(合工大版)超越经典考研数学模拟试卷(15套)

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学一模拟试卷（I ）

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.

（1）设数列{},{}n n a b 对任意的正整数n 满足1+≤≤n n n a b a ，则（ ）.

（A ）数列{},{}n n a b 均收敛，且lim lim →∞

→∞

=n n n n a b

（B ）数列{},{}n n a b 均发散，且lim lim →∞

→∞

==+∞n n n n a b

（C ）数列{},{}n n a b 具有相同的敛散性 （D ）数列{},{}n n a b 具有不同的敛散性

（2）设()f x 满足'(0)0f =，32

'()[()]f x f x x +=，则有（ ）.

（A ）(0)f 是()f x 的极大值 （B ）(0)f 是()f x 的极小值 （C ）(0,(0))f 是()=y f x 的拐点

（D ）(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 也不是()=y f x 的拐点

（3）设函数(,)f x y 在点000()P x ,y 处的两个偏导数00'()x f x ,y 、00'()y f x ,y 都存在，则

（A ）(,)f x y 在点0P 处必连续 （B ）(,)f x y 在点0P 处必可微 （C ）0

00lim (,)lim (,)x x y y f x y =f x y →→ （D ）00

lim (,)x x y y f x y →→存在

（4）下列命题中正确的是（ ）.

（A ）设正项级数

n =1

n a ∞

∑发散，则1n a n

≥

（B ）设

21

2n =1

(+)n-n a

a ∞

∑收敛，则n =1n a ∞

∑收敛

（C ）设

n =1

n n a b ∞

∑

收敛，则22=1

=1

,n

n n n a b ∞

∞

∑∑均收敛

（D ）设

22=1

=1

,n n

n n a b

∞∞

∑∑中至少有一个发散，则

n =1

(+)n

n a

b ∞

∑发散

（5）设,A B 为n 阶方阵，且()()r

（A ）=0B （B ）=0A （C ）≠0B （D ）≠0A （6）若=0Ax 的解都是=0B x 的解，则下列结论中正确的是（ ）.

（A ）,A B 的行向量组等价 （B ）,A B 的列向量组等价

（C ）A 的行向量组可由B 的行向量组线性表示 （D ）B 的行向量组可由A 的行向量组线性表示

（7）设随机变量0

11

34

4X ?? ? ???～，011122Y ??

? ?

??

～，且1Cov(,)=8

X Y ，则{}11===P Y X （A ）

23 （B ）13 （C ）14

（D ）18

（8）设总体2(,)X N μσ～，其中,μσ已知，12,,,n X X X ???是来自总体X 的样本，样本

方差2

=1

1()1n

i i S X X n =--∑2，则2()D S =（ ）. （A ）2

1n σ- （B ）221n σ- （C ）41n σ- （D ）4

21

n σ-

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.

（9）111lim(

)122→∞++???+=++n n n n ______________.

（10

）2321

(cos 22

x x -+=?_____________.

（11）函数2

2

2

()2()()=---+-u x y y z z x 在点(1,2,2)处方向导数的最大值是_______. （12）微分方程1

'''0x y y xe =x

--的通解为___________________. （13）设,A B 均为三阶方阵，且3=A ，4=B ，则

1

*(2)(3)

-=O A B O

_____________.

（14）设随机变量X 的概率密度函数和分布函数分别为()f x 和()F x ，当0≤x 时，

()0=F x ；当0>x 时，()()1+=f x F x ，则当0>x ，()=f x ________________.

三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）设2

3310

?=-??++=??x t t

y ty ，确定函数()=y f x ，求=0

22

t d y dx .

（16）（本题满分10分）设函数()f x 、()g x 在[,]a b 上有连续二阶导数，若()()f a g a =，

()()f b g b =，00()()f x g x >，其中0(,)x a b ∈. 证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得

''()''()f ξ

（17）（本题满分10分）设(,)f u v 有二阶连续偏导数，()u ?有二阶导数，令

2

2

[,()]z f x y xy ?=-，求2z

x y

???.

（18）（本题满分10分）设函数()f u 具有一阶连续偏导数，L 是以(1,1)A 和(3,3)B 为直

径的左上半圆周，方向从A 到B ，计算曲线积分：

11[

()][()2]L

x x

I f y dx f x dy x y y y

=--+?

.

（19）（本题满分10分）将函数222

()(1)ln(1)(1)f x x x x =++-+展开为x 的幂级数，并

求级数1

=1

(1)(+1)n n n n ∞

∑--的和.

（20）（本题满分11分）（I ）设n 维向量组12,,,,s ???αααβ线性相关，证明：β可唯一地由12,,,s ???ααα线性表示的充要条件是12,,,s ???ααα线性无关；

（II ）设4维向量组11(1,,0,0)T

b =α，

22(1,,1,0)T

b =α，33(1,,1,1)T b =α，4(1,,0,1)T b =β，且β可唯一地由123、

、ααα线性表示，求常数1234b b b b 、、、满足的条件.

（21）（本题满分11分）设三阶实对称矩阵A 的秩为2，且=AB C ，其中110011?? ?

= ? ?-??B ，

110011-??

?

= ? ???

C ，求A 的所有特征值与特征向量，并求矩阵A 及9999A .

（22）（本题满分11分）设随机变量[0,2]X

U π，sin Y X =，sin()Z X a =+，其中

[0,2]a π∈为常数，问a 取何值时，Y 与Z 不相关，此时Y 与Z 是否独立?

（23）（本题满分11分）已知一批产品的次品率为2%，现从中任意抽取n件产品进行检验. （I）若已知n件产品中有3件次品，求n的矩估计值?n；

（II）试利用中心极限定理，确定n至少要取多少时，才能使得次品数占总数比例不大于4%

Φ=）

的概率不小于97.7%.（(2)0.977