概率试卷(一)卷附答案

《概率论与数理统计》试卷一
一、选择题（共6小题，每小题3分，共计18分）
1．设事件A 与B 互不相容，则( D ).
A ．()0P A
B ⋂=； B ．()()()P AB P A P B =；
C. ()1()P A P B =-； D ．()1P A B ⋃=.
2. 设随机变量X 的分布函数为0, 0 1(), 0121, 1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩
，则(1)P X ==（ C ）. A ．0； B ．
12； C. 112
e --； D ．11e --. 3. 设随机变量X 的分布函数为1()0.3()0.7()2
x F x x -=Φ+Φ，其中()x Φ为标准正态分布，则EX =（ C ）.
A. 0;
B. 0.3；
C. 0.7;
D. 1 .
4．设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则 22(1}P X Y +≤=（ D ）. A.
14; B. 12； C. 8π; D. 4
π. 5. 设随机变量X ,Y 独立同分布，X 的分布为F (x )，max{,}Z X Y =的分布函数 为（ B ）.
A ．()()F x F y ；
B ．2()F x ； C.21[1()]F x --； D ．
[1()][1()]F x F y --.
6. 设二维随机变量（X ，Y ）服从22(, ;, 0)N μμσσ；
则2()E X Y =（ A ）. A.22()μμσ+； B ．2()μμσ+； C. 22()σμσ+ ； D ．2()σμσ+.
二、填空题（共4小题，每小题3分，共计12分）
1.已知111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===，则()P A B =1 3.
2. 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则2()P X EX ==11 2
e -.
3. 设随机变量X 和Y 相互独立，密度函数分别为1, 01()0, X x f x ≤≤⎧=⎨⎩
其它 ， , 0()0, y
Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它，则Z =X +Y 的概率密度为()Z f z =1, 01(1), 1 0, z z e z e e z --⎧-≤<⎪-≥⎨⎪⎩其它. 4. 设12,,,m X X X ⋅⋅⋅为来自二项分布总体(,)b n p 的简单随机样本，2,X S 分别为样本均值和样本方差，若22[]=E X kS np +，则k = -1 .
三、计算下列各题（共3小题，每小题8分，共计24分）
1. 在150个产品中有40个次品，110个正品，从中任取20个产品，求
（1）恰好取到9个次品的概率；（2）至少取到2个次品的概率.
解：（1） 91140110120150
C C p C =. （2） 201191104011022020150150
1C C C p C C =--.
2. 设随机变量X 的概率密度函数 2, 01()0, x x f x <<⎧=⎨⎩
其它， 现对X 作40次独立重复观察，求事件1{}2
X ≤出现的次数在10至15 之间的概率. （提示：用正态逼近，(1.83)0.9664Φ=）
解 记Y 表示40次独立重复观察中事件1
{}2
X ≤出现的次数，由题知~(40,)Y b p ，其中
12011()224
p P X xdx =≤==⎰ 即 1~(40,)4Y b ，1510,2
EY np DX npq ====，
(1015)(0)P Y ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫≤≤≈-=-⎝⎭ ()= 1.83(0)0.96640.50.4664.ΦΦ-=-=
3．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为0.5，若第一次
及格则第二次及格的概率也为0.5，若第一次不及格则第二次及格的概率为 0.25. 求（1）该学生两次考试中至少有一次及格的概率；
（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率.
解 （1）设12,A A 分别表示第一、二次考试及格。

121212()()()()P A A P A P A P A A ⋃=+-
220.5(0.50.50.25)0.5=++⨯-=0.625
（2）2121222()0.52(|)()0.50.50.253
P A A P A A P A ===+⨯。

四、（10分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白色球，现有放回地从 袋中取两次球，每次取一个，以X ，Y 分别表示两次取球所得的红球、黑 球的个数，（1）求二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律；
（2）求在X =1下，Y 的条件分布律.
解 （1） （X ,Y ）的联合分布律：
0 1 2
111 0 463611 1 039
1 2 0 09
Y X （2）在X =1下，Y 的条件分布律：
0 132 55
Y p 。

五、（10分）设二维随机变量（X, Y ）的联合概率分布律为
0 1
0 0.1 0.2 1 0.3 0.4
X Y
求（1）EX ，EY ，DX ，DY ；
（2）X, Y 的协方差、相关系数；
（3）（X, Y ）的协方差阵、相关阵.
解 （1）0.7,0.6,0.21,0.24.EX EY DX DY ====
（2）0.4,EXY =
(,)0.40.420.02,Cov X Y EXY EXEY =-=-=-
0.089.XY ρ===- （3）协方差阵 0.210.02,0.020.24-⎛⎫∑= ⎪-⎝⎭ 相关阵 10.089.0.0891R -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
六、（10分）设二维随机变量(X, Y )在G 上服从均匀分布，其中G 由 0,2,0x y x y y -=+==所围成，求:
（1）关于X ，关于Y 的边缘密度函数；
（2）问X 与Y 是否独立？为什么？
（3）计算概率()3
X P Y ≤. 解：（1）, 01()2 120, X x x f x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩
，其它，22, 01()0, Y y y f y -≤≤⎧=⎨⎩其它；
（2）X ,Y 不独立，因为在G 上，(,)()()X Y f x y f x f y ≠.
（3）122031()32
y y X P Y dy dx -≤==⎰⎰.
七、（共两小题，每小题8分，共16分）
1. 设随机变量X 与Y 的概率分布分别为
0 112 33X p ， 1 0 1
111 333
Y p - 且 22(=)1P X Y =，求(1) (,)X Y 的联合分布律；（2）(,)X Y 的相关系数. 解 （1） (,)X Y 的联合分布律为：
1 0 1
1 0 0 03
11 1 0 33
X Y - （2）2(,)0003
Cov X Y EXY EXEY =-=-⨯=， 0.XY ρ=
2. 设某次考试考生成绩服从正态分布，从中随机的抽取25位考生的成绩，计算得样本均值67.5x =分,样本标准差15s =，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？给出检验过程。

解 01:70, :70H H μμ=≠
0~(1)(24)H X T t n t =-= 查表 0.05,α=得 2.064λ= 计算 0.83T ==- 因为 ||0.83 2.064T λ=<=
故不拒绝H 0，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。