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随机事件和概率第一节 基本概念
1、排列组合初步（1）排列组合公式
从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

)!
(!
n m m P n m
-=
从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

)!
(!!n m n m C n
m -=
(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。

(4)一些常见排列
①特殊排列 相邻 彼此隔开
顺序一定和不可分辨
②重复排列和非重复排列（有序）③对立事件④顺序问题
2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（2）事件的关系与运算
①关系：
如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：
B
A ⊂如果同时有
，，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于
B A ⊂A B ⊃B ：A=B 。

A 、
B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。

属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为A-AB 或者
，它表示A 发生而B 不发生的事件。

B A A 、B 同时发生：A B ，或者AB 。

A B=Ø，则表示A 与B 不可能同时发生，称事
件A 与事件B 互不相容或者互斥。

基本事件是互不相容的。

Ω-A 称为事件A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为A 。

它表示A 不发生的事
件。

互斥未必对立。

②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率：
∞
=∞==1
1
i i
i i A
A
，B A B A =B
A B A =3、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义
设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下
列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件
1A ，2A ，…有∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1
1)(i i i i A P A P 常称为可列（完全）可加性。

则称P(A)为事件
A 的概率。

（2）古典概型（等可能概型）
1° ，
{}n ωωω 21,=Ω
2° 。

n
P P P n 1)()()(21===ωωω 设任一事件A ，它是由组成的，则有
m ωωω 21,P(A)=
={})()()(21m ωωω )
()()(21m P P P ωωω+++ n
m =基本事件总数所包含的基本事件数A =
4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）（1）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（2）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)⊂当A=Ω时，P()=1- P(B)B （3）条件概率和乘法公式
定义 设A 、B 是两个事件，且P(A)>0，则称
为事件A 发生条件下，事件B
)()
(A P AB P 发生的条件概率，记为。

=)/(A B P )
()
(A P AB P 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)⇒B 乘法公式：)
/()()
(A B P A P AB P =更一般地，对事件A 1，A 2，…A n ，若P(A 1A 2…A n-1)>0，则有
21(A A P …)n A )|()|()(213121A A A P A A P A P =……21|(A A A P n …)1-n A 。

（4）全概公式
设事件n B B B ,,,21 满足
1°n B B B ,,,21 两两互不相容，),,2,1(0)
(n i B P i =>，
2°
n
i i
B A 1
=⊂，
则有
)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++= 。

此公式即为全概率公式。

（5）贝叶斯公式
设事件1B ，2B ，…，n B 及
A 满足
1° 1B ，2B ，…，n B 两两互不相容，)(Bi P >0，=i
1，2，…，n ，
2°
n
i i
B A 1
=⊂，0)(>A P ，
则
，i=1，2，…n 。

∑==
n
j j j
i i i B A P B
P B A P B P A B P 1
)
/()()
/()()/(此公式即为贝叶斯公式。

，
（1=i ，2，…，n ），通常叫先验概率。

)(i B P ，
（1=i ，2，…，n ），通常称为后验概率。

如果我们把A 当作观察)/(A B P i 的“结果”，而1B ，2B ，…，n B 理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

5、事件的独立性和伯努利试验（1）两个事件的独立性
设事件A 、B 满足)()()(B P A P AB P =，则称事件A 、B 是相互独立的
（这个性质不是想当然成立的）。

若事件
A 、
B 相互独立，且0)(>A P ，则有
)
()
()
()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P ===所以这与我们所理解的独立性是一致的。

若事件A 、B 相互独立，则可得到
A 与
B 、A 与B 、A 与B 也都相互独
立。

（证明）
由定义，我们可知必然事件Ω和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。

（证明） 同时，Ø与任何事件都互斥。

（2）多个事件的独立性
设ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A 、B 、C 相互独立。

对于n 个事件类似。

两两互斥→互相互斥。

两两独立→互相独立？（3）伯努利试验
定义 我们作了n 次试验，且满足
◆每次试验只有两种可能结果，
A 发生或A 不发生；
◆
n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；
◆
每次试验是独立的，即每次试验
A 发生与否与其他次试验A 发生与否是
互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。

用
p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为q p =-1，用)(k P n 表示
n 重伯努利试验中A 出现)0(n k k ≤≤次的概率，
k n k k
n n q p k P C -=)(，n k ,,2,1,0 =。

