R_n中函数凹凸性判定的充要条件(精)
函数的凹凸性在解题中的应用
函数的凹凸性在解题中的应用作者：李慷慨来源：《中学教学参考·理科版》2014年第10期函数的凹凸性是函数的一个重要性质，在各地质检和高考中经常考到函数的凹凸性的应用，若能灵活应用函数的凹凸性，则在解决高中数学有关导数的问题时就能起到事半功倍的效果.本文简单介绍一下函数的凹凸性及其简单应用.一、函数的凹凸性定义：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数λ∈（0，1）总有：f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f为I上的凸函数.反之，如果总有：f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f为I上的凹函数.定理1 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1f（x2）-f（x1）x2-x1≤f（x3）-f（x2）x3-x2.f为I上的凹函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1f（x2）-f（x1）x2-x1≥f（x3）-f（x2）x3-x2.定理2 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意两点x1≠x2，总有：f（x1）+f（x2）2≥ff（x1+x2）2.f为I上的凹函数的充要条件是：对于I上的任意两点x1≠x2，总有：f（x1）+f（x2）2≤ff（x1+x2）2.定理3 设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凸（凹）函数的充要条件是：f″（x）≥0（f″（x）≤0） x∈I.二、函数的凹凸性在解题中的应用【例1】（2013年蚌埠二质检第15题）已知点A（x1，x21），B（x2，x22）是函数y=x2的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论x21+x222>（x1+x22）2成立.运用类比思想方法可知，若点A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函数y=lgx（x∈（0，+∞））的图像上的不同两点，则类似地有成立.分析：本题考查类比推理及函数的凹凸性，主要要求学生能理解题目给出的已知条件或教师在平时的教学中渗透函数的凹凸性的相关内容.根据题意和函数的凹凸性易知答案为lgx1+lgx22【例2】（2012年蚌埠一质检第21题）已知函数f（x）=2x+alnx（a∈R）.（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）的最小值为φ（a），求φ（a）的最大值；（3）若函数f（x）的最小值为φ（a），m、n为φ（a）定义域A内的任意两个值，试比较φ（m）+φ（n）2与φ（m+n2）的大小.（责任编辑钟伟芳）。
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：
凹
凸
曲线凹 导函数递增？
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
函数凹凸性判别法与应用讲解
函数凹凸性判别法与应用作者：祝红丽 指导老师：邢抱花摘要 函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，通过它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析，着重探讨了函数凹凸性的判别方法以及在解题中的应用，如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并结合相关例题做了较详细的论述.关键词 凹凸性 导数 不等式 应用1 引言函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数的其它性质，可以使我们对函数的认识更加精确.以函数()y f x 在某区间I 上单调增加为例说明.我们不难理解，随着自变量x 的稳定增加，当函数y 的增量越来越大时，函数图形是凹的，当函数y 的增量越来越小时，函数图形是凸的，当函数y 的增量保持不变时，函数图象是直线，对于减函数我们可以作类似的分析.作为研究分析函数的工具和方法，它在许多学科里有着重要的应用.长期以来，很多学者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来，关于函数凹凸性的判定与应用的研究取得了一些成果，使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛.本文先从两个具体的函数图象为出发点，直观上观察函数图象的弯曲方向，从而引出函数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此基础上介绍了凹凸函数的几何特征，接着介绍函数凹凸性的几种判别方法，如：用定义去判别函数的凹凸性，利用二阶导函数判别函数的凹凸性，及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最基本的判别方法，利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都能利用函数的凹凸性证明，但是利用函数的凹凸性去证明某些不等式，是其它方法不可替代的.利用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法，开阔了解题思路.