第8章 相量法
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ω单位：弧度 / 秒，或写作 (1 / 秒) 若u、i 的频率为 f (赫兹、周 / 秒) ，周期为 T(秒) ，有如下关系
2f 2 (1 T )
3、 θi / θu——初相角
三、 同频率正弦量的相位差
例:
u U m cos(t u ) ,
13
i I m cos(t i )
O
2、F2 1.2152
3、F3 5180
实部（a）：shift 虚部（b）：RCL
O
1.06 j0.56 5
利用计算器转换功能： POL（ r，θ）= tan
三、复数的四则运算： 1、复数加减运算（代数形式） 若F1= a1+jb1 F2=a2+jb2
6
F1+F2= （a1+jb1）+（a2+jb2） = （a1 + a2）+ j（b1 +b2） F1-F2= （a1+jb1） -（a2+jb2） = （a1 - a2）+ j（b1 -b2）
22
(2) 若i(t)=Imcos(ωt+θ)
m Imej θ Imθ 则电流振幅相量： I
电流I正弦波形图（略）。
电流I相量图如下：
+j θ
Im
+1
23
(3)电流有效值相量和电压有效值相量：
Im Im I Iθ θ 2 2 Um Um U Uθ θ 2 2
27
2、正弦量的微分：
若 i(t) 2Icos(ω tφ ) di(t) π 则： 2Iω cos(ω t φ ) y（t） dt 2
分别用相量表示： 若正弦量i(t)的相量为I I， di Iωπ φ jωI 则 相量Y dt 2
3、正弦量的积分：
jθ 1
9
求F1 F2
jθ 2
F1 F2 F1 e
F2 e
F1 F2 e
j ( θθ ) 1 2
F1 F2 θ θ2 1
若A A θA B B θB A A B θA θB B 求A B
例 8 1 设 F 3 j4， F 10135 1 2
求 u 与 i 的相位差 。 解： ( 120 o ) 120 o 240 o 即
120
o
u 超前 i (2 / 3) 弧度 。
16
五、正弦电压/电流的有效值 1、电流有效值（I）定义：
若周期电流 i 的周期为 T ，则其有效值 I定义为：
I
1 T
T
0
i ( t ) dt
I
29
则：
I
i（t）的微分相量=j ω
i（t）的积分相量= I /j ω 对i 的n阶导数，其导数相量= I ω）n （j 对i 的N次积分，其积分相量= I /（j ω）n
π 例 8 2已 知 i(t) 10 2cos（ 314t ） A 1 3 5π i2(t) 22 2cos（ 314t ）A 6 di1(t) 求 ： i(t) i2(t)， ， 2(t)dt （ 182页 ） i 1 dt 解 ： （ 1） 用 量 法 求 ： 相 1060O ，I 22 150O I
二、复数形式之间的转化 例 8-1-1 化代数(直角坐标)形式为极坐标形式
3
1、F=5+j5
F 5 5 7.07 1 5 0 θ tg 45 5
2 2
F 7.0745
1
O
F
4 2 32 5
-36.90
2、F=4-j3
F 5 36.9
3 0 θ tg 36.9 4
89
u i 110 (50 ) 60
电压滞后60
0
$8-3 相量法基础（179） 一、正弦稳态电路/正弦电流电路—— 线性电路中，激励是正弦量，响应也是 同频正弦量。即电路中电流i(t)、电压u （t）均按同频正弦量变化。 二、电压电流正弦量的表示
19
i(t) Im cos(ωt i ) 2 Icos(ωt i )
17
T
0
U 2 dt
同样可推得正弦电 压 u 的有效值为：
Um U 0.707U m 2
六、电流/电压有效值与最大值关系：
Im I 0.707 I m 2
Um U 0.707U m 2
18
习题：8-1，8-2
8-9
8 1 （ ）F1 7.07 135 0 1 （3）F3 44.7263.430 （5）F5 3180 0 （2）F2 5143 0 （4）F4 1090 0 （6）F6 9.6173.19 0
的有效值为：
2
正弦电流 i I m cos( t i )