随机变量及其分布第一节 基本概念
在许多试验中，观察的对象常常是一个随同取值的量。

例如掷一颗骰子出现的点数，它本身就是一个数值，因此P(A)这个函数可以看作是普通函数（定义域和值域都是数字，数字到数字）。

但是观察硬币出现正面还是反面，就不能简单理解为普通函数。

但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来。

当出现正面时，规定其对应数为“1”；而出现反面时，规定其对应数为“0”。

于是
==)(ωX X ⎩⎨
⎧，当反面出现
，当正面出现
01称
X
为随机变量。

又由于
X
是随着试验结果（基本事件ω）不同而变化的，所以
X
实际上是基本事件ω的函数，即X=X(ω)。

同时事件A 包含了一定量的ω（例如古典概型中A 包含了ω1，ω2，…ωm ，共m 个基本事件），于是P(A)可以由
P(X(ω))来计算，这是一个普通函数。

定义 设试验的样本空间为Ω，如果对Ω中每个事件ω都有唯一的实数值X=X(ω)与之对应，则称X=X(ω)为随机变量，简记为X 。

有了随机变量，就可以通过它来描述随机试验中的各种事件，能全面反映试验的情况。

这就使得我们对随机现象的研究，从前一章事件与事件的概率的研究，扩大到对随机变量的研究，这样数学分析的方法也可用来研究随机现象了。

一个随机变量所可能取到的值只有有限个（如掷骰子出现的点数）或可列无穷多个（如电话交换台接到的呼唤次数），则称为离散型随机变量。

像弹着点到目标的距离这样的随机变量，它的取值连续地充满了一个区间，这称为连续型随机变量。

1、随机变量的分布函数（1）离散型随机变量的分布率
设离散型随机变量X
的可能取值为X k (k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=X k )的概率为
P(X=x k )=p k ，k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量X
的概率分布或分布律。

有时也用分布列的形式给
出：
,,,,,,,,|
)(2121k k k p p p x x x x X P X =。

显然分布律应满足下列条件：（1）0≥k p ， ,2,1=k ，
（2）
∑∞
==1
1
k k
p。

（2）分布函数
对于非离散型随机变量，通常有，不可能用分布率表达。

例如
0)(==x X P 日光灯管的寿命
，。

所以我们考虑用落在某个区间
X 0)(0==x X P X
内的概率表示。

],(b a 定义 设
为随机变量，是任意实数，则函数
X x )
()(x X P x F ≤=称为随机变量X 的分布函数。

可以得到X 落入区间的概率。

也就
)()()(a F b F b X a P -=≤<],(b a 是说，分布函数完整地描述了随机变量X 随机取值的统计规律性。

分布函数是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的)(x F 概率。

的图形是阶梯图形，是第一类间断点，随机变量在处
)(x F ,,21x x X
k x 的概率就是在处的跃度。

)(x F k x 分布函数具有如下性质：1° ；
,1)(0
≤≤x F +∞<<∞-x 2° 是单调不减的函数，即时，有 ；
)(x F 21x x <≤)(1x F )(2x F 3° ， ；
0)(lim )
(==-∞-∞
→x F F x 1)(lim )(==+∞+∞
→x F F x 4° ，即是右连续的；
)()0(x F x F =+)(x F 5° 。

)0()()(--==x F x F x X P （3）连续型随机变量的密度函数定义 设)(x F 是随机变量X
的分布函数，若存在非负函数
)(x f ，对任意实数x ，
有
⎰∞
-=x
dx
x f x F )()(，
则称
X
为连续型随机变量。

)(x f 称为X
的概率密度函数或密度函数，简称概率
密度。

)(x f 的图形是一条曲线，称为密度（分布）曲线。

由上式可知，连续型随机变量的分布函数)(x F 是连续函数。

所以，
)
()()()()()(1221212121x F x F x X x P x X x P x X x P x X x P -=<<=<≤=≤<=≤≤密度函数具有下面4个性质：1° 0)(≥x f 。

2°
⎰
+∞
∞
-=1
)(dx x f 。

1
)()(==+∞⎰
+∞∞
-dx x f F 的几何意义；在横轴上面、密度曲线下面的全部面积
等于1。

如果一个函数)(x f 满足1°、2°，则它一定是某个随机变量的密度函数。

3°
＝＝。

)(21x X x P ≤<)()(12x F x F -⎰2
1
)(x x dx x f 4° 若
)(x f 在x 处连续，则有)()(x f x F ='。

dx
x f dx x X x P )()(≈+≤<它在连续型随机变量理论中所起的作用与k k p x X P ==)(在离散型随机变量理
论中所起的作用相类似。

