弹性力学简明教程第一章第三章_习题

第三章
平面问题的直角坐标解答
3. 由相容方程求应力函数。代入 Φ 0, 得
4
4 4 2 d f d f d f x d f x 1 2 2 x 2 0. 4 4 4 6 dy dy dy dy 3 4
要使上式在任意的x处都成立，必须
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平面问题的直角坐标解答
d4 f 0 , 4 dy
解：
作为应力函数，必须首先满足相容方程，
4Φ 0.
将 Φ 代入， (a) 其中A= 0，才可能成为应力函数； (b)必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应力函 数。
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平面问题的直角坐标解答
例题4 图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中
Fb 力F和力矩 M 的作用，试用应力函数 2
Φ Ax Bx ,
3 2
求解图示问题的应力及位移，设在A点的 位移和转角均为零。
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平面问题的直角坐标解答
F Fb/2 O
x
b h
b
A y
(h b, 1)
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平面问题的直角坐标解答
解： 应用应力函数求解：
(1) 校核 相容方程 Φ 0 ，满足.
4
(2) 求应力分量 ，在无体力时，得
代入u,v,得到位移分量的解答
3x 2 3F 2 u (x ) (h y ) ， 2 2 Eb 4b 8 Eb F 3x v (h y )(1 )。 2 Eb 2b
F
在顶点x=y=0，
(v ) x y 0 Fh . 2 Eb
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平面问题的直角坐标解答
对x积分得
F
v F 3x 由 y (1 ), y 2 Eb 2b
对y积分得
F 3 xy v (y ) f 2 ( x). 2 Eb 2b
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平面问题的直角坐标解答
将u,v代入几何方程的第三式，
v u xy 0。 x y
两边分离变量，并全都等于 常数，即
G 1 2 g . 10b
2
b / 2 b/2
b / 2
(h)
由式(g),(h)解出
I b 2 g , 80
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平面问题的直角坐标解答
代入应力分量的表达式得最后的应力解答：
2 2 g 3 3 2 g 4 2 g 3 σx 3 x y xy 3 xy 1 gx, b 5b b y3 2 y 1 σ y 2 gx(2 3 ); b 3b 2 2 3 y 3 y 3y b 2 xy 2 gx (3 3 ) 2 gy ( 3 )。 b 4b b 10b 80 y
σ y 6 Ax 2 B,
(3) 考察主要边界条件，
x b , σ x 0,
σ x xy 0.
xy 0 ,
均已满足
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平面问题的直角坐标解答
考察次要边界条件，在y=0上，
( xy ) y 0 0,
满足。
得 B F ;
2b

b
b
b
(σ y ) y 0 d x F ,
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平面问题的直角坐标解答
4. 由应力函数求解应力分量。将Φ 代入式(224) ,注意 f x 1 g , f y 0 ， 体力求得应力分量为
2Φ B 3 σ x 2 xf x x ( Ay y 3 x( 2 Ay 3 2 By 2 6Gy 2 H ) (6 Ey 2 F ) 1 gx,
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平面问题的直角坐标解答
由(a),(b) 解出
3Fs A , 2h 2 Fs D 3 . h
最后一个次要边界条件(x=l上)，在平 衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件 下，是必然满足的，故不必再校核。
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平面问题的直角坐标解答
代入应力公式，得
σx σy FN 12 M 12 Fs 3 y 3 xy, h h h 0, 3Fs y (1 4 2 ). 2h h
解：应用上述应力函数求解： (1) 将Φ代入相容方程，
5 Φ 0, 72 A 120 B 0, 得A B。 3 由此，
σ x 2 B 6Cy 6 Dxy, σ y wenku.baidu.com,
xy ( A 3Dy 2 )。
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平面问题的直角坐标解答
3. 考察边界条件：
主要边界 y h / 2 上应精确满足式(2-15),
(σ y ) y h / 2 0, ( xy ) y h / 2 0,
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平面问题的直角坐标解答
例题3 已知
(a) Φ Ay 2 (a 2 x 2 ) Bxy C ( x 2 y 2 ); (b) Φ Ax 4 Bx 3 y Cx 2 y 2 Dxy 2 Ey 4 ,
试问它们能否作为平面问题的应力函数？
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平面问题的直角坐标解答

h/2
h / 2
(σ x ) x 0 d y FN ,
FN 得 B ; 2h
h/2
h / 2
(σ x ) x 0 y d y M ,
2M 得 C 3 ; h

h/2
h / 2
( xY ) x 0 d y Fs ,
1 3 得 Ah Dh Fs . (b) 4
5. 考察边界条件： 主要边界 y b / 2上,有
(σ y ) y b / 2
b3 b2 b 2 gx,得 x( A B C D) 2 gx; 8 4 2
b3 b2 b 0, 得 x( A B C D) 0; 8 4 2
(a)
(b)
(σ y ) y b / 2
例题5
图中矩形截面的简支梁上，作用有三 角形分布荷载。试用下列应力函数
Φ Ax y Bxy Cx y
3 3 5 3
Dxy3 Ex3 Fxy,
求解应力分量。
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x q l
ql 6
h/2
ql 3
o
l
h/2
(h l , 1)
x
y
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平面问题的直角坐标解答
F
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平面问题的直角坐标解答
再由刚体约束条件，
u ( ) x 0, y h 0, 得 y
3F h； 2 4 Eb
(u ) x 0, y h 0,
(v) x 0, y h 0,
得
u
0
3F h； 2 8 Eb
得
F v0 h. 2 Eb
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平面问题的直角坐标解答
满足； 3 2 得 A Dh 0 . 4 (a)
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平面问题的直角坐标解答
在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢 量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的 边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表 示了负x面上的σ x 和 xy 的正方向，由此得：
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平面问题的直角坐标解答