I 1 T
T
0
2 I m cos2 (t i ) dt
1 2 T 1 cos2(t i ) I Im dt m 0.707 I m 0 T 2 2
2、
电压有效值（U）定义：
U 1 T
2、U U1 U 2
方法1：平行四边形法则：
U2
8
+j
U1
U
+1
- U2
+j
方法2：三角形平 移法则：
（ U U1 U 2）
U2
U1
- U2
U
+1
3、复数乘除代数形式 （174）
4、复数乘除指数形式/极坐标形式
若F1 F1 ej θ1 F2 F2 ej θ2
] Re（Ume e
jθ jωt
）
Um Umej θ Umθ - - - U(t)振幅 量 相
根据正弦量和相量的表示可以画出其波形图和相量图 （下页）
21
电压U正弦波形图和 相量图：
1、根据u（t） Umcos（ωtθ）
U(t) Um θ ωt +j
Um
θ
2、根据 量Um Umθ 相
总结： 若 i(t) Im cos(ω t i ) I I I I
m m i
2Icos(ω t i )
i
若u(t) U m cos(ωt u ) Um U U U
m u u
2Ucos(ωt u )
练习8.9
2、复数加减运算复平面上相量表示（174）
设U 1 U 1θ， 1 1、U U
1 2
7
U 2 U 2 θ 2
+j
U2
方法1：平行四边形法则：
U1
+1 +j
方法2：三角形平 移法则：
思考： U U1 U 2 U 3
U2
U1
+1
1
θ tg
b ....辐 角 a
a F cos，b F s in
2
3、 复数F 的三角函数形式：
F F cos(θ) j F sin(θ)
4、复数F的指数形式和极坐标形式：
e j cos j sin 根据欧拉公式：
可得：
F Fe
指数形式
jθ
F θ
极坐标形式
解：（1）F2 7.07 j7.07
O
10
求 F F2， F /F2 （ 176页 ） 1 1
F1 F2 (3 j4)(7.07 j7.07) 4.07 j3.07 5.1 - 37O
3 j4 5 53.1 (2)F/F2 1 O O 10135 10135 O O 0.5 188.1 0.5171.9
u(t) U m cos(ωt u ) 2Ucos(ωt u )
三、正弦电压/电流相量表示
(1)设u（t） Umcos（ωtθ）
20
u（t） Re[Umcos（ω θ） jUmsin（ωtθ）] t Re[Ume Re{Umej ω t}
） ω θ j （ t
O
4
利用计算器转换功能 将代数形式转换为极坐标形式：
模（r）：POL（ a，b）=
辐角（θ）：RCL tan
3、F= -20-j40 4、 F=-j10
F=44.7∠-116.6 F=10 ∠- 90O
例 8-1-2 化极坐标为代数（直角坐标）形式
5
1、F1 10 73
O
2.92 j9.56
例1：已知 i 1.414 cos(314 t 6) ( A) , u 311 .1sin(314 t 6) (V ) , 求相量 I 及U ，并画出相量图。 解：
24
I 1.414 2 1 ( A) , i 6 I 1 / 6 ( A) u 311 .1sin(314 t 6) 311 .1cos(314 t 3) (V ) U 311 .1 2 220 (V ) , u 3 U 220 / 3 (V )
14
u
t
t
iห้องสมุดไป่ตู้
u i 0 , u 与 i 同相
u i
u i 0 , u 超前 i
u
t
i
t
u i 0 , u 滞后 i
u i , u 与 i 反相
u i 2 , u 与 i 正交
u1 10 sin(314 t 120 o ) (V ) 例1：已知 u2 100 cos( 314 t 30o ) (V ) 求 u1 与 u2 的相位差 。
+j
I
+1
U
I1 100 / 3 ( A) 例2：已知 I 2 10 ( A) , f 1000 Hz , 求 i1 及 i2 。
25
解：
2f 6280
i1 2 100 cos(6280 t 3) ( A)
i2
2 10 cos(6280 t ) ( A)