)
(),(,独立性古典概型，五大公式，A P A E →→Ω→ω
)()()()(x X P x F x X X ≤=→≤→ωω对于连续型随机变量X
，虽然有0)(==x X
P ，但事件)(x X =并非是不可
能事件Ø。

⎰+=+≤<≤=h
x x
dx
x f h x X x P x X P )()()(令0→h ，则右端为零，而概率0)(≥=x X P ，故得0)(==x X P 。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

2、常见分布①0－1分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q ②二项分布
在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。

事件发生的次数是随机变量，
n A p A 设为
，则
可能取值为。

X
X n ,,2,1,0 ，
其中
k n k k
n n q p k P k X P C -===)()(，
n k p p q ,,2,1,0,10,1 =<<-=则称随机变量
服从参数为，的二项分布。

记为。

X n p ),(~p n B X n
k n k k n
n n n n
p q p q p npq q k X P X
C C ,,,,,,|)(2221 ---=容易验证，满足离散型分布率的条件。

当时，，，这就是（0-1）分布，所以（0-
1=n
k k q p k X P -==1)(1.0=k 1）分布是二项分布的特例。

③泊松分布设随机变量
的分布律为
X
，，，
λλ
-=
=e k k X P k
!
)(0>λ 2,1,0=k 则称随机变量
服从参数为的泊松分布，记为或者P()。

X λ)(~λπX λ泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

如飞机被击中的子弹数、来到公共汽车站的乘客数、机床发生故障的次数、自动控制系统中元件损坏的个数、某商店中来到的顾客人数等，均近似地服从泊松分布。

④超几何分布
),min(,2,1,0,)(n M l l k C C C k X P n
N
k
n M
N k M ==∙==-- 随机变量X 服从参数为n,N,M 的超几何分布。

⑤几何分布
，其中p≥0，q=1-p 。

,3,2,1,)(1===-k p q k X P k 随机变量X 服从参数为p 的几何分布。

⑥均匀分布设随机变量X
的值只落在[a ，b]内，其密度函数
)(x f 在[a ，b]上为常数k ，即
其他，
⎩⎨
⎧=,0,
)(k x f 其中k=，
a
b -1
则称随机变量X 在[a ，b]上服从均匀分布，记为X~U(a ，b)。

分布函数为
⎰∞
-=
=x
dx x f x F )()(
当a≤x 1<x 2≤b 时，X 落在区间（21,x x ）内的概率为
P(
⎰⎰
-==<<21
2
1
1
)()21x x x x a
b dx x f x X x a b x x dx --=12。

⑦指数分布
设随机变量X 的密度函数为
其中0>λ，则称随机变量X 服从参数为λ的指数分布。

X 的分布函数为
记住几个积分：
,10
=⎰+∞
-dx xe x
,20
2
=⎰+∞
-dx e x x
)!1(0
1-=⎰+∞
--n dx e x x
n ，
⎰+∞
--=Γ0
1 )(dx e x x αα)()1(αααΓ=+Γ⑧正态分布设随机变量
X
的密度函数为
0， x<a ，,a b a
x --
a ≤x≤b
1， x>b 。

a ≤x≤
b =
)(x f ,x e λλ-
0≥x ,0,
0<x ,
=
)(x F ,1x e λ--
0≥x ,
,
x<0。

， +∞<<∞-x ，
2
22)(21
)(σμσ
π--
=
x e
x f 其中μ、0>σ为常数，则称随机变量X 服从参数为μ、σ的正态分布或
高斯（Gauss ）分布，记为),(~2
σμN X 。

)(x f 具有如下性质：
1° )(x f 的图形是关于μ=x 对称的；
2° 当μ=x 时，为最大值；
σ
πμ21
)(=f 3° )(x f 以ox 轴为渐近线。

特别当σ固定、改变μ时，)(x f 的图形形状不变，只是集体沿ox 轴平行移动，所以μ又称为位置参数。

当μ固定、改变σ时，)(x f 的图形形状要发生变化，随σ变大，)(x f 图形的形状变得平坦，所以又称σ为形状参数。

若
),(~2σμN X ，则X
的分布函数为
dt
e
x F x
t ⎰
∞
---
=
2
2
2)(21
)(σμπσ。

参数0=μ、1=σ时的正态分布称为标准正态分布，记为)1,0(~N X ，其密
度函数记为
2
2
21)(x e x -=
π
ϕ，，
+∞<<∞-x 分布函数为
dt
e
x x
t ⎰
∞
--Φ2
221)
(π。

