第四章 静电场

dΦ E cos dS E dS
e S S S
规定：封闭曲面外法向为正
A点 < 90 0 B点 > 90 思考题：
0
Φe 0
穿出的电场线
Φe 0
穿入的电场线
en
E A


en
B
E
在均匀电场中，取一假想的圆柱形闭合面，柱的半径 为R，柱轴平行于电场，求证：穿过这个闭合面的电通量 Φe = 0。并问该闭合面上的电场强度是否处处为零？
说明：在微观领域内，电荷守恒定律也被证明是正 确的。
4.1.3、库仑定律
在真空中, 两个静止点电荷之间的相互作用力的大小与它们 的电量q1和q2的乘积成正比, 与它们之间的距离的平方成反比, 作用力的方向沿着它们的连线, 同号电荷相斥, 异号电荷相吸.
q1
r
q2
F
er
q1
er
q2 r
F
1 q1q2 er q2受到q1的作用力：F 2 4π 0 r
SI制: 0 真空电容率(真空介电常数)
er 表示单位矢量
0 8.854187817 1012 C2 N 1 m2
库仑力遵守牛顿第三定律
4
库仑定律
——真空中点电荷之间的相互作用力
F21
q1
9
F 电场强度: E q0
在SI制中: 1 的单位是 NC E （牛顿· 库仑-1）
电场强度方向与正电荷在该处所受 到的电场力的方向一致；与负电荷 在该处所受到的电场力的方向相反。
q0
F2
q0
E2 -
E2
q0 - F2
讨论：
Q0
+
1 + E
F1
Q0
ES
E
均匀电场 ，E 垂直平面 Φe ES 均匀电场 ， E 与平面夹角 Φe ES cos
S
en

S
Φe E S

E
22
非均匀电场强度电通量
dS dS en 面积元矢量： 面积元范围内 E 视为均匀
en

E
dS
(1) 通过面元的电通量
2 0 2
E
q 4 π 0x
点电荷电场强度
1. 电场线 E 是空间矢量函数，
4.2.2 高斯定理
用矢量一点一点表示场强的缺点： 1）只能表示有限个点场强； 2）场中箭头零乱。 为形象描述电场分布，在电场中画出一系列有指向的曲线
规定：
1）曲线上每一点切向方向表示该点场强的方向； 2）电力线疏密程度反映场强大小, N N 即：通过垂直于电力线单位面积 E 的电力线数N（电力线密度） S 应等于该点的电场强度值。 S
讨论： （1）
y dq dl
q R
x R
E q 4π 0 x2
o
x

r
P
x E
z
E
——点电荷电场强度。 （2） （3）
x 0, E0 0
dE 2 0, x R dx 2
2 R 2
o
2 R 2
x
例 有一半径为 R0 ,电荷均匀分布的薄圆盘,其电荷面密度为 。
故由对称性有 E
1 dq dEx dE cos cos 2 2 4 π 0 r x
1 rd dr x rd dr cos 2 2 4 π 0 r x 4 π 0 r 2 x 2 3 2
0
dE x i E x i
R x 2 rdr Ex dEx d 32 q 0 0 2 2 4 π 0 r x x 1 1 x ( ) (1 ) 2 2 2 2 0 x 2 2 0 R0 x2 R0 x
试探电荷q0 所受到的静电力
F F1 F2 Fn q0 q0 q0 q0
E E1 E2 En Ei
i
+
q1
-- q2
P E2
E
E3
q3 +
E1
电场强度叠加原理：电场中某点的总电场强度等于各 点电荷单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和。
-
+ q0 F1
E1
2、电场强度是矢量坐标的一个矢量函数 E E (r )
3、均匀电场：电场强度在某一区域内， 大小、方向都相同。 4、电场中电荷受力： F qE
10
1、反映电场本身的性质,与试验电荷无关。
3. 电场强度叠加原理 在点电荷 q1 , q2 , qn 共同激发的电场中某场点P处，
例1 正电荷 q 均匀分布在半径为 R 的圆环上。计算在环的轴 线上任一点 P 处点电荷 q0 所受作用力。 解：
q 2 πR
取： dq
dl dq
y
dq dl
q R
o
r
x

q0
dF dF
x
z
r
dq dl
1 q0 dq dF dF 2 4 π 0 r
24
3、 静电场的高斯定理
设在真空中有一正的点电荷q , 则在其周围存在静 电场，求下列情况下穿过曲面的电通量。 E
(1) 曲面为以电荷为中心的球面
r
dS
Φe
dΦ E dS
e S

4π r
S
q
S
+
q q
2
cos 0 dS
2
q
0
4π 0 r
2
dS 4π r
求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度。
解：
方法一
y
o
r
dq 2 π rdr
(x r )
2 2 1/ 2
qx E 2 2 32 4 π 0 ( x r )
dq x dEx 4 π 0 ( x 2 r 2 )3 2
dq 2 π rdr
z
R0
x P dE x
20
几种典型电场的电力线分布
+
(a)正点电荷 (b)负点电荷
+
+
(c)一对等量同种点电荷
+ + + + + + + +
+
(d)一对等量异种点电荷
(e) 均匀带异种电荷的平行板
21
2. 电场强度通量
电场强度大小E与面积元S⊥之乘积，称为通过这 个面元S⊥的电场强度通量.
可用通过该面积电场线数来表述：Φe
进行对称性分析：
建立
x 方向和与 x
方向垂直的
方向。
dF 和 dF 关于 x 方向对称，可以把 dF 和 dF 向 x 方 向和 方向分解，其二者在 方向等值反向相互抵消。
故由对称性有 F
dFx i Fx i
1 q0 dq dFx dF cos cos 2 4 π 0 r
电力线有什么特点呢？
19
电场线特点：
N 规定： E S
1）起于正电荷（或“”远）， 止于负电荷（或“”远）。 2）任何两条电力线不能相交。 3）电力线不形成闭合曲线。 4）电力线越密的地方，场强越大； 电力线越疏的地方，场强越小。
说明场强的方向； 电场线作用有： 说明电场的强弱； 说明电场的整体分布。
r
q2
F12
q1q2 F12 k 2 r0 F21 r
SI制
k 8.98755 10 N m C
9 2
2
1 q1q2 F r0 2 4π 0 r 0：为真空介电常数。
1 0 8.8542 10 12 C 2 N 1 m 2 4π k
例
正电荷 q 均匀分布在半径为 R 的圆环上.计算在环的轴线
上任一点
P 的电场强度。
解： E dE