O
$8-2 正弦量（176）
一、定义：电路中按正弦规律变化的电流和电压称 为正弦量。（本书以cos描述正弦量）即：
11
i
i I m cos(t i )
+
u
-
u U m cos(t u )
二、正弦电压/电流三要素：
12
1、Im/Um ——振幅
2、ω ——角频率（ 是u/i相角随时间变化的速度）
若 i(t) 2Icos(ω tφ )
28
2I 则 i(t)dt cos(ω tφ - 90o ) y（t） ω
相量表示： 若正弦量i(t)的相量为I I， I I I 则 idt的相量Y 90o ω jω jω
结论：
若i(t)相量为
第八章 相量法（173） ——线性正弦稳态电路分析方法
$8-1 复数（复习） 一、复数的多种表示形式 1、复数F的直角坐标形式（代数形式）：F=a+jb a 、 b 均为实数， a实部， b虚部。 ( j 1)
1
2、复数F在复平面上的向量表示： F=a+jb
F a 2 b 2 ...模
求 u 与 i 的相位差 u i （可简计为 ）为：
u i (t u ) (t i ) u i
相位差 的单位：弧度、度。
同频率正弦量的相位差等于其初相位之差。
相位差 是多值的，一般取 。
四、同频率正弦量相位差的几种情况
u i
1 2
30
I1 I2 1060O 22 150O 5 j8.66)( 19.05 j11) （ 14.24 170.54O
二、相量的运算
1、同频正弦量的代数和（181）
26
设：i1(t) I1 mcos(ωt φ ) 1 i2(t) I2 mcos(ωt φ2 ) ......
同频正弦量相加： i(t) i1(t) i2(t) ......
I1 M .... 相量 表 示 ： 1 I 1 2 I I1 I2 .....
10 cos (314 t 150 o ) (V )
15
解： 1 10 s in(314 t 120 o ) 10 cos (314 t 210 o ) u
150 30 120
o o
o
即 u1 超前 u2 (2 / 3) 弧度 。
u U m cos( t 120 o ) (V ) 例2：已知 i I m cos( t 120 o ) ( A)
2f 2 (1 T )
3、 θi / θu——初相角
三、 同频率正弦量的相位差
例:
u U m cos(t u ) ,
13
i I m cos(t i )
O
2、F2 1.2152
3、F3 5180
实部（a）：shift 虚部（b）：RCL
O
1.06 j0.56 5
利用计算器转换功能： POL（ r，θ）= tan
三、复数的四则运算： 1、复数加减运算（代数形式） 若F1= a1+jb1 F2=a2+jb2
6
F1+F2= （a1+jb1）+（a2+jb2） = （a1 + a2）+ j（b1 +b2） F1-F2= （a1+jb1） -（a2+jb2） = （a1 - a2）+ j（b1 -b2）
22
(2) 若i(t)=Imcos(ωt+θ)
m Imej θ Imθ 则电流振幅相量： I
电流I正弦波形图（略）。
电流I相量图如下：
+j θ
Im
+1
23
(3)电流有效值相量和电压有效值相量：
Im Im I Iθ θ 2 2 Um Um U Uθ θ 2 2
27
2、正弦量的微分：
若 i(t) 2Icos(ω tφ ) di(t) π 则： 2Iω cos(ω t φ ) y（t） dt 2
分别用相量表示： 若正弦量i(t)的相量为I I， di Iωπ φ jωI 则 相量Y dt 2
3、正弦量的积分：
jθ 1
9
求F1 F2
jθ 2
F1 F2 F1 e
F2 e
F1 F2 e
j ( θθ ) 1 2
F1 F2 θ θ2 1
若A A θA B B θB A A B θA θB B 求A B
例 8 1 设 F 3 j4， F 10135 1 2
求 u 与 i 的相位差 。 解： ( 120 o ) 120 o 240 o 即
120
o
u 超前 i (2 / 3) 弧度 。
16
五、正弦电压/电流的有效值 1、电流有效值（I）定义：