利用导数分析函数的上升、下降，图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加精确化.2 凹凸函数及拐点的定义我们已经熟悉函数2y x =和lg y x =的图象.2x lg y =.凸性的分析定义形式较多，下面给出函数凹凸性定义的更一般的形式. 2.1函数凹凸性的定义定义 设函数()f x 在区间I 上连续，若对I 上的任意两点1x ，2x 和任意实数(0,1)λ∈,总有: 1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≤+-+(1-, 则称f 为I 上的凹函数. 反之，如果总有:1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≥+-+(1-,则称f 为I 上的凸函数. 特别地，当λ=12时，满足121211()()()222x x f f x f x +≤+的函数为凹函数，满足121211()()()222x x f f x f x +≥+的函数为凸函数. 如果定义中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凹函数和严格凸函数.2.2 凹函数与凸函数的几何意义定义中凹函数与凸函数的图象如图1、图2.图1 图2 凹函数（凸函数）的几何意义：连接曲线()y f x =上任意两点的弦总位于对应曲线的上方（下方）.2.3 拐点的定义设曲线()y f x =在点0,0(())x f x 处有穿过曲线的切线.且在切点近旁，曲线的切线的两侧分别是严格凹和严格凸的，这时称点0,0(())x f x 为曲线()y f x =的拐点.X由定义可见，对于具有凹凸性的函数而言，拐点正是函数的凹凸性发生改变的那一点，即拐点的两侧邻域有着互异的严格凹凸性.如下图中的M 点.严格地说，拐点都是平面光滑曲线（即切线连续变动的曲线）弯曲方向发生改变的转折点，拐点的几何特征是该点的切线不是在曲线的一侧“托着曲线”而是切线在切点处把曲线一分为二，分别在切线的两侧.易知，有正弦曲线的图象可知sin y x =有拐点(,0)k π ，k 为整数.2.4 拐点的判别法(1)若()f x 在0x 处连续，在0x 两侧()''f x 反号，则()()00,x f x 是曲线()y f x =的拐点.(2)若()''00f x =，()(3)00f x ≠，则()()00,x f x 是()y f x =的拐点.例题1 求下列函数的拐点 ()1()()2211xf x x =+-； ()2 ()3f x x =. 解 ()1()()()'3211x f x x -+=-，()()()''2421x f x x +=- ， 当()()2,11,x ∈-⋃+∞时，()''0fx >； 当(),2x ∈-∞-时，()''0f x < ，又()529f -=, 所以点52,9⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的拐点. ()2()'23f x x =，()''6f x x =，()'''6f x =，()''00f =，()'''00f ≠，所以点()0,0是函数的拐点.注意：函数的拐点只是表示在该点的两侧函数具有不同的严格凹凸性，而不能只依靠判断二阶导数是否为零来确定函数的拐点.对于二阶导数不存在的点0x ，检查''()f x 在0x 左右两侧邻近的符号，那么当两侧邻近的符号相反时，点00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点，当两侧的符号相同时，点00(,())x f x 不是曲线()y f x =的拐点函数的拐点.因此函数的拐点与二次导数是否存在没有必然的联系.例如：1()f x x x=+在0x =时的情况.易知''32()f x x =，()f x 在0x =处的二阶导数不存在，但是当0x <时，''()0f x <，当0x >时，''()0f x >，所以0x =是()f x 的一个拐点.3 函数凹凸性的判别法观察函数图象，我们很容易得出结论：凹函数的一阶导数是不断变大的，而凸函数的一阶导数则恰恰相反.这是我们通过观察几何图形进行直观的感知得到的结论，但是人的观察不可避免的存在着一定的局限性，只有通过严密的证明得到的结论才能使人信服.迄今为止，判别函数的凹凸性已经有很多的方法.3.1 定义法判别函数的凹凸性用定义法去判别函数的凹凸性是最基本的判定方法，也是其它判定方法的基础.所以对定义的理解和掌握是至关重要的.例题2 f ，g 均为I 上的连续函数，证明：(1)若f ，g 均为凹函数，则g f +为凹函数；(2)若f ，g 均为递增非负凹函数，则g f ⋅为凹函数.证明 设任意的1x ，2x I ∈，(0,1)λ∈，(1)、因为f ，g 均为凹函数，所以由定义知：1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≤+-+(1-和1212[)]()(1)()g x x g x g x λλλλ≤+-+(1-.两式相加：12[)]f x x λλ+(1-+12[)]g x x λλ+(1-≤12()(1)()f x f x λλ+-+12()(1)()g x g x λλ+-, 即：1212()[)]()()(1)()()f g x x f g x f g x λλλλ+≤++-++(1-， 所以f g +为凹函数.(2)、由题题意得：121212()[)][)][)]f g x x f x x g x x λλλλλλ⋅=⋅+(1-+(1-+(1-1212[()(1)()][()(1)()]f x f x g x g x λλλλ≤+-⋅+-221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ=+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+.