)(x Φ是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

φ(x)和Φ(x)的性质如下：
1° φ(x)是偶函数，φ(x)＝φ(-x)；
2° 当x=0时，φ(x)＝
为最大值；
π
213° Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝。

2
1如果
~，则
~。

X ),(2σμN σ
μ
-X )1,0(N 所以我们可以通过变换将的计算转化为的计算，而的值是可以)(x F )(x Φ)(x Φ通过查表得到的。

⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=≤<σμσμ1221)(x x x X x P 分位数的定义。

3、随机变量函数的分布随机变量是随机变量的函数，若的分布函数或密度
Y X )(X g Y =X )(x F X 函数
知道，则如何求出的分布函数或密度函数。

)(x f X )(X g Y =)(y F Y )(y f Y （1）是离散型随机变量X 已知的分布列为
X
，
,,,,,,,,)(2121n n i p p p x x x x X P X
=显然，的取值只可能是，若互不
)(X g Y = ),(,),(),(21n x g x g x g )(i x g 相等，则
的分布列如下：
Y ，
,,,,),(,),(),()(2121n n i p p p x g x g x g y Y P Y
=
若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。

)(i x g i P )(i x g （2）
是连续型随机变量
X
先利用X 的概率密度f X (x)写出Y 的分布函数F Y (y)，再利用变上下限积分的求导公式求出f Y (y)。

二维随机变量及其分布第一节 基本概念
1、二维随机变量的基本概念
（1）二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布
如果二维随机向量（X ，Y ）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y ）时，则ξ称为离散型随机量。

理解：（X=x,Y=y ）≡（X=x∩Y=y）
ξ设=（X ，Y ）的所有可能取值为，且事件{=
ξ),2,1,)(,
( =j i y x j i ξ}的概率为p ij,,称
),(j i y x )
,2,1,()},(),{( ===j i p y x Y X P ij j i 为=（X ，Y ）的分布律或称为X 和Y 的联合分布律。

联合分布有时也用下面的概ξ率分布表来表示：
Y
X y 1y 2…y j …p i ·x 1p 11p 12…p 1j …p 1·x 2
p 21
p 22
…
p 2j
…
p 2·
x i
p i1
…
…
p i ·
p ·j
p ·1
p ·2
…
p ·j
…
1
这里p ij 具有下面两个性质：（1）p ij ≥0（i,j=1,2,…）；（2）
.
1=∑∑
ij i
j
p 对于随机向量（X ，Y ），称其分量X （或Y ）的分布为（X ，Y ）的关于X （或Y ）的边缘分布。

上表中的最后一列（或行）给出了X 为离散型，并且其联合分布律为
，
),2,1,()},(),{( ===j i p y x Y X P ij j i 则X 的边缘分布为 ；
),2,1,()( ====∑∙j i p x X P P ij j
i i Y 的边缘分布为 。

),2,1,()( ====∑∙j i p y Y P P ij i
i i
（2）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布对于二维随机向量，如果存在非负函数
),(Y X =ξ
，使对任意一个其邻边分别平行于坐标
),)(,(+∞<<-∞+∞<<-∞y x y x f 轴的矩形区域D ，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有
⎰⎰=∈D
dxdy y x f D Y X P ,
),(}),{(则称为连续型随机向量；并称f(x,y)为=（X ，Y ）的分布密度或称为X 和Y 的ξξ联合分布密度。

分布密度f(x,y)具有下面两个性质：（1）f(x,y)≥0;
（2）
⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-=.
1),(dxdy y x f 一般来说，当（X ，Y ）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f(x,y)，则X 和Y 的边缘分布密度为
.
),()(),()(⎰
⎰
+∞
∞
-+∞
∞
-==dx y x f y f dy y x f x f Y X ，注意：联合概率分布→边缘分布
（3）条件分布
当（X ，Y ）为离散型，并且其联合分布律为
),
,2,1,()},(),{( ===j i p y x Y X P ij j i 在已知X=x i 的条件下，Y 取值的条件分布为
,
)|(∙
=
==i ij i j p p x X y Y P 其中p i•, p •j 分别为X ，Y 的边缘分布。

当（X ，Y ）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f(x,y)，则在已知Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为
)
()
,()|(y f y x f y x f Y =
在已知X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为
)
(),()|(x f y x f x y f X =
其中
分别为X ，Y 的边缘分布密度。

