2015年浙江省数学竞赛试题与答案解析(详细解答)

2015年浙江省高中数学竞赛试卷

说明：（1）本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的20题组成，即8道选择题、7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前18题组成，即8道选择题、7道填空题、3道解答题。

（2）考试不允许携带计算机或计算器。

一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6人，共48分）

1、“a=2，

是“曲线C: 22221(,,0)y x a b R ab a b

+=∈≠经过点

1)”的 （ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

2、已知一个角大于120°的三角形的三边长分别为m ，m+1，m+2，则实数m 的取值范围为（ ）

A.m>1

B.1

C. 32

D.m>3

3、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是BB 1的中点，

则二面角M －CD 1－A 的余弦值为 （ ）

B.12

4、若实数a ，b 满足20

101

a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨≤⎪⎩，则22a b a b ++的最大值为 （ ）

A.1

B.54

C.75

D.2

5、已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积

分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQR

ABC

S S ∆∆的最小值为

（ ）

A.12

B.13

C.14

D.15

6、已知数列{a n }的通项a n =

(1)(21)

(1)

nx

x x nx +++，n ∈N *，若a 1+a 2+…+a 2015<1，则实数x 等于

（ ）

A.32

-

B.5-

C.9-

D.11-

7、若过点P(1，0)，Q(2，0)，R(4，0)，S(8，0)作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积

不可能．．．

等于 （ ） A.1617

B.365

C.265

D.19653

8、若集合A={(m ，n)|(m+1)+(m+2)+…+(m+n)=102015，m ∈Z ， n ∈N *}，则集合A 的元素个数为（ ） A.4030 B.4032 C.20152 D.20162

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9～14题每题7分，15题8分，共50分）

9、已知函数f(x)满足 f(x+1)+f(1－x)=0，f(x+2)－f(2－x)=0，且f(23)=1，则f(10003

)=

10、若数列{a n }的前n 项和S n =n 3－n 2

，n ∈N *，则

20151

182

i

i a i =+-∑＝ 11、已知F 为抛物线y 2=5x 的焦点，点A(3，1)，M 是抛物线上的动点。当|MA|+|MF|取最小值时，

点M 的坐标为 12、若2

2

sin

cos 161610x

x +=，则cos4x=

13、设函数f(x)=min{x 2－1，x+1，－x+1}，其中min{x ，y ，z}表示x ，y ，z 中的最小者。若f(a+2)>f(a)，

则实数a 的取值范围为 14、已知向量a ，b 的夹角为3π，|a －b |=5，向量c －a ，c －b 的夹角为23

π，|c －a

，则a ·c 的

最大值为 15、设a ，b ∈Z ，若对任意x≤0，都有(ax+2)(x 2+2b)≤0，则a= ，b= .

三、解答题（本大题共有3小题，16题16分，17、18题每题18分，共52分）

16、设a ，b ∈R ，函数f(x)=ax 2+b(x+1)－2.若对任意实数b ，方程f(x)=x 有两个相异的实根，

求实数a 的取值范围。

17、已知椭圆C 1: 22221(0)y x a b a b

+=>>

，右焦点为圆C 2

: (x

2+y 2=7的圆心。 （I ）求椭圆C 1的方程；

（II ）若直线l 与曲线C 1，C 2都只有一个公共点，记直线l 与圆C 2的公共点为A ，求点A 的坐标。

18、已知数列{a n }，{b n }满足a 1>0，b 1>0，111

1

n n

n

n n n a a b b b a

++⎧=+⎪⎨=+⎪⎩

，n ∈N *.证明：a 50+b 50>20

四、附加题（本大题共有2小题，每题25分，共50分） 19、已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=3a n

n ∈N *.

（I ）证明：{a n }是正整数数列；

（II ）是否存在m ∈N *，使得2015|a m ，并说明理由。

20、设k 为正整数，称数字1～3k+1的排列x 1，x 2，…，x 3k+1为“N 型”的，如果这些数满足

（1）x 1x k+2>…>x 2k+1；（3）x 2k+1

（II ）证明：对任意正整数k ，d k 均为奇数。