2Φ σ y 2 yf y x( Ay 3 By 2 Cy D), x
τ xy 2Φ x2 (3 Ay 2 2 By C ) xy 2 A 4 2B 3 ( y y 3Gy 2 2 Hy I ). 2 3
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平面问题的直角坐标解答
第三章
平面问题的直角坐标解答
例题1 例题2 例题3 例题4
例题5 例题6 例题7 例题8
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平面问题的直角坐标解答
例题1
设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力 和力矩的作用，体力可以不计， l h 图3-5， 试用应力函数 Φ Axy By 2 Cy3 Dxy3 求解 应力分量。
d f 2 ( x) d f1 ( y) 3F y , 2 dx dy 4 Eb
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平面问题的直角坐标解答
从上式分别积分，求出
f 2 ( x) x v0 ,
3F 2 f1 ( y ) y y u0。 2 8Eb
代入u,v, 得
3x 2 3F 2 u (x ) y y u0 , 2 2 Eb 4b 8 Eb F 3 xy v (y ) x v0 . 2 Eb 2b
平面问题的直角坐标解答
(4) 求应变分量，
3x x (1 ), 2 Eb 2b F 3x y (1 ), 2 Eb 2b xy 0。
F
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平面问题的直角坐标解答
(5) 求位移分量，
u F 3x 由 x (1 ), x 2 Eb 2b
3x 2 u (x ) f1 ( y ); 2 Eb 4b
2
xy
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平面问题的直角坐标解答
例题2
y
b 2
o
b 2
挡水墙的密 度为 1 ，厚度 为b,图示,水的密 度为 2 ，试求 应力分量。
2 g
1 g
x
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平面问题的直角坐标解答
解：用半逆解法求解。 1. 假设应力分量的函数形式。 因为在 y=-b/2边界上，σ y 0; y=b/2 边界 上， σ y 2 gx ，所以可假设在区域内 σ y 沿x 向 也是一次式变化，即
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M
Fs
FN
o
σx
τ xy
h/2
y dy
h/2
x
图 l 3-5
y
(l h, 1)
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平面问题的直角坐标解答
解： 本题是较典型的例题，已经给出了应 力函数 Φ ，可按下列步骤求解。 1. 将 Φ 代入相容方程，显然是满足的。 2. 将 Φ代入式(2-24)，求出应力分量。
得 f Ay 3 By 2 Cy D;
d 4 f1 d2 f A 5 B 4 3 2 2 2 0, 得 f1 y y Gy Hy Iy; 4 dy dy 10 6 d4 f2 0, 4 dy 得 f 2 Ey 3 Fy 2 .
代入 Φ，即得应力函数的解答，其中已 略去了与应力无关的一次式。
(c,d)
(e,f )
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平面问题的直角坐标解答
求解各系数，由
(a)+(b)
得 得 得 得
(a)-(b)
(c)-(d)
b2 1 B D 2 g , 4 2 b3 b 1 A C 2 g , 8 2 2
(c)+(d)
b3 b 1 A C 2 g , 8 2 2 2 3b A C 0。 4
( xy ) y b / 2 0,得
x 2 3b 2 (A Bb C ) 2 4 b4 b3 3b 2 (A B G Hb I ) 0. 32 12 4
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由上式得到
3b 2 A Bb C 0 4
b4 b3 3b 2 A B G 32 12 4 Hb I 0
Fb b (σ y ) y 0 x d x 2 ,
得
F A 。 2 8b
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平面问题的直角坐标解答
代入，得应力的解答，
σ y F (1 3x ), 2b 2b σ x xy 0.
上述应力已满足了 4Φ 0 和全部边界条 件，因而是上述问题的解。
第三章
σ y xf ( y )。
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平面问题的直角坐标解答
2. 按应力函数的形式，由σ y推测Φ 的形式，
所以
2Φ σy xf ( y ), 2 x 2 Φ x f ( y ) f1 (y ) , x 2 x3 Φ f ( y ) xf1 (y ) f 2 (y ). 6
在次要边界（小边界）x=0上，列出三 个积分的边界条件：

b/2
b / 2 b/2
(σ x ) x 0 d y 0, (σ x ) x 0 y d y 0, ( xy ) x 0 d y 0,
得 F 0 ; 得 E 0 ; b b 得 I 2 g G . 80 4
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平面问题的直角坐标解答
由此得
2 A 3 2 g , b 3 C 2 g. 2b
又有
(e) ( f ) 得 (e) ( f ) 得 H 0， A b G 3b I 0 . 32 4
4 2
代入A,得
b 3b 2 I 2 g G. 16 4 (g)
第三章
平面问题的直角坐标解答