｓθｓｉｎθæèçöø÷所在的直线反射的作用，如图５所示．图５若记α＝γｃｏｓφｓｉｎφæèçöø÷，其中：γ，φ分别为向量α的长度与辐角．显然，Ａ＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷是可逆的，其逆Ａ－１＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷＝Ａ，且Ａ－１（Ａα）＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷γｃｏｓ（２θ－φ）ｓｉｎ（２θ－φ）æèçöø÷＝γｃｏｓφｓｉｎφæèçöø÷＝α．即Ａ－１＝Ａ将Ａα还原为α，从图５来看，这显然是的．值得注意的是，例２中的旋转矩阵与例３中的沿线反射矩阵都是正交矩阵，这是一类特殊的可逆矩阵．这类矩阵所引起的变换称为正交变换，它们是保内积的变换，从而是保距也是保夹角的变换．因此，这类变换将一个图形变成与之全等的图形．更多的图形变换如：缩放变换㊁平移变换均可由相应的矩阵来实现，并且这些变换是可逆变换，相应的矩阵也均是可逆矩阵．我们需要注意的是投影变换也可以由相应的矩阵来实现，只是投影变换不是可逆变换，相应的矩阵不再是可逆矩阵．［２］２㊀理论基础从以上几个例子可以看出：如若说可逆矩阵Ａ提供一种作用，而Ａ的逆矩阵提供的则是与Ａ相反的一种反作用，且矩阵对向量的作用可通过矩阵左乘相应向量来实现．运用矩阵乘法结合律，对向量多个连续作用，可通过相应的多个矩阵的乘积来实现，从而使得可逆矩阵的应用灵活有效．定理㊀对矩阵做一次初等行变换，其结果等于在原矩阵的左端乘上相应的初等矩阵；对矩阵做一次初等列变换，其结果等于在原矩阵的右端乘上相应的初等矩阵．由于可逆矩阵是初等矩阵的乘积，因此对矩阵做初等变换就是通过可逆矩阵实现的．从这个理论层面，我们也可以理解矩阵的运动变换属性．更广泛地，对于给定数域Ｆ上的ｎ维线性空间Ｖ，记Ｖ上的所有线性变换构成的Ｆ上的线性空间为Ｌ（Ｖ）．在取定Ｖ的一组基下，我们知道：ＶɸＦｎ，Ｌ（Ｖ）ɸＭｎ（Ｆ），这里，Ｆｎ为数域Ｆ上的ｎ维向量空间，Ｍｎ（Ｆ）为Ｆ上所有ｎ阶方阵构成的ｎ２维线性空间．［３］我们借助以上两个线性同构，再通过矩阵作用于向量的坐标，可以实现所有线性变换对线性空间的作用．比如：例２中的２阶旋转矩阵实现的是对２维向量空间中向量的旋转变换．由此，从动态的角度来看，矩阵的本质是作用㊁是运动㊁是变换．而其中可逆矩阵提供可逆变换．特别地，将Ｍｎ（Ｆ）中的可逆矩阵拿出来，按矩阵的乘法构成一个群，称之为域Ｆ上的一般线性群，记为ＧＬｎ（Ｆ）．对于一般的抽象群Ｇ，通过建立Ｇ到群ＧＬｎ（Ｆ）的同态映射，则可以赋予抽象群Ｇ中每个元素一个作用，即其同态像也就是其所对应的矩阵的作用，从而使得Ｇ有更广泛㊁丰富的内涵，由此进一步研究抽象群Ｇ的性质与结构，这便是群的表示理论．３㊀总结本文通过几个例子从实用性和几何直观两个方面来说明和阐述可逆矩阵的动态作用以及其逆矩阵的反作用，并进一步解释可逆矩阵实现矩阵的初等变换以及矩阵实现向量的线性变换机理，从而帮助我们了解矩阵的作用㊁运动与变换的动态属性，最后，借助矩阵的动态作用，引出群表示理论的思想方法．ʌ参考文献ɔ［１］熊小兵．可逆矩阵在保密通信中的应用［Ｊ］．大学数学，２００７，２３（３）：１０８－１１２．［２］王志俊，姜咏梅，田记．矩阵在图形学几何变换中的应用［Ｊ］．高等数学研究，２０１４（１）：８７－８８，９９．［３］北京大学数学系几何与代数教研室．高等代数（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．。
大学线性代数课件第三章第一节可逆矩阵
假设有两个不同的逆矩阵$B$和$C$，则有$AB = BA = I$和$AC = CA = I$。由此可得$(B - C)A = 0$和 $A(B - C) = 0$，从而推出$(B - C)$是零矩阵，即$B = C$。
逆矩阵与原矩阵的关系
逆矩阵的性质
如果矩阵$A$是可逆的，那么它的逆矩阵和原矩阵满足关系式 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$。
分解方法
常见的矩阵分解方法包括QR 分解、LU分解、SVD分解等， 这些方法都利用了可逆矩阵的 性质。
应用场景
在数值分析、计算物理等领域 中，矩阵分解是非常重要的计 算工具，可逆矩阵的应用为这 些领域提供了强大的支持。
特征值和特征向量的计算
特征值和特征向量
可逆矩阵可以用于计算特征值和 特征向量，这些数值在许多领域 中都有重要的应用。
p;3 1&2 end{bmatrix} $$
习题
判断矩阵B是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵。
$$ B = begin{bmatrix}
习题
4 & -3 1&2 end{bmatrix} $$
答案与解析
矩阵A的行列式值为
$ |A| = 2*2 - 3*1 = 1 neq 0 $，因此矩阵A是可逆的。
矩阵A的逆矩阵为
$ A^{-1} = frac{1}{2} begin{bmatrix}
答案与解析
2 & -3
end{bmatrix} $。 1&2
