函数知识点总结与经典例题与解析
高中数学函数知识点总结与经典例题与解析
函数知识点总结知识点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当ba 时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征11、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0x⇔y>,0>点P(x,y)在第二象限0x⇔y<,0>点P(x,y)在第三象限0x⇔y<,0<点P(x,y)在第四象限0x⇔y,0<>2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上0=⇔y，x为任意实数点P(x,y)在y轴上0⇔x，y为任意实数=点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上⇔x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称23的点的坐标的特征点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
优秀的普高数学解三角函数知识点总结以及经典例题讲解
优秀的普高数学解三角函数知识点总结以及经典例题讲解 1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有2sin sin sin a b cR C===A B (R 为C ∆AB 的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a RA =，sin 2bR B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④R Aa C B A cb a 2sin sin sin sin ==++++3、三角形面积公式：111sin sin sin 222CSbc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c a bc+-A =5、正、余弦定理的适用范围：对任意三角形适用6、三角形中的其他常用结论（1）π=++C B A ；（2）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； （3）角的转换：2sin )2cos(,2cos )2sin(),cos(cos ),sin(sin CB AC B A B A C B A C =+=++-=+= （4）大角对大边，大边对大角：B A B A b a sin sin >⇔>⇔> （5）在锐角三角形中：2cos sin π>+⇔>B A B A解三角形题型分类一、已知三元素，解三角形（核心知识） （1）已知三角（AAA ），不能解三角形 （2）已知两角一边，包括AAS ，ASA 两种 AAS ： 1、(2012·高考广东卷)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )A ．43B ．2 3 C. 3 D.32 2、（2016年全国II 高考）（13）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = . 【答案】2113ASA ：（3）已知一角两边，包括SSA ，SAS 两种 SSA 型：（难点：注意大角对大边，大边对大角）3、（2017全国文3.15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，bc =3，则A =_________.【答案】75°【解析】由正弦定理sin sin b cB C=，得s i n22sin 32b C B c===，结合b c <可得45B =，则180A BC=--=.2016全国文1（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b= （ABC ）2（D ）3 【答案】D 【解析】试题分析：由余弦定理得3222452⨯⨯⨯-+=b b ，解得3=b （31-=b 舍去），选D.考点：余弦定理 SAS ：（4）已知三边SSS ，二、已知1-2个元素，可间接出2-1个元素，解三角形2017全国3．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，a =，2b =． （1）求c ； 【解析】（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈， ∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．14．B [解析] 根据三角形面积公式，得12BA ·BC ·sin B ＝12，即12×1×2×sin B ＝12，得sin B ＝22，其中C <A .若B 为锐角，则B ＝π4，所以AC ＝1＋2－2×1×2×22＝1＝AB ，易知A 为直角，此时△ABC 为直角三角形，所以B 为钝角，即B ＝3π4，所以AC ＝1＋2－2×1×2×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝ 5.三、方程法，解三角形：条件为元素之间的关系，且涉及元素超过三个或不易直接求出单个元素的。
二次函数知识点及例题详解最终
二次函数知识点及例题详解最终文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y ax bx c （a，b，c是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y ax bx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是 2．⑵a ，b ，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y ax的性质：2.y ax c 的性质：上加下减。
3.y a x h的性质：左加右减。
4.y a x h k的性质：三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式y a x h k，确定其顶点坐标h，k；⑵保持抛物线y ax的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数y a x h k与y ax bx c的比较从解析式上看，y a x h k与y ax bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即y a(x+b2a )24ac− b24a，其中h= -b2a，k4ac− b24a五、二次函数y ax bx c 的性质当a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为x2a ,顶点坐标为(−b2a,4ac− b24a).当x-b2a时，y随x的增大而减小；当x b2a时，y随x的增大而增大；当x= b2a 时，y有最小值4ac− b24a.当时，抛物线开口向下，对称轴为x-b2a , 顶点坐标为(−b2a,4ac− b24a).当x- b 2a时， y 随 x 的大而增大y;当随 x b 2a时,y 随 x 的增大而减小;当x = b2a时 , y 有最大值4ac − b 24a.六、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y ax bx c（a，b，c为常数，a0）；2.顶点式：y a(x h)k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式（交点式）：y a(x x)(x x)（a0，x，x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a⑴当a 0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵当a 0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．（同左异右b为0对称轴为y轴）3.常数项c⑴当c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当c 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶当c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax bx c 0 是二次函数y ax bx c 当函数值y 0 时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：①当b 4ac 0 时，图象与x 轴交于两点Ax1，0，B x2，0(x1x2) ，其中的x1，x 2是一元二次方程ax bx c 0a 0的两根．②当 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③当 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y 0 ；2 ' 当a 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y 0 ．2.抛物线y ax bx c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；中考题型例析1. 二次函数解析式的确定例 1 求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象经过 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); (2)图象经过 A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8; (3)图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是 6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为 y=ax 2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得{3=a −b +c3=a +b +c 6=4a +2b +c 解得 {a =1b =0c =2∴解析式为 y=x 2+2.(2)解法1:由 A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为(1,-8). 设解析式为 y=a(x-h)2+k,即 y=a(x-1)2-8.把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2)2-8, ∴a=2. 即解析式为 y=2(x-1)2-8,即 y=2x 2-4x-6.解法2:设解析式为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把 x=1,y=-8 代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2, ∴解析式为 y=2x 2-4x-6. 解法 3:∵图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a. ∵函数有最小值-8.∴4a (−3a )−(2a)24a=-8.又∵a≠0,∴a=2.∴解析式为 y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是 x=-1, 又∵图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6.由抛物线的对称性可得 A 、B 两点坐标分别为 A(-4,0),B(2,0), 设出两根式 y=a(x-x 1)·(x -x 2),将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为 y=-x 2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意 3 对 x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用 y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标,则一般设解析式为 y=a(x-x 1)(x-x 2). 2. 二次函数的图象例 2 y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点 M(a,bc)在( ).A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:由图可知: 抛物线开口向上 a>0.抛物线与y 轴负半轴相交 c 0b bc>0. 对称轴x2a在y 轴右侧 b 0∴点 M(a,bc)在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a 、b 、c 的符号.