下面只要证明：221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+12()()(1)()()f g x f g x λλ≤⋅+-⋅即可.采用做差法比较两者的大小：221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+-12()()(1)()()f g x f g x λλ⋅+-⋅=1212(1)[()()][()()]f x f x g x g x λλ----0≤. 综上所述，可得1212()[(1)]()()(1)()()f g x x f g x f g x λλλλ⋅+-≤⋅+-⋅.所以f g ⋅是凹函数.例3 ()f x 为区间I 上的可导函数，证明：若对于I 上的任意两点1x ，2x ，有'21121()()()()f x f x f x x x ≥+-， 则()f x 为I 上的凹函数.证明 设以1x ，2x 为I 上任意两点，12(1)x x x λλ=+- ， 01λ<< .由'21121()()()()f x f x f x x x ≥+-， 并利用112(1)()x x x x λ-=--与221()x x x x λ-=-，''1112()()()()()(1)()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+--.''2221()()()()()()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+-.分别用λ与1λ-上列两式并相加，得到：1212()(1)()()[(1)]f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-.所以()f x 为I 上的凹函数.3.2 函数凹凸性的判定定理定理 ()f x 为I 上的函数，若对于I 上的任意三点123x x x <<，总有：32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- ， 则()f x 为I 上的凹函数. 证明 在I 上任取两点13,x x 13()x x <，在13[,]x x 上任取一点213(1),(0,1)x x x λλλ=+-∈，则，3231x x x x λ-=-，21311x x x x λ--=- ， 因为 32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- ，所以有： 322212321213()()()()()()()()x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+-.所以有，312321213()()()()()()x x f x x x f x x x f x -≤-+- ，因为 310x x ->，所以不等式两边同时除以31()x x -有：32212133131()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--. 即213()()(1)()f x f x f x λλ≤+-又213()[(1)]f x f x x λλ=+-.所以1313[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.所以()f x 为I 上的凹函数.例题4 设()f x 为区间I 上的函数，若对于00,x I ∀∈∃实数a ，使得x I ∀∈，有00()()()f x a x x f x ≥-+， 证明：()f x 为区间I 上的凹函数.证明 设123x x x <<是区间I 上任意三点，由已知条件，对于2x ，存在实数a ，使得，22()()()f x a x x f x ≥-+， ()x I ∀∈.令1x x = ， 有1122()()()f x a x x f x ≥-+，得到1212()()f x f x a x x -≤-. 再令3x x =， 有3322()()()f x a x x f x ≥-+ ，得到3232()()f x f x a x x -≥-. 综上所述，32123212()()()()f x f x f x f x a x x x x --≥≥-- ，所以()f x 为区间I 上的凹函数. 3.3 函数凹凸性的充要条件充要条件 设函数()y f x =在I 上连续，在I 内具有一阶和二阶导数，那么，(1)若在I 内恒有''()0f x ≥，则()f x 在I 上的图形是凹的；(2)若在I 内恒有''()0f x ≤，则()f x 在I 上的图形是凸的.注意：若在区间I 内的某一子区间上''()0f x ≡，则()y f x =在该子区间上的图形是一段直线，该子区间既非凹区间也非凸区间.证明 （1）充分性：因为''()0f x ≥，所以'f 为I 上的增函数，设任意的1x ，2x ∈I ，在以1x ，2x （不妨设12x x <）为端点的区间上，由拉格朗日中值定理和'f 为I 上的增函数，可得：''2121121()()()()()()f x f x f x x f x x x ξ-=-≥-，即对I 上的任意两点1x ，2x ，有：'21121()()()()f x f x f x x x ≥+-.令312(1)x x x λλ=+-，01λ<<，有，1312(1)()x x x x λ-=--；2321()x x x x λ-=-；所以，''133133123()()()()()(1)()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+--.''233233213()()()()()()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+-.