01
03 02
答案与解析
矩阵B的行列式值为
$ |B| = 4*2 - (-3)*(-1) = 5 neq 0 $，因此矩 阵B是可逆的。
矩阵可逆性总结
矩阵的可逆性摘要：本文通过由矩阵的除法引出可逆矩阵，介绍了可逆矩阵的定义，性质，算法及其判定方法等等，之后对可逆矩阵进行了推广，还有关于广义逆的介绍。
关键词：可逆矩阵；伴随矩阵；三角矩阵；广义逆矩阵 正文：一、逆矩阵的定义：因为数的除法a ÷b 是：已知两数的乘积b 及其中一个因数a 求另外一个因数x ，也就是解方程ax =b 。
只要能求出除数a 的倒数a −1使aa −1=1，则除法b ÷a 可以转化为乘法b ×a −1。
而我们联想到矩阵的运算上，对矩阵A , B ,用B “除以”A 也就是要求一矩阵X 使AX =B 。
在之前的学习过程中已经了解了矩阵的乘法不满足交换律，还应考虑求另一矩阵Y 满足YA =B 。
如果能找到一个A −1满足条件A −1A =I ，在矩阵方程AX =B 两边左乘A −1就得到A −1AX =A −1B 从而X =A −1B 。
如果这个A −1还满足条件AA −1=I ,则A(A −1B)=B ,X =A −1B 就是AX =B 的唯一解。
类似地，如果上述A −1存在，可知YA =B 有唯一解Y =BA −1。
所以给逆矩阵下一个定义：对于矩阵Ａ，如果存在矩阵Ｂ满足条件ＡＢ＝且ＢＡ＝I （表示单位矩阵），就称Ａ可逆，并且称Ｂ是Ａ的逆。
表示成B=A 1-二、矩阵可逆的等价条件:1、A 可逆⇔F ∈∃B ,使得I AB =;（定义法）2、若A 可逆，则A 是方阵且0≠A ;3、若0≠A ，则方阵A 可逆;4、n 级矩阵A 可逆⇔矩阵A 的秩为n,即r(A )=n ；5、n 级矩阵A 可逆⇔A 的行向量组线性无关;6、n 级矩阵A 可逆⇔A 的列向量组线性无关;7、n 级矩阵A 可逆⇔A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积； 8、n 级矩阵A 可逆⇔A 可以经过一系列初等行变换化为I ; 9、n 级矩阵A 可逆⇔A 可以经过一系列初等列变换化为I ； 10、n 级矩阵A 可逆⇔齐次线性方程组A x=0只有唯一零解.三、逆矩阵的性质：1、 逆的唯一性： 假如A 可逆，那么A 的逆B 是唯一的。
矩阵的逆及其应用
矩阵的逆及其应用姓名：刘欣班级：14级数计1班专业：数学与应用数学学号：1408020129一、矩阵的逆的概念对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作Ａ１。
二、逆矩阵的性质和定理㈠逆矩阵的性质1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为 ，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。
若Ａ１，Ａ２，，Ａｍ都是ｎ阶可逆矩阵，则Ａ１Ａ２Ａｍ也可逆，且（Ａ１Ａ２Ａｍ）１＝（Ａｍ）１（Ａ２）１（Ａ１）１.2、若A可逆，则 也可逆，且（ ）=A；3、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且（λ ）=λ；4、若A可逆，则 也可逆，且（ ）=（ ）；5、=；6、矩阵的逆是唯一的；证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都是A的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ矛盾），所以是唯一的。
㈡逆矩阵的定理１、初等变换不改变矩阵的可逆性。
２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵Ｉｎ等价。
３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。
４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。
５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。
三、逆矩阵的计算方法㈠定义法定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为Ａ１。
例１、求矩阵Ａ＝２２３１１０１２１的逆矩阵。
解：∵｜Ａ｜≠０∴Ａ１存在设Ａ１＝ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２ｘ３３，由定义知Ａ１Ａ＝Ｅ，∴２２３１１０１２１ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２ｘ３３＝由矩阵乘法得２ｘ１１＋２ｘ２１＋３ｘ３１２ｘ１２＋２ｘ２２＋３ｘ３２２ｘ１３＋２ｘ２３＋３ｘ３３ｘ１１ｘ２１ｘ１２ｘ２２ｘ１２ｘ２３ｘ１１＋２ｘ２１＋ｘ３１ｘ１２＋２ｘ２２＋ｘ３２ｘ１３＋２ｘ２３＋ｘ３３＝由矩阵相乘可解得ｘ１１＝１ｘ２１＝１ｘ３１＝１；ｘ１２＝４ｘ２２＝５ｘ３２＝６；ｘ１３＝３ｘ２３＝３ｘ３３＝４故㈡、伴随矩阵法ｎ阶矩阵Ａ＝（ａｉｊ）可逆的充要条件｜Ａ｜≠０，而且当ｎ（ｎ＞＝２）阶矩阵Ａ有逆矩阵，Ａ１＝１ＡＡ，其中Ａ为伴随矩阵。