例 3 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是(). 分析:一次函数 y=ax+c,当 a>0 时,图象过一、三象限;当 a<0 时,图象过二、 四象限;c>0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c<0 时, 直线交 y 轴于负半轴; 对于二次函数y= ax 2+bx+c(a≠0)来讲:开口上下决定a 的正负左同右异(即对称轴在y 轴左侧,b 的符号与a 的符号相同;)来判别b 的符号抛物线与y 轴的正半轴或负半轴相交确定c 的正负解:可用排除法,设当 a>0 时,二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y= ax+c 应过一、三象限,故排除 C;当 a<0 时,用同样方法可排除 A;c 决定2 直线与 y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D. 3. 二次函数的性质例 4 对于反比例函数 y=- 2x与二次函数 y=-x 2+3, 请说出他们的两个相同点:①, ②; 再说出它们的两个不同点:① ,②.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③ 最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1); 不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命 题的热点.4. 二次函数的应用例 5 已知抛物线 y=x 2+(2k+1)x-k 2+k,(1)求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2)设 x 1、x 2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标,且满足x 12+x 2=-2k 2+2k+1. ①求抛物线的解析式.②设点 P (m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线的对称轴对称. 求 m+m 的值.分析:(1)欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令 y=0,证△>0 即可.(2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k 的值,可确定抛物线解析式;②由 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n 1=n 2, 由 n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2得 m 12+m 1=m 22+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0 可求得 m 1+m 2= - 1.解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k 2+k)=4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1.2 2 ∵8k 2+1>0,即△>0,∴抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2) ①由题意得 x 1+x 2=-(2k+1), x 1· x 2=-k 2+k. ∵x 1 2+x 2 2=-2k 2+2k+1,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=- 2k 2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k 2+k)=-2k 2+k+1, 4k 2+4k+1+2k 2-2k= - 2k 2+2k+1. ∴8k 2=0, ∴k=0,∴抛物线的解析式是 y=x 2+x.②∵点 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称, ∴n 1=n 2.又 n 1=m 12+m 1,n2=m 2+m 2. ∴m 12+m 1=m 2+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0. ∵P 、Q 是抛物上不同的点, ∴m 1≠m 2,即 m 1-m 2≠0. ∴m 1+m 2+1=0 即 m 1+m 2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数 y x 24x 7 的顶点坐标是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2. 把抛物线 y 2x 2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）A. y 2(x 1)2B. y 2(x 1)2C. y 2x2 1D. y 2x2 13.函数y kx2 k 和y k(k 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) x4.已知二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当x1和x 3时,函数值相等;③4a b 0 ④当y 2时, x 的值只能取 0.其中正确的个数是( )个个 C. 3 个个5.已知二次函数y ax2 bx c(a 0) 的顶点坐标（-1，）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程ax2 bx c 0 的两个根分别是x1和x2（）Ａ．已知二次函数y ax2 bx c 的图象如图所示，则点(ac, bc) 在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.方程2x x2=2x的正根的个数为（）个个个. 3 个8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y x2 x 2B. y x2 x 2C. y x2 x 2 或y x2 x 2D. y x2 x 2 或y x2 x 2二、填空题9．二次函数y x2 bx 3 的对称轴是x 2 ，则b 。
函数的奇偶性与周期性知识点与经典例题
函数的奇偶性与周期性知识点与经典例题函数的奇偶性与周期性知识点和经典试题本节知识点详解：1.函数的奇偶性奇偶性定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个偶函数x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数。
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个奇函数x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数。
2.函数的周期性1) 周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。
2) 最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
重要结论：1.函数奇偶性的四个重要结论1) 如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.2) 如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)。
3) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性。
4) 奇函数的图像在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反。
5) 运算性质：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“XXX”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇。
2.函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：1) 若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；2) 若f(x＋a)＝f(x)，则T＝2a；3) 若f(x＋a)＝－1/f(x)，则T＝2a.(a>0)3.函数对称性的三个常用结论1) 若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；2) 若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；3) 若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称。
函数的奇偶性与周期性知识点与经典例题
函数的奇偶性与周期性知识点和经典试题本节知识点详解：1．函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．重要结论：1.函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)奇函数的图像在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反。
(5)运算性质①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．2．函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a.(a>0)3．函数对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y ＝f(x)关于点(b,0)中心对称．经典选题一、判断题：判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(5)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、选择题：1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是()A．－13 B.13 C.12D．－12答案：B2．下列函数为奇函数的是()A．y＝2x－12x B．y＝x3sin xC．y＝2cos x＋1 D．y＝x2＋2x答案：A3．下列函数为奇函数的是()A．y＝x B．y＝|sin x|C．y＝cos x D．y＝e x－e－x答案：D4．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝－x 3C ．y ＝－ln|x |D ．y ＝2x答案：C5．(高考全国Ⅰ卷)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案：C6.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )，当0＜x ＜12时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝( )A ．－ 2B ．－22C ．－1 D.22 答案：A7． 已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54 C.54 D ．3 答案：A8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案：C9．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，且在(0,1)上f (x )＝3x ，则f (log 354)＝( )A.32B.23 C ．－32 D ．－23 答案：C10．已知f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝－x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝( )A ．－94B ．－14 C.14 D.94 答案：D11． (理科)(2015·高考新课标卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 答案：A12．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 答案：A13．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案：B14．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)<f (11) 答案：D三、填空题1． (2017·高考全国Ⅱ卷)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝ ________ . 答案：122．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是 ________ .答案：(－1,0)∪(1，＋∞)3． (2015·高考全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝ ________ .答案：14．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝ ________ .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <05．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是 __________ .答案： {a |a ≥2或a ≤－2}。