若周期电流 i 的周期为 T ，则其有效值 I定义为：
I
1 T
T
0
i ( t ) dt
I
29
则：
I
i（t）的微分相量=j ω
i（t）的积分相量= I /j ω 对i 的n阶导数，其导数相量= I ω）n （j 对i 的N次积分，其积分相量= I /（j ω）n
π 例 8 2已 知 i(t) 10 2cos（ 314t ） A 1 3 5π i2(t) 22 2cos（ 314t ）A 6 di1(t) 求 ： i(t) i2(t)， ， 2(t)dt （ 182页 ） i 1 dt 解 ： （ 1） 用 量 法 求 ： 相 1060O ，I 22 150O I
二、复数形式之间的转化 例 8-1-1 化代数(直角坐标)形式为极坐标形式
3
1、F=5+j5
F 5 5 7.07 1 5 0 θ tg 45 5
2 2
F 7.0745
1
O
F
4 2 32 5
-36.90
2、F=4-j3
F 5 36.9
3 0 θ tg 36.9 4
89
u i 110 (50 ) 60
电压滞后60
0
$8-3 相量法基础（179） 一、正弦稳态电路/正弦电流电路—— 线性电路中，激励是正弦量，响应也是 同频正弦量。即电路中电流i(t)、电压u （t）均按同频正弦量变化。 二、电压电流正弦量的表示
19
i(t) Im cos(ωt i ) 2 Icos(ωt i )
17
T
0
U 2 dt
同样可推得正弦电 压 u 的有效值为：
Um U 0.707U m 2
六、电流/电压有效值与最大值关系：
Im I 0.707 I m 2
Um U 0.707U m 2
18
习题：8-1，8-2
8-9
8 1 （ ）F1 7.07 135 0 1 （3）F3 44.7263.430 （5）F5 3180 0 （2）F2 5143 0 （4）F4 1090 0 （6）F6 9.6173.19 0
的有效值为：
2
正弦电流 i I m cos( t i )
I 1 T
T
0
2 I m cos2 (t i ) dt
1 2 T 1 cos2(t i ) I Im dt m 0.707 I m 0 T 2 2
2、
电压有效值（U）定义：
U 1 T
2、U U1 U 2
方法1：平行四边形法则：
U2
8
+j
U1
U
+1
- U2
+j
方法2：三角形平 移法则：
（ U U1 U 2）
U2
U1
- U2
U
+1
3、复数乘除代数形式 （174）
4、复数乘除指数形式/极坐标形式
若F1 F1 ej θ1 F2 F2 ej θ2
] Re（Ume e
jθ jωt
）
Um Umej θ Umθ - - - U(t)振幅 量 相
根据正弦量和相量的表示可以画出其波形图和相量图 （下页）
21
电压U正弦波形图和 相量图：
1、根据u（t） Umcos（ωtθ）
U(t) Um θ ωt +j
Um
θ
2、根据 量Um Umθ 相
总结： 若 i(t) Im cos(ω t i ) I I I I
m m i
2Icos(ω t i )
i
若u(t) U m cos(ωt u ) Um U U U
m u u
2Ucos(ωt u )
练习8.9
2、复数加减运算复平面上相量表示（174）
设U 1 U 1θ， 1 1、U U
1 2
7
U 2 U 2 θ 2
+j
U2
方法1：平行四边形法则：
U1
+1 +j
方法2：三角形平 移法则：
思考： U U1 U 2 U 3
U2
U1
+1
1
θ tg
b ....辐 角 a
a F cos，b F s in
2
3、 复数F 的三角函数形式：
F F cos(θ) j F sin(θ)
4、复数F的指数形式和极坐标形式：
e j cos j sin 根据欧拉公式：
可得：
F Fe
指数形式
jθ
F θ
极坐标形式
解：（1）F2 7.07 j7.07
O
10
求 F F2， F /F2 （ 176页 ） 1 1
F1 F2 (3 j4)(7.07 j7.07) 4.07 j3.07 5.1 - 37O
3 j4 5 53.1 (2)F/F2 1 O O 10135 10135 O O 0.5 188.1 0.5171.9