可逆矩阵知识点总结
可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义1. 定义阐述- 设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB = BA=E（E为n阶单位矩阵），则称矩阵A是可逆的，并称B是A的逆矩阵，记作B = A^-1。
例如，对于二阶矩阵A=begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}，若ad - bc≠0，则A可逆，其逆矩阵A^-1=(1)/(ad - bc)begin{pmatrix}d& - b-c&aend{pmatrix}。
2. 可逆矩阵的唯一性- 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。
假设B和C都是A的逆矩阵，那么AB = BA = E且AC=CA = E。
由B = BE=B(AC)=(BA)C = EC = C，可证得逆矩阵的唯一性。
二、可逆矩阵的性质1. 基本性质- 若A可逆，则A^-1也可逆，且(A^-1)^-1=A。
因为A与A^-1满足AA^-1=A^-1A = E，所以A^-1的逆矩阵就是A。
- 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且(AB)^-1=B^-1A^-1。
证明如下：(AB)(B^-1A^-1) = A(BB^-1)A^-1=AEA^-1=AA^-1=E，同理(B^-1A^-1)(AB)=E。
- 若A可逆，k≠0为常数，则kA可逆，且(kA)^-1=(1)/(k)A^-1。
因为(kA)((1)/(k)A^-1)=k×(1)/(k)(AA^-1) = E，同理((1)/(k)A^-1)(kA)=E。
2. 与行列式的关系- 矩阵A可逆的充要条件是| A|≠0。
当| A| = 0时，称A为奇异矩阵；当| A|≠0时，称A为非奇异矩阵。
例如，对于三阶矩阵A=begin{pmatrix}1&2&34&5&67&8&9end{pmatrix}，计算其行列式| A|=0，所以A不可逆；而对于矩阵B=begin{pmatrix}1&0&00&2&00&0&3end{pmatrix}，| B| = 6≠0，则B可逆。
高等代数论文-关于可逆矩阵及其应用的举例探讨
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（2）若 k ≠ 0，则 kA 可逆，且（kA）-1 = （3）AB 可逆，且（AB）-1 = B-1 A-1； （4）AT 可逆，且（AT）-1 = （A-1）T； （5）Ak 可逆，且（Ak）-1 = （A-1）k； （6）| A-1 | = | A |-1；
高等代数
课题：关于可逆矩阵及其应用的举例探讨
学院 、专业： 数 学 生 姓 名： 年 级 班：
学
与
应 用
数
学
2011 级 数本（1）班
指 导 教 师：
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目录
摘要 ·1 关键字 ·1 引言·1 第一部分·1 基础知识·1 一、定义·1 1、矩阵的定义·1 2、逆矩阵的定义·1 二、逆矩阵的性质·1 三、逆矩阵的判断条件·2 第二部分 逆矩阵的求解方法·2
第二部分 矩阵逆的求解方法
方法 1 定义法：设 A 是数域 P 上的一个 n 阶方阵，如果存在 P 上的 n 阶方阵 B，使得 AB = BA = E，则称 A 是可逆的，又称 B 为 A 的逆矩阵.当矩阵 A 可逆时，逆 矩阵由 A 惟一确定，记为 A-1. 例 1：设 A 为 n 阶矩阵，且满足 2A - 3A + 5E = 0 ，求 A-1. 【解】
随矩阵， 记作A*，于是有A-1 = 注 1 A*. |A|
A21 A22 A2 n
An1 An 2 称为矩阵A的伴 Ann
①对于阶数较低（一般不超过 3 阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求 其 逆 矩 阵 . 注 意 A* = （ Aij ） n × n 元 素 的 位 置 及 符 号 . 特 别 对 于 2 阶 方 阵
逆矩阵的性质及在考研中的应用
逆矩阵的性质及在考研中的应用矩阵是线性代数中的基本概念之一，而逆矩阵是矩阵理论中的重要组成部分。
在研究生入学考试中，逆矩阵的出现频率较高，是考生必须掌握的重要内容之一。
本文将介绍逆矩阵的基本性质以及在考研中的应用场景，旨在帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
逆矩阵是矩阵的一种重要性质，其定义如下：设A是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I是单位矩阵。
在这个定义中，矩阵B被称为A的逆矩阵。