九下数学-二次函数(超经典例题讲解,习题含答案)
3．若正比例函数y＝（1－2m）x的图像经过点A（ ， ）和点B（ ， ），当 ＜ 时 ＞ ，则m的取值范围是（）
（A）m＜0（B）m＞0（C）m＜ （D）m＞
4．函数y= kx+ 1与函数 在同一坐标系中的大致图象是（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数 与一次函数y＝ax＋c的大致图像，有且只有一个是正确的，正确的是（）
（A） ， ，
（B） ， ，
（C） ， ，
（D） ， ，
11．张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系（）
12．二次函数y=x2-2x+2有（）
A．最大值是1 B．最大值是2 C．最小值是1 D．最小值是2
（A）（B）（C）（D）
6．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A．（1，1）B．（1，－1）C．（－1，1）D．（－1，－1）
7．函数y=ax+b与y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则下列选项中正确的是（ ）
A．ab>0，c>0 B．ab<0，c>0
C．ab>0，c<0 D．ab<0，c<0
8．已知a，b，c均为正数，且k= ，在下列四个点中，正比例函数
三、解答题：
（1） （2）
解：（1）如图，建立直角坐标系，设二次函数解析式为y＝ax2＋c
∵D（－0.4，0.7），B（0.8，2.2），∴
∴ ∴绳子最低点到地面的距离为0.2米．
（2）分别作EG⊥AB于G，FH⊥AB于H，
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第十八章函数一次函数（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y 是 x 的函数。
*判断 Y 是否为 X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如ykxb（k，b是常数，且k 0）的函数，叫做一次函数，其中 x 是自变量。
函数奇偶性知识点与经典题型归纳
函数奇偶性知识梳理1. 奇函数、偶函数的定义（1）奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数.（2）偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数.（3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性.（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数.注意：（1）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =．（2）若()0f x =且()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 既是奇函数又是偶函数．2．奇(偶)函数的基本性质(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．3. 判断函数奇偶性的方法（1）图像法（2）定义法○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○3 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．例题精讲【例1】若函数2()f x ax bx =+是偶函数，求b 的值.解：∵函数 f (x )＝ax 2＋bx 是偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴ax 2＋bx= ax 2-bx.∴2bx=0. ∴b ＝0.【例3】已知函数21()f x x=在y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象.题型一 判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性.（1）2()||(1)f x x x =+；（2）1 ()f xx=；（3）()|1||1|f x x x=+--；（4）()f x=（5）()f x=（6）22,0 (),0x x xf xx x x⎧+<⎪=⎨->⎪⎩解：（1）2()||(1)f x x x=+的定义域为R，关于原点对称．∵22()||[()1]||(1)()f x x x x x f x-=--+=+=∴()()f x f x-=，即()f x是偶函数．（2）1()f xx=的定义域为{|0}x x>由于定义域关于原点不对称故()f x既不是奇函数也不是偶函数．（3）()|1||1|f x x x=+--的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．（4）()f x={2}，由于定义域关于原点不对称，故()f x既不是奇函数也不是偶函数．（5）()f x=的定义域为{1，－1}，由(1)0f=且(1)0f-=，所以()0f x=所以()f x图象既关于原点对称，又关于y 轴对称故()f x既是奇函数又是偶函数．（6）显然定义域关于原点对称．当x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)；当x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)．即22(),0 ()(),0x x xf xx x x⎧-+<⎪-=⎨-->⎪⎩即()()f x f x-=-∴()f x为奇函数．题型二利用函数的奇偶性求函数值【例2】若f(x)是定义在R 上的奇函数，f(3)＝2，求f(－3)和f(0)的值.解：∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.【例5】已知 f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且 f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，求g (1). 解：由 f (x )是奇函数，g (x )是偶函数得()()f x f x -=-，()()g x g x -=所以 －f (1)＋g (1)＝2 ①f (1)＋g (1)＝4 ②由①②消掉 f (1)，得 g (1)＝3.题型三 利用函数的奇偶性求函数解析式【例6】已知函数()f x 是定义在 R 上的偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝x 3－x 2，当 x>0 时，求f(x)的解析式.解：当0x >时，有0x -<所以3232()()()f x x x x x -=---=--又因为()f x 在 R 上为偶函数所以32()()f x f x x x =-=--所以当0x >时，32()f x x x =--.【例7】若定义在 R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()x f x g x e +=，求()g x .解：因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-因为()()x f x g x e += ①所以()()x f x g x e --+-=所以()()x f x g x e -+-= ②由①②式消去()f x ，得()2x xe e g x --=.课堂练习仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 函数()11f x x x =-- ）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数2.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=（ ） A.2 B.1 C.0 D.-2 3. f (x )为偶函数，且当 x ≥0 时，f (x )≥2，则当 x ≤0时，有（ ）A ．f (x )≤2B ．f (x )≥2C ．f (x )≤－2 D.f (x )∈R4. 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则（ ）A.f （0）＜f （－1）＜f （2）B.f （－1）＜f （0）＜f （2）C.f （－1）＜f （2）＜f （0）D.f （2）＜f （－1）＜f （0）5.已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数 6. 定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，又f （－3）=0，则不等式xf （x ）＜0的解集为（ ）A.（－3，0）∪（0，3）B.（－∞，－3）∪（3，+∞）C.（－3，0）∪（3，+∞）D.（－∞，－3）∪（0，3） 7. 若f(x)在[－5,5]上是奇函数，且f(3)<f(1)，则下列各式中一定成立的是( )A ．f(－1)<f(－3)B ．f(0)>f(1)C ．f(2)>f(3)D ．f(－3)<f(5)8. 设f(x)在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f(x)为偶函数，则f(x)在[1,2]上( )A ．为减函数，最大值为3B ．为减函数，最小值为－3C ．为增函数，最大值为－3D ．为增函数，最小值为39.下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x^3B ．y ＝－x^2＋1C ．y ＝|x|＋1D ．y ＝2－|x| 10.若函数f(x)＝(x ＋1)(x ＋a)为偶函数，则a ＝( ) A ．1B ．－1C ．0D ．不存在11.偶函数y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，则方程f (x )＝0的所有根之和为________．12.如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.13. 已知函数()(0)p f x x m p x =++≠是奇函数，求m 的值.14. 已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式．15.定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．16.函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，求函数f (x )的解析式17.判断函数()(1f x x =+.。
函数奇偶性知识点和经典题型归纳
