2015年浙江省数学竞赛试题与答案解析(详细解答)

2015年浙江省高中数学竞赛试卷说明：（1）本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的20题组成，即8道选择题、7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前18题组成，即8道选择题、7道填空题、3道解答题。

（2）考试不允许携带计算机或计算器。

一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6人，共48分）1、“a=2，是“曲线C: 22221(,,0)y x a b R ab a b+=∈≠经过点1)”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2、已知一个角大于120°的三角形的三边长分别为m ，m+1，m+2，则实数m 的取值范围为（ ）A.m>1B.1<m<32C. 32<m<3D.m>33、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是BB 1的中点，则二面角M －CD 1－A 的余弦值为 （ ）B.124、若实数a ，b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨≤⎪⎩，则22a b a b ++的最大值为 （ ）A.1B.54C.75D.25、已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQRABCS S ∆∆的最小值为（ ）A.12B.13C.14D.156、已知数列{a n }的通项a n =(1)(21)(1)nxx x nx +++，n ∈N *，若a 1+a 2+…+a 2015<1，则实数x 等于（ ）A.32-B.5-C.9-D.11-7、若过点P(1，0)，Q(2，0)，R(4，0)，S(8，0)作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能．．．等于 （ ） A.1617B.365C.265D.196538、若集合A={(m ，n)|(m+1)+(m+2)+…+(m+n)=102015，m ∈Z ， n ∈N *}，则集合A 的元素个数为（ ） A.4030 B.4032 C.20152 D.20162二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9～14题每题7分，15题8分，共50分）9、已知函数f(x)满足 f(x+1)+f(1－x)=0，f(x+2)－f(2－x)=0，且f(23)=1，则f(10003)=10、若数列{a n }的前n 项和S n =n 3－n 2，n ∈N *，则20151182ii a i =+-∑＝ 11、已知F 为抛物线y 2=5x 的焦点，点A(3，1)，M 是抛物线上的动点。

当|MA|+|MF|取最小值时，点M 的坐标为 12、若22sincos 161610xx +=，则cos4x=13、设函数f(x)=min{x 2－1，x+1，－x+1}，其中min{x ，y ，z}表示x ，y ，z 中的最小者。

若f(a+2)>f(a)，则实数a 的取值范围为 14、已知向量a ，b 的夹角为3π，|a －b |=5，向量c －a ，c －b 的夹角为23π，|c －a，则a ·c 的最大值为 15、设a ，b ∈Z ，若对任意x≤0，都有(ax+2)(x 2+2b)≤0，则a= ，b= .三、解答题（本大题共有3小题，16题16分，17、18题每题18分，共52分）16、设a ，b ∈R ，函数f(x)=ax 2+b(x+1)－2.若对任意实数b ，方程f(x)=x 有两个相异的实根，求实数a 的取值范围。

17、已知椭圆C 1: 22221(0)y x a b a b+=>>，右焦点为圆C 2: (x2+y 2=7的圆心。

（I ）求椭圆C 1的方程；（II ）若直线l 与曲线C 1，C 2都只有一个公共点，记直线l 与圆C 2的公共点为A ，求点A 的坐标。

18、已知数列{a n }，{b n }满足a 1>0，b 1>0，1111n nnn n n a a b b b a++⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，n ∈N *.证明：a 50+b 50>20四、附加题（本大题共有2小题，每题25分，共50分） 19、已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=3a nn ∈N *.（I ）证明：{a n }是正整数数列；（II ）是否存在m ∈N *，使得2015|a m ，并说明理由。

20、设k 为正整数，称数字1～3k+1的排列x 1，x 2，…，x 3k+1为“N 型”的，如果这些数满足（1）x 1<x 2<…<x k+1；（2）x k+1>x k+2>…>x 2k+1；（3）x 2k+1<x 2k+2<…<x 3k+1。

记d k 为所有“N 型”排列的个数。

（I ）求d 1，d 2的值；（II ）证明：对任意正整数k ，d k 均为奇数。

2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）1．“a =2，b =是“曲线C ：22221(,,0)x y a b R ab a b+=∈≠经过点)”的( A )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A.解答：当a =2，b =C ：22221x y a b+=经过)；当曲线C ：22221x y a b+=经过点)时，即有22211a b+=，显然2,a b =-=“a =2，b =”是“曲线C ：22221x y a b +=经过点)”的充分不必要条件。

2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++，则实数m 的取值范围为( B )． A ． 1m > B ． 312m << C ．332m << D ．3m > 答案：B.解答：由题意可知：222(1)2(2)(1)(1)m m m m m m m m ++>+⎧⎨+>++++⎩解得312m <<。

3． 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点， 则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( C )．A ．B ． 12 C ．D答案：C.解答：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,)2D A C D M ，且平面1ACD 的法向量为1n =(1,1,1)，平面1MCD 法向量为2(1,2,2)n =-。

因此123cos ,n n <>=，即二面角M -CD 1-A 。

第3题图1A 14．若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值为 ( C )．A ． 1B ． 54C ． 75D ． 2 答案：C.解答：由,a b 满足的条件知13ba ≤≤，所以2372252a b ba ba+=-≤++，当13(,)(,)22a b =取等号。

5． 已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQR ABCS S ∆∆的最小值为( D )．A ． 12B ． 13C ． 14D ． 15 参考答案：D.解答：如图5-1所示，图5-1 图5-2（1）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的斜边上，则,,,P C Q R 四点共圆，180,APR CQR BQR ∠=∠=-∠所以sin sin .APR BQR ∠=∠在,APR BQR ∆∆中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BRA APRB BQR==.又45,A B ∠=∠=故PR QR =,故AR BR =即R 为AB 的中点.AB P H过R 作RH AC ⊥于H ，则12PR RH BC ≥=,所以22221()124PQR ABCBC S PR S BC BC ∆∆=≥=,此时PQR ABCS S ∆∆的最大值为14. （2）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的直角边上，如图5-2所示，设1,(01),(0)2BC CR x x BRQ παα==≤≤∠=<<,则90.CPR PRC BRQ α∠=-∠=∠=在Rt CPR ∆中，,sin sin CR xPR αα== 在BRQ ∆中，31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=+, 由正弦定理, 1sin sin sin sin sin()44xPQ RB xB PQB αππα-=⇔=⇔∠+1sin cos 2sin x ααα=+，因此2221111()()22sin 2cos 2sin PQR x S PR ααα∆===+. 这样，PQR ABCS S ∆∆2222111()cos 2sin (12)(cos sin )5αααα=≥=+++，当且仅当arctan 2α=取等号，此时PQR ABCS S ∆∆的最小值为15.6. 已知数列{}n a 的通项(1)(21)(1)n nxa x x nx =+++ ，*n N ∈，若1220151a a a +++<，则实数x 等于（ D )． A ．32-B ．512- C ．940- D ．1160- 答案：D.(1)111(1)(21)(1)(1)(21)[(1)1](1)(21)(1)n nx a x x nx x x n x x x nx +-==-+++++-++++则20151111(1)(21)(20151)0(1)(21)(20151)k k a x x x x x x ==-<⇔+++>+++∑，所以111111(1,)(,)(,)(,)234201320142015x ∈--⋃--⋃⋃--⋃-+∞，经检验只有1160x =-符合题意。

7． 若过点P （1，0），Q （2，0），R （4，0），S （8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能．．．等于 ( C )． A ．1617 B ． 365C ． 265D ． 19653答案：C.解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为a ，面积为,S 过P 的直线的倾斜角为(0)2πθθ<<。