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$计算行列式$det(A)$： $det(A) = |\begin{matrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$计算A的伴随矩阵A*： $A* = \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix}$计算A的逆矩阵A-¹： $A-¹ = \frac{1}{det(A)} \times A* =\frac{1}{1} \times \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix} = \begin{matrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{matrix}$在考研中，逆矩阵的应用主要涉及以下几个方面：解方程：逆矩阵可以用来求解线性方程组。
当方程组的系数矩阵是可逆矩阵时，我们可以通过逆矩阵快速求解方程组。
证明不等式：在证明某些矩阵不等式时，可以通过引入逆矩阵来简化证明过程。
求特征值和特征向量：在计算矩阵的特征值和特征向量时，需要先求出矩阵的逆矩阵。
解决优化问题：在数学优化中，逆矩阵往往作为系数矩阵的逆出现，对于一些约束优化问题，可以通过求解线性方程组来得到优化解。
可逆矩阵知识点总结
可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义可逆矩阵是指一个方阵A，如果存在另一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，那么我们称A是可逆的，B就是A的逆矩阵，记作A^-1。
换句话说，如果一个n阶方阵A的行列式det(A)不等于零，则该矩阵A是可逆的，即存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I。
我们知道，单位矩阵I是一个对角线上元素均为1，其余元素均为0的n阶方阵。
二、可逆矩阵的性质1. 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的在可逆矩阵中，如果存在逆矩阵B，那么逆矩阵是唯一的。
这是因为假设还有一个逆矩阵B'也满足AB'=B'A=I，那么可以证明B=B'。
这个性质在证明逆矩阵的存在时非常重要。
2. 可逆矩阵的转置矩阵也是可逆的如果一个矩阵A是可逆的，那么它的转置矩阵A^T也是可逆的，并且(A^T)^-1 = (A^-1)^T。
3. 可逆矩阵的逆矩阵也是可逆的如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵A^-1也是可逆的，而且(A^-1)^-1=A。
4. 可逆矩阵的乘积是可逆的如果两个矩阵A和B都是可逆的，那么它们的乘积AB也是可逆的，且(AB)^-1=B^-1A^-1。
5. 可逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵还是它本身如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵A^-1的逆矩阵还是它本身，即(A^-1)^-1=A。
6. 可逆矩阵的乘法满足结合律如果三个矩阵A、B、C都是可逆的，那么它们的乘法满足结合律，即(AB)C=A(BC)。
三、可逆矩阵的判定定理在求解一个矩阵是否可逆时，我们需要有一个判定的定理，这就是可逆矩阵的判定定理。
1. 矩阵可逆的判定公式对于一个n阶方阵A，它的行列式不等于0，即det(A)≠0，则矩阵A可逆。
这是最基本的判定定理，也是我们最常用的方法。
2. 矩阵可逆的充分必要条件对于一个n阶方阵A，它的行列式不等于0，则矩阵A可逆。
反之，如果一个n阶方阵A可逆，则其行列式也不等于0。
3. 矩阵可逆的另一种判定法对于一个n阶方阵A，如果它的秩等于n，则矩阵A可逆。
关于可逆矩阵及其应用的举例探讨
关于可逆矩阵及其应用的举例探讨矩阵是数学中一个重要的概念，也是许多科学领域中必不可少的工具。
可逆矩阵是研究矩阵的重要概念之一，具有广泛的应用。
本文将着重探讨可逆矩阵及其应用，并通过具体的实例进行阐述。
一、可逆矩阵的定义与性质可逆矩阵在数学上也称作非奇异矩阵（non-singular matrix）或满秩矩阵（full-rank matrix），其定义如下：假设矩阵$A$是一个$n \times n$的方阵，则称$A$为可逆矩阵，当且仅当它存在一个$n \times n$的矩阵$B$，满足$AB=BA=I$，其中$I$是单位矩阵。
可逆矩阵具有以下的性质：1. 对于任意一个可逆矩阵$A$，它的逆矩阵是唯一的，用$A^{-1}$表示。
2. 如果一个$n \times n$矩阵$A$是可逆的，那么它的$n$个列向量全部线性无关。
二、可逆矩阵的应用1. 方程组解唯一性可逆矩阵在解线性方程组中常常发挥着重要的作用。
假设有一个线性方程组$Ax=b$，其中$A$是一个$n \times n$的可逆矩阵，$x$和$b$都是$n$维列向量。
这个线性方程组的解为$x=A^{-1}b$。