函数奇偶性例题精讲【例1】若函数2()f x ax bx =+是偶函数，求b 的值.解：∵函数 f (x )＝ax 2＋bx 是偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴ax 2＋bx= ax 2-bx.∴2bx=0. ∴b ＝0.【例3】已知函数21()f x x=在y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象.题型一 判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性.（1）2()||(1)f x x x =+；（2）1()f x x x=； （3）()|1||1|f x x x =+--；（4）()22f x x x =--（5）22()11f x x x =--（6）22,0(),0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩ 解：（1）2()||(1)f x x x =+的定义域为 R ，关于原点对称．∵22()||[()1]||(1)()f x x x x x f x -=--+=+=∴()()f x f x -=，即 ()f x 是偶函数．（2）1()f x x x=的定义域为{|0}x x > 由于定义域关于原点不对称故()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（3）()|1||1|f x x x =+--的定义域为 R ，关于原点对称．∵f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f(x)，∴f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数．（4）()22f x x x =--{2}，由于定义域关于原点不对称，故()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（5）22()11f x x x =--的定义域为{1，－1}，由(1)0f =且(1)0f -=，所以()0f x =所以()f x 图象既关于原点对称，又关于 y 轴对称故()f x 既是奇函数又是偶函数．（6）显然定义域关于原点对称．当 x >0 时，－x <0，f (－x )＝x 2－x ＝－(x －x 2)；当 x <0 时，－x >0，f (－x )＝－x －x 2＝－(x 2＋x )．即22(),0()(),0x x x f x x x x ⎧-+<⎪-=⎨-->⎪⎩即()()f x f x -=-∴()f x 为奇函数．题型二 利用函数的奇偶性求函数值【例2】若 f (x )是定义在 R 上的奇函数，f (3)＝2，求 f (－3)和f (0)的值.解：∵f (x )是定义在 R 上的奇函数，∴f (－3)＝－f (3)＝－2，f (0)＝0.【例5】已知 f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且 f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，求g (1). 解：由 f (x )是奇函数，g (x )是偶函数得()()f x f x -=-，()()g x g x -=所以 －f (1)＋g (1)＝2 ①f (1)＋g (1)＝4 ②由①②消掉 f (1)，得 g (1)＝3.题型三 利用函数的奇偶性求函数解析式【例6】已知函数()f x 是定义在 R 上的偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝x 3－x 2，当 x>0 时，求f(x)的解析式.解：当0x >时，有0x -<所以3232()()()f x x x x x -=---=--又因为()f x 在 R 上为偶函数所以32()()f x f x x x =-=--所以当0x >时，32()f x x x =--.【例7】若定义在 R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()x f x g x e +=，求()g x . 解：因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-因为()()x f x g x e += ①所以()()x f x g x e --+-=所以()()x f x g x e -+-= ②由①②式消去()f x ，得()2x xe e g x --=.随堂检测仔细读题，一定要选择最佳答案哟！单调性及奇函数偶函数阶段检测卷 1. 函数()11f x x x =-- ） A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 2.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=（ ） A.2 B.1 C.0 D.-2 3. f (x )为偶函数，且当 x ≥0 时，f (x )≥2，则当 x ≤0时，有（ ）A ．f (x )≤2B ．f (x )≥2C ．f (x )≤－2 D.f (x )∈R4. 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则（ ）A.f （0）＜f （－1）＜f （2）B.f （－1）＜f （0）＜f （2）C.f （－1）＜f （2）＜f （0）D.f （2）＜f （－1）＜f （0）5.已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数 6. 定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，又f （－3）=0，则不等式xf （x ）＜0的解集为（ ）A.（－3，0）∪（0，3）B.（－∞，－3）∪（3，+∞）C.（－3，0）∪（3，+∞）D.（－∞，－3）∪（0，3） 7. 若f(x)在[－5,5]上是奇函数，且f(3)<f(1)，则下列各式中一定成立的是( )A ．f(－1)<f(－3)B ．f(0)>f(1)C ．f(2)>f(3)D ．f(－3)<f(5)8. 设f(x)在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f(x)为偶函数，则f(x)在[1,2]上( )A ．为减函数，最大值为3B ．为减函数，最小值为－3C ．为增函数，最大值为－3D ．为增函数，最小值为39.下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x^3B ．y ＝－x^2＋1C ．y ＝|x|＋1D ．y ＝2－|x| 10.若函数f(x)＝(x ＋1)(x ＋a)为偶函数，则a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．不存在11.偶函数y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，则方程f (x )＝0的所有根之和为________． 12.如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.13. 已知函数()(0)p f x x m p x=++≠是奇函数，求m 的值. 14. 已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式． 15.定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．16.函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，求函数f (x )的解析式 xyO – 3 2 – 117.判断函数()(1f x x =+.。
高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案
函数与方程【知识梳理】1、函数零点的定义（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。
函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。
②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。
【③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数)(x f y =在区间(),a b 内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。
（2）函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法① 代数法：函数)(x f y =的零点⇔0)(=x f 的根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
（3）零点个数确定0∆>⇔)(x f y =有2个零点⇔0)(=x f 有两个不等实根； {0∆=⇔)(x f y =有1个零点⇔0)(=x f 有两个相等实根；0∆<⇔)(x f y =无零点⇔0)(=x f 无实根；对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数，要结合图像进行确定.1、 二分法（1）二分法的定义:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; （2）用二分法求方程的近似解的步骤:① 确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ⋅<,给定精确度ε;②求区间(,)a b 的中点c ; ③计算()f c ;…(ⅰ)若()0f c =,则c 就是函数的零点;(ⅱ) 若()()0f a f c ⋅<,则令b c =(此时零点0(,)x a c ∈); (ⅲ) 若()()0f c f b ⋅<,则令a c =(此时零点0(,)x c b ∈);④判断是否达到精确度ε,即a b ε-<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②至④步.【经典例题】1．函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）A 、0B 、1C 、2D 、3】2．函数 f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 ( )A 、(－2，－1)B 、(－1,0)C 、(0,1)D 、(1,2)3．若函数=)(x f x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .4．设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x )，f (x )=f (2-x )，且当[0,1]x ∈时，f (x )=x 3.又函数g (x )= |x cos ()x π|，则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22-上的零点个数为 （ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 5．函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 （ ）A 、4B 、5C 、6D 、76．函数()cos f x x x =-在[0,)+∞内 （ ）)A 、没有零点B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点7．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ( )A 、(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，32B 、(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，－34C 、⎝⎛⎭⎫－1，14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞D 、⎝⎛⎭⎫－1，－34∪⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 8．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .9．求下列函数的零点：（1）32()22f x x x x =--+； （2）4()f x x x=-.>10．判断函数y ＝x 3－x －1在区间[1,]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度．/【课堂练习】1、在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为 （ ）A 、1(,0)4-B 、1(0,)4C 、11(,)42D 、13(,)242、若0x 是方程lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 （ ） A 、(0,1) B 、(1,1.25) C 、(1.25,1.75) D 、(1.75,2)3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )?4、函数f ()x =2x+3x 的零点所在的一个区间是 （ ）A ．