u(t) U m cos(ωt u ) 2Ucos(ωt u )
三、正弦电压/电流相量表示
(1)设u（t） Umcos（ωtθ）
20
u（t） Re[Umcos（ω θ） jUmsin（ωtθ）] t Re[Ume Re{Umej ω t}
） ω θ j （ t
O
4
利用计算器转换功能 将代数形式转换为极坐标形式：
模（r）：POL（ a，b）=
辐角（θ）：RCL tan
3、F= -20-j40 4、 F=-j10
F=44.7∠-116.6 F=10 ∠- 90O
例 8-1-2 化极坐标为代数（直角坐标）形式
5
1、F1 10 73
O
2.92 j9.56
例1：已知 i 1.414 cos(314 t 6) ( A) , u 311 .1sin(314 t 6) (V ) , 求相量 I 及U ，并画出相量图。 解：
24
I 1.414 2 1 ( A) , i 6 I 1 / 6 ( A) u 311 .1sin(314 t 6) 311 .1cos(314 t 3) (V ) U 311 .1 2 220 (V ) , u 3 U 220 / 3 (V )
14
u
t
t
iห้องสมุดไป่ตู้
u i 0 , u 与 i 同相
u i
u i 0 , u 超前 i
u
t
i
t
u i 0 , u 滞后 i
u i , u 与 i 反相
u i 2 , u 与 i 正交
u1 10 sin(314 t 120 o ) (V ) 例1：已知 u2 100 cos( 314 t 30o ) (V ) 求 u1 与 u2 的相位差 。
+j
I
+1
U
I1 100 / 3 ( A) 例2：已知 I 2 10 ( A) , f 1000 Hz , 求 i1 及 i2 。
25
解：
2f 6280
i1 2 100 cos(6280 t 3) ( A)
i2
2 10 cos(6280 t ) ( A)
O
$8-2 正弦量（176）
一、定义：电路中按正弦规律变化的电流和电压称 为正弦量。（本书以cos描述正弦量）即：
11
i
i I m cos(t i )
+
u
-
u U m cos(t u )
二、正弦电压/电流三要素：
12
1、Im/Um ——振幅
2、ω ——角频率（ 是u/i相角随时间变化的速度）
若 i(t) 2Icos(ω tφ )
28
2I 则 i(t)dt cos(ω tφ - 90o ) y（t） ω
相量表示： 若正弦量i(t)的相量为I I， I I I 则 idt的相量Y 90o ω jω jω
结论：
若i(t)相量为
第八章 相量法（173） ——线性正弦稳态电路分析方法
$8-1 复数（复习） 一、复数的多种表示形式 1、复数F的直角坐标形式（代数形式）：F=a+jb a 、 b 均为实数， a实部， b虚部。 ( j 1)
1
2、复数F在复平面上的向量表示： F=a+jb
F a 2 b 2 ...模
求 u 与 i 的相位差 u i （可简计为 ）为：
u i (t u ) (t i ) u i
相位差 的单位：弧度、度。
同频率正弦量的相位差等于其初相位之差。
相位差 是多值的，一般取 。
四、同频率正弦量相位差的几种情况
u i
1 2
30
I1 I2 1060O 22 150O 5 j8.66)( 19.05 j11) （ 14.24 170.54O
二、相量的运算
1、同频正弦量的代数和（181）
26
设：i1(t) I1 mcos(ωt φ ) 1 i2(t) I2 mcos(ωt φ2 ) ......
同频正弦量相加： i(t) i1(t) i2(t) ......
I1 M .... 相量 表 示 ： 1 I 1 2 I I1 I2 .....
10 cos (314 t 150 o ) (V )
15
解： 1 10 s in(314 t 120 o ) 10 cos (314 t 210 o ) u
150 30 120
o o
o
即 u1 超前 u2 (2 / 3) 弧度 。
u U m cos( t 120 o ) (V ) 例2：已知 i I m cos( t 120 o ) ( A)