由于可逆矩阵的逆矩阵是唯一的，所以当$A$是可逆矩阵时，线性方程组的解是唯一的。
这说明可逆矩阵作为解线性方程组的一个必要条件，也是一个非常重要的条件。
2. 矩阵的相似性如果矩阵$A$和$B$满足$B=P^{-1}AP$，其中$P$是一个可逆矩阵，则称矩阵$A$和$B$相似。
这个概念在矩阵理论中有着重要的应用。
对于相似的矩阵，它们之间具有许多相似的性质。
比如，它们的特征值相同，而特征向量之间的关系也相同。
通过这个概念，我们可以将矩阵分解成易于处理的形式，进一步进行计算和分析。
3. 线性变换在线性代数中，一个线性变换可以用一个矩阵来表示。
如果矩阵是可逆的，则线性变换是可逆的，它对向量的变换可以被逆转。
4. 数值计算在数值计算中，可逆矩阵是一个非常有用的工具。
可逆矩阵的性质
可逆矩阵的性质可逆矩阵（invertible matrix）是在线性代数和数学分析中极为重要的概念，它的性质不仅对线性代数有着深远的影响，而且在其他数学领域也有着重要的应用。
在本文中，我们将介绍可逆矩阵的性质，并讨论可逆矩阵的应用。
一、可逆矩阵的定义可逆矩阵是一种复数矩阵，它的定义为：满足其逆矩阵存在的矩阵称为可逆矩阵，记作A，其逆矩阵记作A^(-1)，则A^(-1)A=I，其中I为单位矩阵。
二、可逆矩阵的性质1、矩阵的乘法由于可逆矩阵的定义，因此可逆矩阵的乘法也具有一定的特性，即A^(-1)A=I，A*A^(-1)=I。
这表明，可逆矩阵的乘积是一个单位矩阵，这个特性对于解决复杂的线性方程组非常有用。
2、矩阵的逆可逆矩阵的逆也是一个重要的性质，它表明A^(-1)可以由A求得，也就是说，如果A是可逆矩阵，则存在一个可以由A求得的矩阵A^(-1)，使得A*A^(-1)=I。
3、矩阵的行列式另外，可逆矩阵的行列式也是一个重要的性质。
如果A是可逆矩阵，则它的行列式必须不为0，反之，如果行列式不为0，则矩阵A也是可逆矩阵。
此外，可逆矩阵的行列式也可以用来计算矩阵A的逆矩阵A^(-1)，即A^(-1)=|A|^(-1)A^(-1)，其中|A|表示矩阵A的行列式。
三、可逆矩阵的应用1、解决线性方程组由于可逆矩阵的乘积是一个单位矩阵，因此可以用可逆矩阵来解决复杂的线性方程组，这是由于可逆矩阵的乘法可以将一个复杂的线性方程组转换为一个单位矩阵，从而可以解决复杂的线性方程组。
2、求解微分方程由于可逆矩阵具有一定的性质，可以用可逆矩阵来求解微分方程，这是由于可逆矩阵的逆可以用来求解微分方程的积分式。
3、解决线性最优化问题可逆矩阵还可以用于解决线性最优化问题，这是由于可逆矩阵的乘积可以将一个复杂的线性最优化问题转换为一个单位矩阵，从而可以解决复杂的线性最优化问题。
四、结论可逆矩阵是一种重要的数学概念，它不仅对线性代数有着深远的影响，而且在其他数学领域也有着重要的应用。
逆矩阵的定义性质及应用
逆矩阵的定义性质及应用逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，它表示一个矩阵在某种运算下的逆元。
在具体描述逆矩阵的定义、性质和应用之前，我们先介绍一下矩阵的逆。
1. 逆矩阵的定义：给定一个n ×n的方阵A，如果存在一个n ×n的方阵B，使得AB=BA=I，其中I表示单位矩阵，则B称为A的逆矩阵，记作A^{-1}。
2. 逆矩阵的性质：（1）若A的逆矩阵存在，则逆矩阵唯一。
（2）若A与B均为可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且(AB)^{-1} =B^{-1}A^{-1}。
（3）若A为可逆矩阵，则A的转置矩阵A^T也是可逆矩阵，并且(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T。
（4）若A为可逆矩阵，则A ≠0，其中A 表示A的行列式。
逆矩阵具有以上性质，这些性质保证了逆矩阵的存在唯一性，并且在矩阵乘法、转置矩阵以及行列式等方面具有良好的运算性质。
3. 逆矩阵的应用：（1）求解线性方程组：对于一个线性方程组Ax=b，如果A为可逆矩阵，则可以通过左乘A^{-1}求解出x的值，即x=A^{-1}b。
这种方法也被称为矩阵的逆运算法，适用于方程个数与变量个数相等的情况。
（2）矩阵的分块法：在矩阵计算中，常常会遇到大型矩阵的操作，为了简化计算，可以将大矩阵分成几个小块，然后根据逆矩阵的性质进行计算，再利用转置矩阵的性质将结果组合起来，使得计算更加高效。
（3）线性变换的逆运算：在线性代数中，矩阵可以表示线性变换，在某些应用中，需要对某个线性变换进行逆运算，即求出它的逆变换。
如果这个线性变换的矩阵是可逆的，则可以通过求逆矩阵来得到逆变换，这对于图像处理、信号处理等方面有着广泛应用。
（4）计算矩阵的伴随矩阵：在矩阵的运算中，经常需要计算伴随矩阵，将一个矩阵乘以它的伴随矩阵可以得到一个特殊的对角线矩阵，这个特殊的对角线矩阵可以帮助我们求解特征值、特征向量以及矩阵的幂等问题等，伴随矩阵的计算就离不开逆矩阵的应用。
可逆矩阵及应用举例综合材料
应用分析
11
二、逆矩阵的求法
如前所述，当 A 是可逆阵时，线性方程组 Ax = b 有解 x = A1b, 因此就需要计算 A 的逆矩阵 A1 .