（-2,-1）B 、（-1，0）C 、（0，1）D 、（1，2）5、设函数f ()x =4sin （2x+1）-x ，则在下列区间中函数f ()x 不存在零点的是 （ ） A 、[-4,-2] B 、[-2,0] C 、[0,2] D 、[2,4]6、函数()x f =x -cos x 在[0，∞+﹚内 （ ）A 、没有零点B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点 7、若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过，则()f x 可以是（ ）A 、()41f x x =-B 、2()(1)f x x =-C 、()1xf x e =- D 、1()ln()2f x x =- #8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )A 、3()8f x x =-B 、()ln 3f x x =+C 、2()2f x x =++D 、2()41f x x x =-++9、函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间 （ ）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81B 、⎪⎭⎫⎝⎛21,41C 、⎪⎭⎫⎝⎛1,21D 、(1,2)10、01lg =-xx 有解的区域是 （ ） A 、(0,1] B 、(1,10]C 、(10,100]D 、(100,)+∞11、在下列区间中，函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为 （ ）A 、1(,0)4-B 、 1(0,)4C 、11(,)42D 、13(,)24!12、函数2()log f x x x π=+的零点所在区间为（ ）A 、1[0,]8B 、11[,]84C 、11[,]42D 、1[,1]213、设()833-+=x x f x,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ）A 、(1,1.25)B 、(1.25,1.5)C 、(1.5,2)D 、不能确定 14、设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是（ ） A 、[]4,2-- B 、 []2,0- C 、[]0,2 D 、[]2,415、函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩， 零点个数为（ ）A 、3 B 、2 C 、1 D 、016、若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到）为 （ ）A 、B 、1.3C 、D 、 ^17、方程223xx -+=的实数解的个数为 .18、已知函数22()(1)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围。
最全函数概念及基本性质知识点总结及经典例题
函数及基本性质一、函数的概念（1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．（2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则．注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑪3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑫111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑬x x f =)(，2)(x x g =；⑭()f x =()F x =⑮21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A ．⑪、⑫B ．⑫、⑬ C ．⑭D ．⑬、⑮ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()635-=x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ，131><x x 或 ④对数函数的真数大于零0,log )(>=x x x f a ，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。
如：()212()log 25f x x x =-+⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．如：2)32()(-+=x x f⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．如：)2(log 22x y --=⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．如：()[]()x f x f 28,2，的定义域是的定义域为822≤≤x⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．例：求函数()())1lg(lg x k x x f -+-=的定义域。
二次函数经典总复习知识总结附带练习
第二十二章:二次函数第一节:二次函数的概念知识点:1、我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion)称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项，2、二次函数系数a，b，c及Δ的几何意义①a的符号决定抛物线的开口方向、大小；形状；最大值或最小值。
a>⇔开口向上⇔有最小值(最低点的纵坐标)。
a<⇔开口向下⇔最大值(最高点的纵坐标)。
a越大，开口越小；a越小，开口越大。
（描点法可以证明）、决定抛物线对称轴②a b、同号⇔对称轴在y轴的左侧b=⇔对称轴是y轴；a b、异号⇔对称轴在y轴的右侧a b③c的符号决定抛物线与y轴交点的位置。
c>⇔抛物线与y轴交于正半轴c=⇔抛物线过原点；0c<⇔抛物线与轴y交于负半轴④Δ的符号决定抛物线与x轴的交点个数。
240-=⇔抛物线与x轴只有一个交b acb ac->⇔抛物线与x轴有两个交点；240点240-<⇔抛物线与x轴没有交点b ac⑤抛物线的特殊位置与系数的关系.顶点在x轴上⇔△＝0；顶点在y轴上⇔b＝0. ；顶点在原点⇔b＝c＝0. 抛物线经过原点⇔c＝0.例题：1、 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2) 21xy -= (3) 122--=x x y （4）)1(x x y -=（5）)1)(1()1(2-+--=x x x y2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）12+=x y （2）12732-+=x x y （3）)1(2x x y -=3、若函数mmx m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 。
用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求： (1)写出y 关于x 的函数关系式. (2)当x=3时,矩形的面积为多少4⑴a+b+c ﹤0 ⑵a-b+c ﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个5、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则：a 0;b 0;c 0;ac b 42- 0。
二次函数知识点及例题详解最终
二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地,形如y ax bx c a ,b,c是常数, a 0 的函数,叫做二次函数;这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数a 0 ,而b ,c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y ax bx c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式, x 的最高次数是2．⑵ a ,b ,c 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y ax的性质：a 的绝对值越大,抛物线的开口越小;2.y ax c 的性质：上加下减;3.y a x h的性质：左加右减;4.y a x h k的性质：三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式y a x h k,确定其顶点坐标h,k；⑵ 保持抛物线y ax的形状不变,将其顶点平移到h ,k 处,具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”．概括成八个字“左加右减,上加下减”．四、二次函数y a x h k与y ax bx c的比较从解析式上看,y a x h k与y ax bx c是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即y a(x+2a )24ac− b24a,其中h= -b2a,k4ac− b24a五、二次函数y ax bx c 的性质当a 0 时,抛物线开口向上,对称轴为x -b2a (−b2a,4ac− b24a).当x-b2a时,y随x的增大而减小；当x b2a时,y随x的增大而增大；当x= b2a 时,y有最小值4ac− b24a.当时,抛物线开口向下,对称轴为x-b2a , 顶点坐标为(−b2a,4ac− b24a).当x-b2a 时, y 随x 的大而增大y;当随x b2a时,y随 x 的增大而减小;当x=b2a时 , y有最大值4ac− b24a.六、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y ax bx c a,b,c为常数,a0；2.顶点式：y ax h k a,h,k为常数,a0；3.两根式交点式：y ax xx x a0,x,x是抛物线与x轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即b 4ac 0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a⑴ 当a 0 时,抛物线开口向上, a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大；⑵ 当a 0 时,抛物线开口向下, a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大．2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴．同左异右b为0对称轴为y轴3.常数项c⑴ 当c 0 时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c 0 时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c 0 时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来, c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系二次函数与x 轴交点情况：一元二次方程ax bx c 0 是二次函数y ax bx c 当函数值y 0 时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当b 4ac 0 时,图象与x 轴交于两点Ax1,0,B x2,0x1x2,其中的x1,x 2是一元二次方程ax bx c 0a 0的两根．② 当 0 时,图象与x 轴只有一个交点；③ 当 0 时,图象与x 轴没有交点.1' 当a 0 时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有y 0 ；2 ' 当a 0 时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有y 0 ．2.抛物线y ax bx c 的图象与y 轴一定相交,交点坐标为0 ,c；中考题型例析1. 二次函数解析式的确定例 1 求满足下列条件的二次函数的解析式 1图象经过 A-1,3、B1,3、C2,6;2图象经过 A-1,0、B3,0,函数有最小值-8;3图象顶点坐标是-1,9,与 x 轴两交点间的距离是 6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解. 1解:设解析式为 y=ax 2+bx+c,把 A-1,3、B1,3、C2,6各点代入上式得{3=a −b +c3=a +b +c 6=4a +2b +c 解得 {a =1b =0c =2∴解析式为 y=x 2+2.2解法1:由 A-1,0、B3,0得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为1,-8. 设解析式为 y=ax-h 2+k,即 y=ax-12-8.把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a-22-8, ∴a=2. 即解析式为 y=2x-12-8,即 y=2x 2-4x-6.解法2:设解析式为 y=ax+1x-3,确定顶点为1,-8同上, 把 x=1,y=-8 代入上式得-8=a1+11-3.解得 a=2, ∴解析式为 y=2x 2-4x-6. 解法 3:∵图象过 A-1,0,B3,0两点,可设解析式为:y=ax+1x-3=ax 2-2ax-3a. ∵函数有最小值-8.∴4a (−3a )−(2a)24a=-8.又∵a≠0,∴a=2.