0)(,0)(>>y f x f Y X （4）常见的二维分布①均匀分布
设随机向量（X ，Y ）的分布密度函数为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧∈=其他
,0),(1
),(D y x S y x f D
其中S D 为区域D 的面积，则称（X ，Y ）服从D 上的均匀分布，记为
（X ，Y ）～U （D ）。

例如图3.1、图3.2和图3.3。

图3.1
图3.2
图3.3②正态分布
设随机向量（X ，Y ）的分布密度函数为
,
121),(2222121211221))((2)1(21
2
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---
-=
σμ
σσμμρσμρρ
σπσy y x x e
y x f 其中，共5个参数，则称（X ，Y ）服从二维正态
1||,0,0,,2121<>>ρσσμμ分布，
记为（X ，Y ）～N （).
,,,222
1
,21ρσσμμ由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，反推则错。

即X ～N （).
(~),,2
2,22
1
1σμσμN Y （5）二维随机向量联合分布函数及其性质
设（X ，Y ）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数
}
,{),(y Y x X P y x F ≤≤=称为二维随机向量（X ，Y ）的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件
的概率为函数值的一个实值
})(,)(|),{(2121y Y x X ≤<-∞≤<-∞ωωωω函数。

分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：（1）;
1),(0≤≤
y x F （2）F （x,y ）分别对x 和y 是非减的，即
当x 2>x 1时，有F （x 2,y ）≥F(x 1,y);当y 2>y 1时，有F(x,y 2) ≥F(x,y 1);（3）F （x,y ）分别对x 和y 是右连续的，即
);
0,(),(),,0(),(+=+=y x F y x F y x F y x F （4）.
1),(,0),(),(),(=+∞+∞=-∞=-∞=-∞-∞F x F y F F 2、随机变量的独立性（1）一般型随机变量F(X,Y)=F X (x)F Y (y)
（2）离散型随机变量
j
i ij p p p ∙∙=例3．5：二维随机向量（X ，Y ）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X ，Y ）取得它们的概率相同，则（X ，Y ）的联合分布及边缘分布为
Y X
-1012p 1·
1
61000
612
6
16
10
61213
61613
1p ·j
316
16
13
11
（3）连续型随机变量f(x,y)=f X (x)f Y (y)
联合分布→边缘分布→f(x,y)=f X (x)f Y (y)直接判断，充要条件：①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
例3．6：如图3.1，f(x,y)=8xy, f X (x)=4x 3, f Y (y)=4y-4y 3，不独立。

例3．7：f(x,y)=⎩
⎨
⎧≤≤≤≤其他,01
0,20,2
y x Axy （4）二维正态分布
,
121),(22221212
11221))((2)1(21
2
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---
-=
σμ
σσμμρσμρρ
σπσy y x x e
y x f ρ=0
（5）随机变量函数的独立性
若X 与Y 独立，h,g 为连续函数，则：h （X ）和g （Y ）独立。

例如：若X 与Y 独立，则：3X+1和5Y-2独立。

3、简单函数的分布两个随机变量的和Z=X+Y ①离散型：②连续型
f Z (z)＝
dx
x z x f ⎰+∞
∞
--),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布（）。

22
2121,σσμμ++2、随机变量的独立性
例3．17：设（X ，Y ）的联合分布密度为
⎪⎩
⎪
⎨
⎧≤≤≤+=.
,0,10),
(),(其他x y y x C y x f （1）
求C ；
（2）
求X ，Y 的边缘分布；
（3）讨论X 与Y 的独立性；（4）
计算P （X+Y ≤1）。

3、简单函数的分布
随机变量的数字特征第一节 基本概念
1、一维随机变量的数字特征（1）一维随机变量及其函数的期望①设X 是离散型随机变量，其分布律为P(
)＝p k ，k=1,2,…,n ，
k x X =∑==n
k k
k p x X E 1
)(期望就是平均值。

③数学期望的性质（1）E(C)=C （2）E(CX)=CE(X)
（3）
E(X+Y)=E(X)+E(Y)，∑∑===n
i n
i i i i
i X E C X
C E 1
1
)
()(
（4）E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和Y 独立；
充要条件：X 和Y 不相关。

（5）
Y=g(X)离散：∑==n
i k
k p x g Y E 1
)()
(
连续：⎰+∞
∞-=
dx
x xf X E )()(⎰+∞
∞
-=
dx
x f x g Y E )()()(（2）方差
D(X)=E[X-E(X)]2，方差
，标准差
)()(X D X =σ①离散型随机变量
∑-=k
k
k p X E x X D 2)]([)(②连续型随机变量
⎰+∞
∞
--=dx
x f X E x X D )()]([)(2③方差的性质（1）D(C)=0；E(C)=C
（2）D(aX)=a 2D(X)； E(aX)=aE(X)（3）D(aX+b)= a 2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （4）D(X)=E(X 2)-E 2(X)
（5）
D(X+Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和Y 独立；
充要条件：X 和Y 不相关。