事实上,在线性代数的许多应用问题中都需要求 逆矩阵. 求逆矩阵一般有两种方法. 第一种方法是用公式(1.18),即
定理 1.2 (1) 方阵 A 可逆的充分必要条件是
A 的行列式 A 0 ;
(2) 当 A 可逆时,
A1 1 A* , A
(1.18)
其中 A* 是 A 的伴随矩阵.
应用分析
5
证 （1）必要性：若 A 可逆，即有 A1 使
AA1 E,
于是
det AA1 det E 1.
由矩阵取行列式的性质(İİİ),得
Ax = b,
(1.19’)
应用分析
23
其中
x1 b1
x
=
x2
,
b
=
b2
,
xn
bn
分别是未知数向量和常数向量.
因 A 0, 故 A1 存在,令 x0 A1b ,有
Ax0 = A A1b = AA1 b b,
应用分析
24
这说明 x0 A1b 为方程(1.19)的解.又:如果 x 是
0 1 1 0 1 5 0 1 1 0 1 5
r33r1 0 1 2 1 0 3 r3r2 0 0 1 1 1 2
1 0 0 1 2 6
r1 r3 r2 r3
0 0
1 0
0 1
1 1
2 1
7 , 2
由定理 1.3, A 可逆,且
1 2 6
A1
可逆矩阵及其简单应用
它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。
可逆矩阵作为矩阵乘法的逆运算,是矩阵的一种重要运算,在解决矩阵问题中起着重要的作用。
因而掌握可逆矩阵的求法,在解决实际问题时,往往可以起到事半功倍的效果。
本文将对一些常用的可逆矩阵的求法作系统的总结，并进一步介绍几种常见得可逆矩阵的在数学领域和通讯领域的简单应用。
【关键词】矩阵可逆矩阵通信【Abstract】In the discussion of linear equations, we can see that someimportant properties of the linear equations are reflected in its coefficient matrix and augmented matrix of nature, what`s more, the process of the solution performance of the process of transformation of these matrices. Invertible matrix multiplication as the inverse of the matrix is an important matrix operations,and plays an important role in solving the problem. master ring the method of Invertible matrix often can play a multiplier effect in solving practical problems.The following are the system summary of the commonly used reversible method for the evaluation of Invertible matrix, and further descripitions of several common application in the field of mathematics and simple communications.【Key Words】Matrix Invertible matrix Communications目录前言 (5)一、可逆矩阵 (5)二、可逆矩阵的性质及求法 (5)（一）性质 (5)（二）逆矩阵求法 (6)三、可逆矩阵的简单应用 (10)（一）可逆矩阵在数学方面的应用 (10)（二）可逆矩阵在通信方面的应用 (11)（1）加密保密通信模型 (12)（2）可逆矩阵的应用 (12)（3）加密密钥的生成 (13)（4）解密密钥的生成 (14)（5）明文矩阵的选择 (14)（6）加密矩阵的选择 (14)（7）算法优化 (14)结论 (15)参考文献 (15)致谢16前言矩阵作为高等代数，这一伟大数学图腾的重要分支的一大重要部分，在我们的生活，学习，工作，更是在人类的进步中发挥了卓越的工具作用。
可逆矩阵 定义的证明
可逆矩阵定义的证明可逆矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在解线性方程组、求逆以及变换等问题中具有重要的作用。
本文将从定义出发，对可逆矩阵进行证明，并探讨其性质和应用。
我们来定义可逆矩阵。
