(邹永奎)分段函数的几个问题

分段函数的几个问题

分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明。学生对此认识比较肤浅，本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下：

1、 分段函数的含义

所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。对它应有以下两点基本认识：

（1） 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

（2） 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

2、 求分段函数的函数值

例1

已知函数13

2(0)

()1)log (1)x x f x x x x ⎧<=≤≤>⎪⎩,求{[()]}f f f a (a <0)的值。

分析 求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值。()f x 是分段函数，要求{[()]}f f f a ，需要确定[()]f f a 的取值范围，为此又需确定()f a 的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解。

解 ∵a <0,

∴()2a f a =,

∵0<2a <1,

∴[()]f f a =(2)a f =3, ∵3>1,

∴{[()]}f f f a

=f

=13log －

2

1, 3、 求分段函数的解析式

例2 已知奇函数()f x (x R ∈)，当x >0时，()f x =x (5－x )+1.求()f x 在R 上的表达式。 解 ∵()f x 是定义域在R 上的奇函数，

∴(0)f =0.

又当x ＜0时，－x >0,

故有()f x -=－x [5－(－x )]+1=－x (5+x )+1。

再由()f x 是奇函数,

()f x =－()f x =x (5+x )－1.∴(5)1(0)()0(0)(5)1(0)x x x f x x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪+-<⎩

例3 求函数()f x =2x +(2－6a )x +32a (0≤x ≤1)的最小值。

解 ()f x =[x －(3a －1)]2－62a +6a －1

∵0≤x ≤1,

当3a －1<0时，()f x 的最小值为f(0)=32a ,

当0≤3a －1≤1时，()f x 的最小值为f(3a －1)=－62a +6a －1；

当3a －1>1时，()f x 的最小值为f(1)=32a －6a +3。

因此函数()f x 的最小值可表示成关系于a 的分段函数.

22213()312()661()332363()3a a g a a a a a a a ⎧<⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩

4、 求分段函数的最值

例4 求函数23(0)3(01)5(1)x x y x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩

的最小值

方法1 先求每个分段区间上的最值，后比较求值。 当x ≤0时,y =()f x =2x +3,此时显然有y maX = (0)f =3; 当01时，y =()f x =－x +5，此时y 无最大值.比较可得当x =1时,y max =4. 方法2 利用函数的单调性

由函数解析式可知，()f x 在x ∈(∞,0)上是单调递增的，在x ∈(0,1)上也是递增的，而在x ∈(1,+∞)上是递减的，

由()f x 的连续性可知()f x 当x =1时有最大值4 方法3 利用图像，数形结合求得

作函数y =()f x 的图像（图1）， 显然当x =1时y max =4. 说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得.