∴解析式为 y=2x+1x-3=2x 2-4x-6.3解:由顶点坐标-1,9可知抛物线对称轴方程是 x=-1, 又∵图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6. 由抛物线的对称性可得 A 、B 两点坐标分别为 A-4,0,B2,0, 设出两根式 y=ax-x 1·x -x 2,将 A-4,0,B2,0代入上式求得函数解析式为 y=-x 2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点或任意 3 对 x,y 的值可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用 y=ax-h 2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标,则一般设解析式为 y=ax-x 1x-x 2. 2. 二次函数的图象例 2 y=ax 2+bx+ca≠0的图象如图所示,则点 Ma,bc 在 . A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:由图可知: 抛物线开口向上 a>0.抛物线与y 轴负半轴相交 c 0b bc>0. 对称轴x2a在y 轴右侧 b 0∴点 Ma,bc 在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a 、b 、c 的符号.例 3 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+ca≠0,它们在同一坐标系中的大致图象是 .分析:一次函数 y=ax+c,当 a>0 时,图象过一、三象限;当 a<0 时,图象过二、 四象限;c>0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c<0 时, 直线交 y 轴于负半轴; 对于二次函数y= ax 2+bx+ca≠0来讲:开口上下决定a 的正负左同右异即对称轴在y 轴左侧,b 的符号与a 的符号相同;来判别b 的符号 抛物线与y 轴的正半轴或负半轴相交确定2c 的正负解:可用排除法,设当 a>0 时,二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y= ax+c 应过一、三象限,故排除 C;当 a<0 时,用同样方法可排除 A;c 决定直线与 y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D. 3. 二次函数的性质例 4 对于反比例函数 y=- 2x与二次函数 y=-x 2+3, 请说出他们的两个相同点:①, ②; 再说出它们的两个不同点:① ,②.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③ 最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过-1,2或都经过2,-1;不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命 题的热点.4. 二次函数的应用例 5 已知抛物线 y=x 2+2k+1x-k 2+k,1求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.2设 x 1、x 2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标,且满足 x 12+x 2=-2k 2+2k+1.①求抛物线的解析式.②设点 P m 1,n 1、Qm 2,n 2是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线的对称轴对称. 求 m+m 的值.分析:1欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令 y=0,证△>0 即可.2①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k 的值,可确定抛物线解析式;2 2 ②由 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n 1=n 2, 由 n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2得 m 12+m 1=m 22+m 2,即m 1-m 2m 1+m 2+1=0 可求得 m 1+m 2= - 1.解:1证明:△=2k+12-4-k 2+k=4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1. ∵8k 2+1>0,即△>0,∴抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.2 ①由题意得 x 1+x 2=-2k+1, x 1· x 2=-k 2+k. ∵x 1 2+x 2 2=-2k 2+2k+1,∴x 1+x 22-2x 1x 2=- 2k 2+2k+1, 即2k+12-2-k 2+k=-2k 2+k+1, 4k 2+4k+1+2k 2-2k= - 2k 2+2k+1. ∴8k 2=0, ∴k=0,∴抛物线的解析式是 y=x 2+x.②∵点 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称, ∴n 1=n 2.又 n 1=m 12+m 1,n2=m 2+m 2. ∴m 12+m 1=m 2+m 2,即m 1-m 2m 1+m 2+1=0. ∵P 、Q 是抛物上不同的点, ∴m 1≠m 2,即 m 1-m 2≠0. ∴m 1+m 2+1=0 即 m 1+m 2=-1.点评:本题考查二次函数的图象即抛物线与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数y x2 4x 7 的顶点坐标是A.2,－11B.－2,7C.2,11D. 2,－32.把抛物线y 2x2 向上平移1 个单位,得到的抛物线是A. y 2x 12B. y 2x 12C. y 2x2 1D. y 2x2 13.函数y kx2 k 和y kk 0 在同一直角坐标系中图象可能是图中的x4.已知二次函数y ax2 bx ca 0 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;② 当x 1和x 3时,函数值相等;③ 4a b 0 ④当y 2时, x 的值只能取 0.其中正确的个数是个个 C. 3 个个5.已知二次函数y ax2 bx ca 0 的顶点坐标-1,及部分图象如图,由图象可知关于x 的一元二次方程ax2 bx c 0 的两个根分别是x1和x2Ａ．已知二次函数y ax2 bx c 的图象如图所示,则点ac, bc在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.方程2x x2=2x的正根的个数为个个个. 3 个8.已知抛物线过点 A2,0,B-1,0,与y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y x2 x 2B. y x2 x 2C. y x2 x 2 或y x2 x 2D. y x2 x 2 或y x2 x 2二、填空题9．二次函数y x2 bx 3 的对称轴是x 2 ,则b ;10．已知抛物线y=-2x+32+5,如果y 随x 的增大而减小,那么x 的取值范围是11．一个函数具有下列性质：①图象过点－1,2,②当x＜0时,函数值y随自变量x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是只写一个即可;12．抛物线y 2x 22 6 的顶点为C,已知直线y kx 3过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为;13. 二次函数y 2x2 4x 1的图象是由y 2x2 bx c 的图象向左平移1 个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= ;14．如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是 16 米,跨度是 40 米,在线段 AB 上离中心 M 处 5 米的地方,桥的高度是π取.三、解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是x 3 0 ,图象经过1,-6,且与y 轴的交点为0, 52.1求这个二次函数的解析式;2当 x 为何值时,这个函数的函数值为 03当 x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随 x 的增大而增大16.某种爆竹点燃后,其上升高度 h米和时间 t秒符合关系式h=v0t- 12gt20<t≤2,其中重力加速度 g 以10 米/秒2计算．这种爆竹点燃后以 v=20 米/秒的初速度上升,1这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地 15 米2在爆竹点燃后的秒至秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由.17.如图,抛物线y x2 bx c 经过直线y x 3 与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与x 轴的另一个交点为 C,抛物线顶点为 D.1求此抛物线的解析式；2点 P 为抛物线上的一个动点,求使SAPC ：SACD5：4 的点 P的坐标;18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理．当每吨售价为260元时,月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降 10元时,月销售量就会增加 7. 5 吨．综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元．设每吨材料售价为x元,该经销店的月利润为y元．1当每吨售价是 240 元时,计算此时的月销售量；2求出y与x的函数关系式不要求写出x的取值范围；3该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元4小静说：“当月利润最大时,月销售额也最大．”你认为对吗请说明理由．二次函数应用题训练1、心理学家发现,学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x 分之间满足函数关系：y = + + 43 0≤x ≤30. 1当 x 在什么范围内时,学生的接受能力逐步增强当 x 在什么范围内时,学生的接受能力逐步减弱 2第 10 分钟时,学生的接受能力是多少 3第几分钟时,学生的接受能力最强2、如图,已知△ABC 是一等腰三角形铁板余料,其中 AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC 上截出一矩形零件 DEFG,使 EF 在 BC 上,点 D 、G 分别在边 AB 、AC 上. 问矩形DEFG 的最大面积是多少3、如图,△ABC 中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点 P 从点 A 开始,沿 AB 边向点 B 以每秒1cm 的速度移动;点Q 从点B 开始,沿着BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动.如果P,Q 同时出发,问经过几秒钟△PBQ 的面积最大最大面积是多少 CQ A P B4、如图,一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行 的水平距离为 米时,达到最大高度 米,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为 米.1建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的表达式;2该运动员身高 米,在这次跳投中,球在头顶上方 米处出手,问：球出手时, 他跳离地面的高度是多少.0,0BCDEFGA4my x5、如图,要建一个长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场,设它的长度为x m.1要使鸡场面积最大,鸡场的长度应为多少mX↔2如果中间有nn 是大于1 的整数道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少m比较12的结果,你能得到什么结论6、某商场以每件20 元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m件与每件的销售价x元满足关系：m=140－2x.1写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式;2如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最合适最大销售利润为多少二次函数对应练习试题参考答案一,选择题、1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C 二、填空题、9．