(完整版),概率论与数理统计知识点总复习,推荐文档

随机事件和概率第一节 基本概念

1、排列组合初步（1）排列组合公式

从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。)!

(!

n m m P n m

-=

从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。)!

(!!n m n m C n

m -=

(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。(4)一些常见排列

①特殊排列 相邻 彼此隔开

顺序一定和不可分辨

②重复排列和非重复排列（有序）③对立事件④顺序问题

2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（2）事件的关系与运算

①关系：

如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：

B

A ⊂如果同时有

，，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于

B A ⊂A B ⊃B ：A=B 。

A 、

B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。

属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为A-AB 或者

，它表示A 发生而B 不发生的事件。

B A A 、B 同时发生：A B ，或者AB 。A B=Ø，则表示A 与B 不可能同时发生，称事

件A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

Ω-A 称为事件A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为A 。它表示A 不发生的事

件。互斥未必对立。②运算：

结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率：

∞

=∞==1

1

i i

i i A

A

，B A B A =B

A B A =3、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义

设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下

列三个条件：

1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1

3° 对于两两互不相容的事件

1A ，2A ，…有∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1

1)(i i i i A P A P 常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件

A 的概率。

（2）古典概型（等可能概型）

1° ，

{}n ωωω 21,=Ω

2° 。

n

P P P n 1)()()(21===ωωω 设任一事件A ，它是由组成的，则有

m ωωω 21,P(A)=

={})()()(21m ωωω )

()()(21m P P P ωωω+++ n

m =基本事件总数所包含的基本事件数A =

4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）（1）加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（2）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)

当B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)⊂当A=Ω时，P()=1- P(B)B （3）条件概率和乘法公式

定义 设A 、B 是两个事件，且P(A)>0，则称

为事件A 发生条件下，事件B

)()

(A P AB P 发生的条件概率，记为。

=)/(A B P )

()

(A P AB P 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)⇒B 乘法公式：)

/()()

(A B P A P AB P =更一般地，对事件A 1，A 2，…A n ，若P(A 1A 2…A n-1)>0，则有

21(A A P …)n A )|()|()(213121A A A P A A P A P =……21|(A A A P n …)1-n A 。

（4）全概公式

设事件n B B B ,,,21 满足

1°n B B B ,,,21 两两互不相容，),,2,1(0)

(n i B P i =>，

2°

n

i i

B A 1

=⊂，

则有

)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++= 。

此公式即为全概率公式。（5）贝叶斯公式

设事件1B ，2B ，…，n B 及

A 满足

1° 1B ，2B ，…，n B 两两互不相容，)(Bi P >0，=i

1，2，…，n ，

2°

n

i i

B A 1

=⊂，0)(>A P ，

则

，i=1，2，…n 。

∑==

n

j j j

i i i B A P B

P B A P B P A B P 1

)

/()()

/()()/(此公式即为贝叶斯公式。