一个n阶方阵A称为可逆矩阵，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
即可逆矩阵A 与其逆矩阵B相乘得到单位矩阵，且单位矩阵与其逆矩阵相乘也得到A。
我们将从两个方面来证明可逆矩阵的定义。
首先，我们证明若矩阵A可逆，则矩阵A的列向量组线性无关。
假设矩阵A可逆，则存在逆矩阵B满足AB=BA=I。
对于任意非零向量x，如果存在一个非零向量y，使得Ax=0，则有B(Ax)=B0=0。
由于B(Ax)=(BA)x=Ix=x，所以x=0，这说明Ax=0只有零解，即矩阵A的列向量组线性无关。
我们证明若矩阵A的列向量组线性无关，则矩阵A可逆。
假设矩阵A的列向量组线性无关，即对于任意非零向量x，有Ax≠0。
我们将向量x扩展为一个n×n的矩阵X=[x_1, x_2, ..., x_n]，其中x_1, x_2, ..., x_n为向量x的元素。
如果矩阵A的列向量组线性无关，那么对于任意非零矩阵X，有AX≠0。
我们再构造一个矩阵B=[b_1, b_2, ..., b_n]，其中b_1, b_2, ..., b_n为矩阵A的列向量组的线性组合。
由于AX≠0，我们可以得到ABX≠0。
由于矩阵A的列向量组线性无关，所以矩阵B的列向量组也线性无关。
因此，矩阵B的列向量组线性无关，即矩阵B可逆。
我们证明了可逆矩阵的两个方向。
可逆矩阵的定义可以简洁地表述为：一个矩阵A可逆，当且仅当其列向量组线性无关。
接下来，我们来讨论可逆矩阵的性质和应用。
1. 可逆矩阵的逆矩阵唯一。
根据可逆矩阵的定义，如果矩阵A可逆，那么存在唯一的逆矩阵B满足AB=BA=I。
2. 可逆矩阵的转置矩阵也可逆，并且其逆矩阵等于转置矩阵的逆矩阵。
即若矩阵A可逆，则其转置矩阵A^T也可逆，且(A^T)^-1=(A^-1)^T。
2.2 可逆矩阵
A1
注：1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始终，不能 夹杂任何列变换. 2. 若作初等行变换时, A化不成E说明矩阵不可逆! 3. 利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于
A 1 B . 求矩阵
A 1 ( A B ) ( E A 1 B )
即
( A B)
初等行变换
E A1 B
例5
2012
定理2.3 n阶方阵A可逆的充要条件是A可以经过有限
次初等行变换化成n阶单位矩阵。
推论2.1
(1)方阵可逆的充分必要条件是可以分解为有限个初等 矩阵的乘积； (2)方阵A可逆的充分必要条件齐次线性方程组 AX O 只有零解； (3)方阵A可逆的充分必要条件非齐次线性方程组 AX B
例如：
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
r1 r3
E ( 0 0
1 0 0 kr3 0 1 0 0 0 k E ( 3( k ))
1 0 0 r3 kr1 0 1 0 k 0 1 E ( 3,1( k ))
性质 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是
同一种初等矩阵。
Eij Eij
1
1 E i (k ) 1 E i ( k )
E ij ( k ) 1 E ij ( k )
Pl P2 P1 A E Pl P2 P1 A Pl P2 P1 E
E
A 1
例4
1 设 A 2 3
2 2 4
3 1 , 求 A 1 . 3
1 2 3 1 0 0 解： A E 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1
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Ａ～，而不能写成÷ 。本文中所提矩阵 Ａ如果没有特别说明， Ａ
都是指 Ｉ ｔ阶方 阵 Ａ。） 二 、与 可 逆 矩 阵 相 关 的 结 论 这一部分分 别 给 出矩 阵 可逆 与 行列 式 、矩阵 的秩 、向量
组 、线 性方程组 、特征值 的关 系。 １．与行 列 式 的 关 系
方 阵 Ａ可逆 的充分必 要条件 是 ＩＡ Ｉ。 （当 Ａ可逆 时 ，可利
关 键 词 ：可逆 矩 阵 ；行 列 式 ； 矩 阵 的秩 ；线 性 方 程组 ；特 征值
一 、 可 逆 矩 阵 的 定 义 设 Ａ为 Ｉ ｔ阶方阵 ，若存在 ｎ阶方 阵 Ｂ，满足 ＡＢ＝ＢＡ：Ｅ，则 称矩阵 Ａ是可逆的 ，日为 Ａ的逆矩阵 ，记 为 Ａ～ ＝Ｂ，这里 Ｅ表 示单位矩 阵。（关 于可逆矩 阵 ，给 出如下说 明 ：可逆 矩阵 又可 称为非退化矩 阵 ，非 奇异矩 阵 ，满秩 矩 阵；可 逆 的定义 是相 对 的 ，即若 曰为 Ａ的逆 ，则 Ａ也为 的 逆 ；可 逆矩 阵 的记 法 为