D(X ±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。

E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。

类似的，n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

),(2
σ
μN ，
∑=i
i
i C μμ∑=i
i i C 2
22σσ（3）常见分布的数学期望和方差
分布名称符号均值方差
0-1分布),1(p B p )1(p p -二项分布
),(p n B np
)
1(p np -泊松分布
)(λP λ
λ
几何分布
)
(p G p
12
1p p -超几何分布
)
,,(N M n H N nM ⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-11N n N N M N nM 均匀分布
),(b a U 2b a +12
)(2
a b -指数分布
)
(λe λ1
2
1
λ正态分布)
,(2σμN μ
2
σ①0－1分布
X
01q
p
E(X)=p ，D(X)=pq
②二项分布 X ~B(n,p)，，
（k=0,1,2…n ）k
n k k n n q p C k P -=)(E(X)=np ，D(X)=npq
③泊松分布 P(λ) P(X=k)=，k=0,1,2…
!
k e x
k -λE(X)= λ， D(X)= λ
④超几何分布 n
N
k
n M
N k M C C C k X P --==)(E(X)=
N
nM ⑤几何分布 ，k=0,1,2…
1)(-==k pq k X P E(X)=
， D(X)=
p
12
p q ⑥均匀分布 X ~U[a,b]，f(x)=
，[a, b ]a
b -1
E(X)=， D(X)=
2
b
a +12)(2a
b -⑦指数分布 f(x)= ，(x>0)
x
e
λλ-E(X)=
， D(X)=
λ
1
2
1
λ
⑧正态分布 X ~N(μ,σ2)，2
22)(21)(σμσ
π--
=
x e
x f E(X)= μ， D(X)= σ22、二维随机变量的数字特征（1）协方差和相关系数
对于随机变量X 与Y ，称它们的二阶混合中心矩为X 与Y 的协方差或相关矩，11μ记为，即
),cov(Y X XY
或σ
))].
())(([(11Y E Y X E X E XY --==μσ与记号相对应，X 与Y 的方差D （X ）与D （Y ）也可分别记为与。

XY
σ
XX
σ
YY σ协方差有下面几个性质：(i)cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);
(iii)cov(X 1+X 2, Y)=cov(X 1,Y)+cov(X 2,Y);(iv)
cov(X,Y)=E(XY)-(E(X))(E(Y)).
对于随机变量X 与Y ，如果D （X ）>0, D(Y)>0，则称
)
()(Y D X D XY
σ为X 与Y 的相关系数，记作（有时可简记为）。

XY ρρ||≤1，当||=1时，称X 与Y 安全相关：
ρρ完全相关⎩⎨
⎧-==时，
负相关，当时，正相关，当11ρρ而当时，称X 与Y 不相关。

0=ρ与相关系数有关的几个重要结论（i ）
若随机变量X 与Y 相互独立，则；反之不真。

0=XY ρ（ii ）
若（X ，Y ）～N （）
，则X 与Y 相互独立的充要条ρσσμμ,,,,2
22
121件是，即X 和Y 不相关。

0=ρ
（iii ）以下五个命题是等价的：
①；
0=XY
ρ②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).
（2）二维随机变量函数的期望
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=⎰⎰∑∑∞+∞∞
+∞
－－为连续型。

，
为离散型；
，),(),(),(),(),()],([Y X dxdy y x f y x G Y X p y x G Y X G E i j ij j i （3）原点矩和中心矩
①对于正整数k ，称随机变量X 的k 次幂的数学期望为X 的k 阶原点矩，记为v k ,即
u k =E(X k ), k=1,2, ….
于是，我们有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=⎰∑∞+∞
-.
,)(续型时为连当为离散型时，当X dx x p x X p x u k i
i k i k ②对于正整数k ，称随机变量X 与E （X ）差的k 次幂的数学期望为X 的k 阶中心矩，
记为，即
k μ.
,2,1,))(( =-=k X E X E k k μ于是，我们有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧--=⎰∑∞+∞
-.
,)())(())((续型时为连当为离散型时，当X dx x p X E x X p X E x u k i
i k i k ③对于随机变量X 与Y ，如果有存在，则称之为X 与Y 的k+l 阶混合原
)(l k
Y X E 点矩，记为，即
kl u ))].
(())([(Y E Y X E X E u k kl --=大数定律和中心极限定理
第一节 基本概念
1、切比雪夫不等式
设随机变量X 具有数学期望E （X ）=μ，方差D （X ）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式
2
2
)(ε
σεμ≤≥-X P 切比雪夫不等式给出了在未知X 的分布的情况下，对概率
)
(εμ≥-X P 的一种估计，它在理论上有重要意义。