b 4 10．x＜-3 11．如y 2x2 4, y 2x 4 等答案不唯一12．1 13．-8 7 14．15三、解答题15．1设抛物线的解析式为y ax bx c ,由题意可得{−b2a=−3a+b+c=−6c=−52解得a12, b 3, c 52所以y12x2 3x 522 x 1或-5 2 x 316．1由已知得,1520t1210t2,解得t13, t2 1当t 3 时不合题意,舍去;所以当爆竹点燃后1秒离地15米．2由题意得,h5t220t＝5t2220,可知顶点的横坐标t2,又抛物线开口向下,所以在爆竹点燃后的秒至108 秒这段时间内,爆竹在上升．17．1直线y x 3 与坐标轴的交点A3,0,B0,-3．则{9+3b−c=0−c=−3 解得{b=−2c=3所以此抛物线解析式为y x22x3．2抛物线的顶点D1,－4,与x轴的另一个交点C－1,0.设P a, a2 2a 3 ,则12×4×|a2−2a−3|：12×4×4 5 : 4 ,化简得|a2−2a−−3 | 5 .当a2 2a 3＞0 时,a2 2a 3 5得a 4, a 2 ∴P4,5或 P－2,5当a2 2a 3＜0 时,a2 2a 3 5 即a2 2a 2 0 ,此方程无解．综上所述,满足条件的点的坐标为4,5或－2,5．18．1=60吨．2y x10045260−x10,化简得：y34x315x24000．3y 34x 2 315x 2400034x2109075．红星经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨 210 元．4我认为,小静说的不对．理由：方法一：当月利润最大时,x 为210 元,而对于月销售额W x45 260−x1034x 16019200 来说,当x 为160 元时,月销售额 W 最大．∴当 x 为210 元时,月销售额 W 不是最大．∴小静说的不对．方法二：当月利润最大时,x 为210 元,此时,月销售额为 17325 元；而当 x 为200 元时,月销售额为 18000 元．∵ 17325＜18000,∴当月利润最大时,月销售额 W 不是最大．∴小静说的不对．二次函数应用题训练参考答案1、10≤x≤13,13＜x≤30；259；313.2、解：过A 作AM⊥BC 于M,交DG 于N,则AM=√202−122=16cm.设DE=xcm, S 矩形=ycm2, 则由△ADG∽△ABC,故ANAM DGBC,即16−x16,故DG24= 3216-x.∴y=DG·DE= 3216-xx=- 32x2-16x=- 32x-82+96,从而当x=8 时,y 有最大值96.即矩形DEFG 的最大面积是96cm2.3、设第t 秒时,△PBQ 的面积为ycm2.则∵AP=tcm,∴PB=6-tcm;又 BQ=2t.∴y= 12PB ·BQ= 126-t ·2 t=6- t t= - t 2+6t= - t-32+9,当 t=3 时,y 有最大值 9.故第 3 秒钟时△PBQ 的面积最大,最大值是 9cm 2. 4、解：1设抛物线的表达式为 y =ax 2+bx +c .由图知图象过以下点：0,,,.{−b2a =0 c =3.5 3.05=1.52a +1.5b +c 得 {a =−0.2b =0c =3.5 ∴抛物线的表达式为 y=－+.2设球出手时,他跳离地面的高度为 h m,则球出手时,球的高度为h ++=h + m, ∴h+=－×－2+, ∴h=m.5、解：1依题意得鸡场面积 y =－ 13 x 2 503x .∵y =－13x 2+ 503x = 13x 2－50x =－13 x －252+6253,∴当 x =25 时,y 最大 =6253,即鸡场的长度为 25 m 时,其面积最大为6253m 2. 2如中间有几道隔墙,则隔墙长为50−x nm. ∴y =50−x n ·x =－1n x 2+ 50n x =－1n x 2－50x =－1nx －252+ 625n ,当 x =25 时,y =625n即鸡场的长度为 25 m 时,鸡场面积为625nm 2. 结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,其长都是 25 m. 6、解：1y =－2x 2+180x －2800. 2y =－2x 2+180x －2800=－2x 2－90x －2800=－2x －452+1250.当x=45 时, y=1250.最大∴每件商品售价定为45 元最合适,此销售利润最大,为1250 元.。
《一次函数》经典例题剖析(附练习及答案)
《一次函数》复习课知识点1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数.【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数. （4）当b=0，k=0时，它不是一次函数. 知识点2 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点 3一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.知识点4 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质 （1）k 的正负决定直线的倾斜方向； ①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大； ②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置； ①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上； ②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图11－18（l ）所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②如图11－18（2）所示，当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③如图11－18（3）所示，当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④如图11－18（4）所示，当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）． （5）由于|k|决定直线与x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x ＋1可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的．知识点3 正比例函数y=kx （k ≠0）的性质 （1）正比例函数y=kx 的图象必经过原点；（2）当k ＞0时，图象经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大； （3）当k ＜0时，图象经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小． 知识点4 点P （x 0，y 0）与直线y=kx+b 的图象的关系（1）如果点P （x 0，y 0）在直线y=kx+b 的图象上，那么x 0,y 0的值必满足解析式y=kx+b ； （2）如果x 0，y 0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x 0，y 0为坐标的点P （1，2）必在函数的图象上．例如：点P （1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P （1，2）在直线y=x+l 的图象上；点P ′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P ′（2，1）不在直线y=x+l 的图象上．知识点5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx （k ≠0）中只有一个待定系数k ，故只需一个条件（如一对x ，y 的值或一个点）就可求得k 的值．（2）由于一次函数y=kx+b （k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立的条件确定两个关于k ，b 的方程，求得k ，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x ，y 的值．知识点6 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k ，b 就是待定系数．知识点7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 （1）设函数表达式为y=kx+b ； （2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为y ＝kx+b （k ≠0）， 由题意可知，⎩⎨⎧+-=-+=,3,21b k b k 解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.35,34b k ∴此函数的关系式为y=3534-x ． 【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b ，其中k ，b 是未知的常量，且k ≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k ，b ）；第三步，求（把求得的k ，b 的值代回到“设”的关系式y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式）.思想方法小结 （1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结 （1）常数k ，b 对直线y=kx+b(k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点；当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交．②当k ，b 异号时，即-kb＞0时，直线与x 轴正半轴相交；当b=0时，即-kb=0时，直线经过原点；当k ，b 同号时，即-kb﹤0时，直线与x 轴负半轴相交．③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限； 当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．（2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0)当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ． （3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行； ④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合.典例剖析基本概念题本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件．例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-21x ； （2）y=-x2； （3）y=-3-5x ；（4）y=-5x 2； （5）y=6x-21（6）y=x(x-4)-x 2.例2 当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 32m+（m-4）是一次函数？基础知识应用题本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式．例3 一根弹簧长15cm ，它所挂物体的质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长0．5cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是x 的一次函数．例4 某物体从上午7时至下午4时的温度M （℃）是时间t （时）的函数：M=t 2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为 ℃．例5 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7. （1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y 的值； （3）当y=4时，求x 的值．例6 若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ﹤OB ．m ＞0C ．m ﹤21D ．m ＞M例7 已知一次函数y=kx+b 的图象如图11－22所示，求函数表达式．例8 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．