由对称性有 E Ex i
q R
y dq dl r
o
q ( ) 2π R
x
P
x
z
1 dl dE 2 4 π 0 r
q R
y dq dl r
o
q ( ) 2π R
S +
Φes
(3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面 进入与穿出S面的电场线数量相同
es
结论
es
E dS 0
S
E dS
S
q 0 0
q在S内 q在S外
q
S
+
26
(4)由多个点电荷产生的电场
设 S 面内包围了n 个点电荷， dS 面上的电场强度：
x E (1 ) (1 2 0 2 0 x2 R02
讨论：
（1）若 x
1 R0 1 x
2
)
R0
E 2 0
则
2 0 2
无限大均匀带电平面外
附近的电场强度
1 2
（2）若 x
R0
R (1 ) x
2
1 R 1 2 x
q0 cos Fx dFx q 4 π 0 r 2 q0 q x q dq 4 π 0 R 2 x2 3 2
4.2 电场强度 高斯定理 4.2.1 电场强度 电场叠加原理
实验证实电荷间的相互作用是通过一种特殊的 物质——电场传递的。 作用于 激发 电场1 点电荷q2 点电荷q1 作用于 电场2 激发 1、电场 场是一种特殊形态的物质 场与实物一样具有质量、能量、动量等一切物质 所具有的重要属性。 场又不同于通常由电子、质子、中子等构成的实 物。如实物原子所占据的空间不能同时为另一原子 所占据，但几个场却可以同时占据同一空间。
dr
q π R
2 0
xrdr dEx 2 0 ( x 2 r 2 )3 2
x rdr 2 0 ( x 2 r 2 )3 2
x R rdr E dE x 2 2 3/ 2 0 2 0 (x r ) x 1 1 ( ) 2 0 x2 x2 R02
第四章
4.1
4.2 4.3 4.4 4.5
静电场
库仑定律
电势
电荷守恒定律
电场强度
高斯定理
静电场的环路定理 静电场中的导体 静电场中的电介质
4.6
电容器
静电场的能量
4.1 电荷守恒定律 库仑定律
4.1.1 电荷 电荷的量子化 电荷: 物质所带的电，它是物质的固有属性。
1. 两种电荷 自然界中只存在两种不同性质的电荷：
正电荷和负电荷。
同性相斥，异性相吸。
2.电荷量子化 所有带电体或其他微观粒子的电荷都是电
子电荷绝对值的整数倍，即
q ne n =1,2,3,…
电子电荷量 e 1.60217733 1019 C (库仑)
2
4.1.2、电荷守恒定律 电荷守恒定律：在一个与外界没有电荷交换的系
统内，无论进行怎样的物理过程，过程中电荷总数 (即正负电荷的代数和)保持不变。
8
2. 电场强度
场源电荷Q:产生电场的点电荷、点电荷系、或带电体。 试探电荷q0:①电量足够小（q0对Q的电场几乎无影响）
F 电场中 是与q0无关的量 q0
②点电荷（q0的线度远小于Q 的线度）
F 定义为电场强度: E q0
Q
q0
F
电场中某处的电场强度的大小等于单位正电荷在 该处所受到的电场力的大小, 其方向与正电荷在该处 所受到的电场力的方向一致。
dΦe E dS
S
(2) 通过曲面S的电通量
Φe dΦe E cos dS E dS
S S S
(3) 通过封闭曲面的电通量
Φe
dΦ E cos dS E dS
e S S S
23
(3) 通过封闭曲面的电通量
Φe
S 0
(4πr )
2
0
与 r 无关
q 0 : Φe 0 表示电场线从正电荷出发，并穿出球面。 q 0 : Φe 0 表示电场线穿入球面，并终止于负电荷。
25
(2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面
Φes Φes
q
E
S
0
0
S
S和S之间没有其他电荷， q 电场线连续。
z
x

P
1 dl dE 2 4 π 0 r
2 R
x

1 E dE dE cos l l x 4π 0
x 4 π 0 r 3

0
dl x 2 r r

2π R
Leabharlann Baidu
0
qx dl 4 π 0 ( x 2 R 2 )3 2
qx E 2 2 32 4π 0 ( x R )
0
方法二
y
dS
dS rddr dS dq dS rddr dq
1 dq dE dE 2 2 4 π 0 x r
通过对称性分析，求解 E
dr
R0
r
rd
d

o x

dE x dE
P
z
dS
建立
x 方向和与 x
方向垂直的
方向。
dE 和 dE 关于 x 方向对称，可以把 dE 和 dE 向 x 方 向和 方向分解，其二者在 方向等值反向相互抵消。