2、大数定律
（1）切比雪夫大数定律（要求方差有界）
设随机变量X 1，X 2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C 所界：D （X i ）<C(i=1,2,…),则对于任意的正数ε，有
.1)(11lim 11=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛<-∑∑==∞→εn
i i n i i n X E n X n P 特殊情形：若X 1，X 2，…具有相同的数学期望E （X I ）=μ，则上式成为
.11lim 1=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛<-∑=∞→εμn i i n X n P 或者简写成：
()
.
1lim =<-∞
→εμX P n 切比雪夫大数定律指出，n 个相互独立，且具有有限的相同的数学期望与方差的随机变量，当n 很大时，它们的算术平均以很大的概率接近它们的数学期望。

（2）伯努利大数定律
设μ是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有
.1lim =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛<-∞→εμp n P n 伯努利大数定律说明，当试验次数n 很大时，事件A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即
.0lim =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛≥-∞→εμp n P n 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。

（3）辛钦大数定律（不要求存在方差）
设X 1，X 2，…，X n ，…是相互独立同分布的随机变量序列，且E （X n ）=μ，则对于任意的正数ε有
.11lim 1=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛<-∑=∞→εμn i i n X n P 3、中心极限定理（1）列维－林德伯格定理
设随机变量X 1，X 2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：，则随机变量
),2,1(0)(,)
(2 =≠==k X D X E k k σμσ
μ
n n X
Y n
k k
n ∑=-=
1
的分布函数F n (x )对任意的实数x ，有
⎰
∑∞
--
=∞
→∞→=⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=x
t n k k n n n dt e
x n n X P x F .
21lim )(lim 2
12
πσμ或者简写成：
)1,0(/N n
X n −−→−-∞
→σμ
此定理也称为独立同分布的中心极限定理。

（2）棣莫弗－拉普拉斯定理
设随机变量X 1，…X n 均为具有参数n, p(0<p<1)的二项分布，则对于任意实数x,有
⎰
∞
--
∞
→=⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--=x
t n n dt e
x p np np X P .
21)1(lim 2
2
π例5．3：某车间有200台车床，在生产时间内由于需要检修、调换刀具、变换位置、调换工件等常需停车。

设开工率为0.6，并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1Kw ，问应供应该车间多少瓦电力，才能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产。

数理统计的基本概念第一节 基本概念
1、总体、个体和样本（1）总体与样本
总体
在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称
为总体（或母体）；而把总体中的每一个单元称为样品（或个体）。

在以后的讨论中，我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。

例如单正态总体X ，用
)
,(~2σμN X 来表示
我们把从总体中抽取的部分样品称为样本。

样本中所含的样品n x x x ,,,21 数称为样本容量，一般用n 表示。

为了使抽取的样本很好地反映总体地信息，最常用的方法是“简单随机抽样”：
（1）代表性。

即每一样品X i 与总体X 同分布；（2）独立性。

即样品抽取互相间不影响。

此时的样本是n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。

注意：在泛指任一次抽取的结果时，表示n 个随机变量（样本）；在n x x x ,,,21 具体的一次抽取之后，表示n 个具体的数值（样本值）。

我们称之为n x x x ,,,21 样本的两重性。

（2）样本函数与统计量
设为总体的一个样本，称
n x x x ,,,21 （）
ϕ
ϕ=n x x x ,,,21 为样本函数，其中为一个连续函数。

如果中不包含任何未知参数，则称（
ϕϕϕ）为一个统计量。

n x x x ,,,21 2、统计量（1）常用统计量样本均值
.
11
∑==n
i i x n x 样本方差
∑=--=n
i i
x x n S 12
2.)(11（与概率论中的方差定义不同）
样本标准差.)(111
2∑=--=n
i i x x n S 样本k 阶原点矩∑===n i k
i k k x n M 1
.
,2,1,1 样本k 阶中心矩 ∑==-='n
i k i k
k x x n M 1
.,3,2,)(1 （二阶中心矩与概率论中的方差
∑=-=n i i X X n S 1
2
2
)(1*定义相同）
（2）统计量的期望和方差
，，
μ=)(X E n
X D 2
)(σ=
，,22)(σ=S E 2
21)*(σn
n S E -=
其中，为二阶中心矩。