综合应用题本节知识的综合应用包括：（1）与方程知识的综合应用；（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题．例9 已知y+a与x+b（a，b为是常数）成正比例．（1）y是x的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y是x的正比例函数？例10 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x分，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元．（1）写出y1，y2与x之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？例11 已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x取何值时，y≥0？（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；（5）设点P在y轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S△ABP=4，求P点的坐标．例12 已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.（1）k为何值时，它的图象经过原点？（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？（4）k为何值时，y随x的增大而减小？例13 判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．学生做一做判断三点A（3，5），B（0，-1），C（1，3）是否在同一条直线上.探索与创新题主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用．例14 老师讲完“一次函数”这节课后，让同学们讨论下列问题：（1）x从0开始逐渐增大时，y=2x+8和y=6x哪一个的函数值先达到30？这说明了什么？（2）直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何？甲生说：“y=6x的函数值先达到30，说明y=6x比y=2x+8的值增长得快．”乙生说：“直线y=-x与y=-x+6是互相平行的．”你认为这两个同学的说法正确吗？例15 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠．”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠．”已知全票价为240元．（1）设学生人数为x，甲旅行社的收费为y甲元，乙旅行社的收费为y乙元，分别表示两家旅行社的收费；（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．学生做一做某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案．甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？并说明理由．例16 一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为 .基础训练习题：1．某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b（元），另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例，当x=20时y=160O；当x=3O时，y=200O．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）动果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？2．已知一次函数y=kx+b，当x=-4时，y的值为9；当x=2时，y的值为-3．（1）求这个函数的解析式。
锐角三角函数 知识点总结+典型例题
AB= BC = 5，
sin A
4 5
，求
B
解：作BD⊥AC于点D， ∵ sin A 4
∴ BD AB sin A 5 4 4，
5
5
AD AB2 BD2 52 42 3.
，
5 A
5
C D
又∵ △ABC 为等腰三角形, BD⊥AC, ∴ AC=2AD=6，
∴S△ABC=AC×BD÷2=12.
斜边c
B ∠A的对边a
sin A=∠A斜的边对边 cos A=∠A斜的边邻边
A ∠A的邻边b C
tan A=∠∠AA的的对邻边边
锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角函数.
已知直角三角形两边求锐角三角函数的值
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10， BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.
解：由勾股定理,得
B
因此 sin A BC = 6 = 3，
AB 10 5
10
6
A
C
cos A AC 8 4 , tan A BC = 6 = 3 .
AB 10 5
AC 8 4
已知一边及一锐角三角函数值求函数值
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
求sinB的值.
sin A 5, AC=12.
13
B
解:在Rt △ABC中,
13 5
设AB=13x，BC=5x,;122=(13x)2.
C 12
解得x=1.所以AB=13，BC=5.
因此 sin B AC 12. AB 13
如图，在 △ABC中， △ABC 的面积.
正弦:
sin
A
A的对边 斜边
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点 P(x,y)在第一象限 x 0, y 0 点 P(x,y)在第二象限 x 0, y 0 点 P(x,y)在第三象限 x 0, y 0 点 P(x,y)在第四象限 x 0, y 0 2、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y)在 x 轴上 y 0 ，x 为任意实数 点 P(x,y)在 y 轴上 x 0，y 为任意实数 点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上 x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x 与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x 与 y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的 点的坐标的特征 点 P 与点 p’关于 x 轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数 点 P 与点 p’关于 y 轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数
0
x
y 随 x 的增大而增大。
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y
图像经过一、三、四象限，
b<0
0
x
y 随 x 的增大而增大。
b>0 k<0
y
图像经过一、二、四象限，
0
x
y 随 x 的增大而减小
b<0 k<0
y
图像经过二、三、四象限，
0
பைடு நூலகம்
x
y 随 x 的增大而减小。
注：当 b=0 时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。 4、正比例函数的性质
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做 常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。 2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的 等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种 表示法叫做列表法。 （3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
函数知识点总结
知识点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴 或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原 点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四 个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，” 分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 a b 时， （a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
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点 P 与点 p’关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离
点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 y （2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 x （3）点 P(x,y)到原点的距离等于 x2 y 2
知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量
x 式也可以写成 y kx1 或 xy=k 的形式。自变量 x 的取值范围是 x 0 的一切实数， 函数的取值范围也是一切非零实数。 2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三 象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x 0，函 数 y 0，所以，它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接 近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3、反比例函数的性质
时，y 叫做 x 的正比例函数。 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数 y kx b 的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数 y kx的图 像是经过原点（0，0）的直线。
k的 b的 符号 符号
函数图像
图像特征
y
k>0 b>0
图像经过一、二、三象限，
一般地，正比例函数 y kx有下列性质： （1）当 k>0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大，图像从左之 右上升； （2）当 k<0 时，图像经过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小，图像从左之
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右下降。 5、一次函数的性质
一般地，一次函数 y kx b 有下列性质： （1）当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大 （2）当 k<0 时，y 随 x 的增大而减小 （3）当 b>0 时，直线与 y 轴交点在 y 轴正半轴上 （4）当 b<0 时，直线与 y 轴交点在 y 轴负半轴上 6、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 y kx（k 0）中的常 数 k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式 y kx b （k 0）中的常数 k 和 b。解这类问题的一般方法是待定系数法 知识点五、反比例函数 1、反比例函数的概念 一般地，函数 y k （k 是常数，k 0）叫做反比例函数。反比例函数的解析
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4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起
来。
知识点四、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果 y kx b （k，b 是常数，k 0），那么 y 叫做 x 的一次函数。 特别地，当一次函数 y kx b 中的 b 为 0 时， y kx（k 为常数，k 0）。这