Ａ 的特征值分别为 Ａ ～， ～，… ，Ａ 一。
三 、可 逆 矩 阵 的 应 用
针对 以上结论 ，这一部分 ，我们通过一 些习题来 看可逆矩
阵 的 应 用 。
１．设 Ａ是 Ｉ１阶可逆矩 阵，Ａ 是 Ａ的伴随矩阵 ，则 （ ）。
（Ａ）ＩＡ Ｉ＝ｌＡｌ“ （Ｃ）ｆＡ Ｉ＝ ＩＡｌ
（Ｂ）ＩＡ Ｉ＝ＩＡｌ （Ｄ）ｌＡ ｆ＝ＩＡ ｆ
矩阵 的特征值之一是 （ ）。
（Ａ）入 ＩＡｌ“
（Ｂ））Ｌ ＩＡＩ
（Ｃ） ＩＡＩ
（Ｄ） ＩＡｌ”
解析 ：此题考查矩 阵可逆 与特 征值 的关 系 ，以及特 征值 的
性质 。首先 ，由 Ａ可逆可得 Ａ的特征值均为非零的。进一步 ，
根据 特 征 值 与 特 征 向量 的 关 系 有 Ａｘ＝ｋｘｊ Ａ （Ａｘ）＝
［３］上 海交通 大学数 学系．线性代数 习题 与精解 ［Ｍ］．上海 ：上 海交通大学 出版社 ，２００５．
作者简介 ：孙传 光 （１９８ｏ－－ ），男 ，山东 曲阜人 ，硕 士 ，山东 水 利职 业学院讲 师；侯 林林 （１９８２一 ），女 ，山东 泰安人 ，博 士 ， 曲阜 师范大学信 患科 学与工程 学院副教授。
＾ ‘
用 此结 论得到 Ａ的逆 ：Ａ～ ＝ ，其 中 Ａ 是 Ａ的伴 随矩 阵。 ＩＡ ｌ
由此 可进一 步得 到 ＡＡ’＝ＩＡＩ层） ２．与 矩 阵 的秩 的 关 系 （１）方 阵 Ａ可逆 的充分必要条件是方 阵 Ａ的秩 ｒ（Ａ）＝ｎ，
其 中 ｒ（Ａ）表示 矩阵 Ａ的秩 。 （２）设 Ａ是 ｍ×ｎ矩阵 ，Ｐ是 ｍ×ｍ可逆 矩 阵 ，Ｑ是 ｎ×ｎ
４．与 方程 组 解 的 关 系 线性方程组 Ａｘ：ｂ对任意 的 ｂ都有解 的充分 必要条 件是 方阵 Ａ可逆 。 充分性证 明 ：因为 Ａ可逆 ，从 而对任意 的 ｂ，方程 组 Ａｘ：ｂ 的 解 为 ＝Ａ—ｂ。必 要 性 证 明 ：由题 意 ，方 程 组 Ａｘ＝ｂ对 任 意 的 ｂ都 有解 ，取 ｌ＝（１，０，… ，０） ， ２：（０，１，… ，０） ，… ， ＝
（０，… ，０，１） ，则 对 方 程 组 Ａｘ＝８，，ｉ＝１，２，… ｎ，有 解 ，，满 足 Ａｘ１：ｇｌ，ｉ＝１，２，…ｎ，从而 有 Ａ（ ｌ，％２，… ， ）＝（８Ｉ，ｓ２，… ， ｓ ）＝Ｅ。令 Ｘ＝（ ｌ， ２，…， ），即 ＡＸ＝Ｅ。两边 同时取 行列 式 ，得 到 ＩＡｌＩＸＩ＝１，从 而 ｌＡＩ≠０，说 明 Ａ可逆 。（对 于齐 次线 性方程组 Ａｘ＝０，上述 定理 的逆否命题 可 以叙述 为 ：齐次线 性 方程组 Ａｘ＝０有非零解 的充分必要条件是方 阵 Ａ不可逆 。）
解析 ：此题 考查 矩 阵 Ａ可 逆与 行列 式不 等 于零 的关 系 。
对 ＡＡ ＝Ｉ ＡＩＥ两 端 同 时 取 行 列 式 可 得 ＩＡｌＪＡ Ｉ’ＩＡ Ｊ”，再 由
Ａ可逆可得 ＩＡｌ≠０，从而 ＩＡ Ｉ：ＩＡＩ『卜。，选 （Ａ）。
２．设 Ａ是 ｎ阶可逆矩阵 ，是 Ａ的一个特征值 ，则 Ａ的伴 随
新 校 园
自然科 ห้องสมุดไป่ตู้
浅 析 可 逆 矩 阵 的相 关 结 论 及 应 用
孙 传 光 侯 林 林
（１．山 东水 利职 业 学院基础 教 学部 ，山 东 日照 ２７６８２６；
２．曲阜师 范 大 学信 息科 学与 工程 学 院 ，山 东 日照 ２７６８２６）
摘 要 ：可逆矩 阵是 线性代数 中的重要 内容 ，是历来研 究生入 学考试 中重点考 察的 内容 之一。本文 对于与 可逆 矩 阵的相 关结论 ，包含 与行 列式、矩 阵的秩 、向量组、线性方程 组、特征值 的关 系进 行分析 与总结 ，并 通过 例题 来 探 讨 它 们 的应 用 。
Ｉ ＾ ｌ
Ａ （ ） ｆＡｌｘ＝ （Ａ ｘ） Ａ ｘ＝ ｘ，从 而选 （Ｂ）。
参 考 文 献 ： ［１］同 济 大 学数 学 系．线性 代 数 ［Ｍ］．北 京 ：高等 教 育 出版
社 ．２００９．
［２］甘 志雄 ，等．线性代数 典 型例题 与解 法［Ｍ］．长 沙：国防科 技 大 学 出版 社 。２００４．
５．与 矩 阵 方 程 的 关 系
（１）对于矩阵方程 ＡＢ：Ｃ，若 Ａ可逆 ，则有 Ｂ＝Ａ～Ｃ。
（２）若 Ａ可逆 ，且 ＡＢ＝０，则 Ｂ＝０。
６．与 特 征 值 的 关 系 （１）Ａ可逆 的充分必要条件是 Ａ的特征值均 为非零 的。
（２）设 Ａ的特征 值 分别 为 Ａ ，Ａ：，…，Ａ ，则 当 Ａ可逆 时 ，
可逆矩 阵 ，则有 ｒ（Ａ）＝ｒ（ＰＡ）＝ｒ（ＡＱ）＝ｒ（ＰＡＱ） ３．与 向量 组 的 关 系 Ａ可逆的充分必要条件是 Ａ的列 向量 组线性无关 ，Ａ的行
向量组线性无关 。（此结论的逆 否命题 为 ：Ａ不 可逆 的充 分必 要 条件 是 Ａ的列 向量组线性相关 ，Ａ的行 向量组线性相关 。）