∑=-=
n
i i
X X n S
1
2
2)(1*3、三个抽样分布（χ2、t 、F 分布）（1）χ2分布设n 个随机变量相互独立，且服从标准正态分布，可以证明：它
n X X X ,,,21 们的平方和
∑==n
i i X W 1
2
的分布密度为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=--.
0,
0,0221)(212
2u u e u n u f u n n
我们称随机变量W 服从自由度为n 的分布，记为W ～(n)，其中
2
κ2
κ.20
1
2dx e x n x n
-∞+-⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

分布满足可加性：设
2
κ),
(2i i n Y κ-则
).
(~211
2k k
i i n n n Y Z +++=∑= κ注意两个结果：E(χ2)=n ，D(χ2)=2n （2）t 分布
设X ，Y 是两个相互独立的随机变量，且
),
(~),1,0(~2n Y N X κ可以证明：函数
n
Y X T /=
的概率密度为
2
121221)(+-
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛Γ⎪
⎭⎫
⎝⎛+Γ=n n t n n n t f π).
(+∞<<-∞t 我们称随机变量T 服从自由度为n 的t 分布，记为T ～t(n)。

注意两个结果：E(T)=0，D(T)=
(n>2)
2
-n n
（3）F 分布
设
，且X 与Y 独立，可以证明：的概率
)(~),(~2212n Y n X κκ2
1//n Y n X F =
密度函数为
⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎨⎧<≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫
⎝⎛+Γ=+-.
0,
0,0,1222)(2
211222
121212
11
1
y y y n n y n n n n n n y f n n n n 我们称随机变量F 服从第一个自由度为n 1，第二个自由度为n 2的F 分布，记为F ～f(n 1, n 2).
正态分布，
αα
μμ-=-1，
)()(1n t n t αα-=-)
,(1),(12211n n F n n F αα=
-4、正态总体下统计量的分布和性质
注意一个定理：
与独立。

X 2
S （1）正态分布设为来自正态总体的一个样
n x x x ,,,21 ),(2
σ
μN 本，则样本函数
).
1,0(~/N n
x u
def
σμ
-（2）t-分布
设为来自正态总体的一个样
n x x x ,,,21 ),(2
σ
μN 本，则样本函数
),
1(~/--n t n
S x t
def
μ其中t(n-1)表示自由度为n-1的t 分布。

（3）分布
设为来自正态总体的一个样
2
κ
n x x x ,,,21 ),(2
σ
μN 本，则样本函数
),
1(~)1(22
2
--n S n w
def
κσ
其中表示自由度为n-1的分布。

)1(2
-n κ
2κ（4）F 分布 设为来自正态总体的一个样本，
n x x x ,,,21 ),(2
σ
μN 而
为来自正态总体的一个样本，则样本函数
n y y y ,,,21 ),(2
2σμN ),
1,1(~//212
2
222
121--n n F S S F
def
σσ其中
,)(1121
1211
∑=--=n i i x x n S ;)(1121
2222
∑=--=n i i y y n S 表示第一自由度为，第二自由度为的F 分布。

)1,1(21--n n F 11-n 12-n 第七章 参数估计第一节 基本概念
1、点估计的两种方法（1）矩法
所谓矩法就是利用样本各阶原点矩与相应的总体矩，来建立估计量应满足的方程，从而求得未知参数估计量的方法。

设总体X 的分布中包含有未知数，则其分布函数可以表成
m θθθ,,,21 显示它的k 阶原点矩中也
).,,,;(21m x F θθθ ),,2,1)((m k X E v k k ==包含了未知参数，即。

又设m θθθ,,,21 ),,,(21m k k
v v θθθ =为总体X 的n 个样本值，其样本的k 阶原点矩为
n x x x ,,,21 ∑=∧
=n i k
i
k x n v 1
1).
,,2,1(m k =这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪⎨⎧===∑∑∑=∧
∧∧=∧∧∧=∧∧
∧n i m i m m n i i m n i i m x n v x n v x n v 121122121
211.1),,,(,1),,,(,
1),,,(θθθθθθθθθ 由上面的m 个方程中，解出的m 个未知参数即为参数（
),,,(21∧
∧∧m θθθ ）的矩估计量。

m θθθ,,,21。