以上两个不等式的两端分别乘以λ与(1)λ-并相加得：12312()(1)()()[(1)]f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-.即()f x 在I 是凹函数；必要性：任取I 上两点()1212,x x x x <及充分小的正数h .由于1122x h x x x h -<<<+，根据()f x 是凹函数及函数凹凸性的判定定理有：()()()()()()11212221f x f x h f x f x f x h f x h x x h---+-≤≤-. 由于()f x 是可导函数，令0h +→时可得()()()()21''1221f x f x f x f x x x -≤≤-. 所以()'f x 为I 上的增函数，所以在I 内恒有''()0f x ≥.（2）''()0f x ≤的情况类似的可以证明.例题5 求曲线3()(12ln 10)f x x x =-的凹凸区间及拐点.解 函数的定义域为(0,)+∞，又'22()36ln 18f x x x x =-，''()72ln f x x x =，令''()0f x =，即72ln 0x x =，得到1x =，点1x =把定义域分成两个部分即(0,1]与[1,)∞.在各部分区间内'()f x 与''()f x 的符号，相应曲段弧的升降及凹凸、拐点等，如下图表：可得：在(0,1]内，''()0f x ≤，因此是曲线的凸区间.在[1,)∞内，''()0f x ≥，因此是曲线的凹区间.所以：点(1,10)-是曲线的拐点.小结：求曲线凹凸区间及拐点的步骤：首先找出可能是拐点的横坐标（包括使二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点），再利用二阶导数的符号判断该曲线的凹凸区间及拐点. 4 函数凹凸性的应用函数凹凸性的应用及其广泛，很多与函数、不等式交汇的综合问题都可以利用函数的凹凸性加以解决.利用函数的凹凸性去解决问题，往往能够使某些复杂的问题简单化.接下来，我们重点讨论函数凹凸性在不等式的证明、求函数最值以及函数作图等中的应用.4.1 函数凹凸性在证明不等式中的应用有些不等式的表达形式很简单，但如果通过常规的证明方法和技巧却很难达到预期的效果，这就需要我们另辟蹊径，寻找更有效的方法技巧，利用凹凸函数的性质不但可以减少计算量，使解题更加合理，而且借助凹凸函数的几何特征可以使解题思路更加清晰直观.4.1.1 利用函数的凹凸性证明一个重要的不等式定理 如果()f x 是凸函数⇔对12,,[0,1]n ∀∂∂⋅⋅⋅∂∈，满足121n ∂+∂+⋅⋅⋅+∂=，都有11221122()()()()n n n n f x x x f x f x f x ∂+∂+⋅⋅⋅+∂≥∂+∂+⋅⋅⋅+∂. 特别地，当121n n∂=∂=⋅⋅⋅=∂=时，上述不等式称为琴生（Jensen ）不等式. 例题 6 任意n 个非负实数的调和平均值小于或等于它们的几何平均值小于或等于他们的算数平均值.即：0i x ∀≥，(1,2,,)i n =⋅⋅⋅， 恒有：1212111n n x x x nnx x x ++⋅⋅⋅+≤≤++⋅⋅⋅+. 当且仅当12n x x x ==⋅⋅⋅=时等号成立.证明 考虑函数ln y x =，很容易判断出其是凸函数，有琴生（Jensen ）不等式得到：1212121111lnln ln ln ln()n n n x x x x x x x x x n n n n n++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅=. 即：12ln n x x x n++⋅⋅⋅+≥ln y x =在定义域上是单调递增的.12n x x x n ++⋅⋅⋅+≤，当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立. 另一方面， ln 12111n nx x x ++⋅⋅⋅+=12111ln n x x x n ++⋅⋅⋅+-121111(ln ln ln )nn x x x ≤-++⋅⋅⋅+=即：12ln 111n nx x x ≤++⋅⋅⋅+又ln y x =在定义域上是单调递增的.所以有：12111nnx x x ≤++⋅⋅⋅+12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立.综上所述有：1212111n n x x x n nx x x ++⋅⋅⋅+≤≤++⋅⋅⋅+. 当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立.注意：利用函数的凹凸性证明不等式时，一定要注意构造或者引进我们所需要的辅助函数，使条件和结论、已知与未知建立联系.4.1.2 凹凸函数不等式的积分形式定理 设()f x 是[,]a b 上的可积函数且()m f x M ≤≤，()t ϕ是[,]m M 上的连续凸函数，则：11(())[()]b b a af x dx f x dx b a b a ϕϕ≥--⎰⎰（如果()t ϕ是凹函数，则不等式反向）. 例题7 设()f x 为[,]a b 上的正值连续函数， 证明：11ln ()ln ()b b a a f x dx f x dx b a b a≤--⎰⎰. 证明 令()ln t t ϕ=，由上述定理得：11(())ln ()b b a a f x dx f x dx b a b a ϕ=--⎰⎰ ≥1ln ()b af x dx b a -⎰.即得证. 例题8设()f x 在[0,1]上连续可导，'()0,()0f x f x ≥≤.若0()()xF x f t dt =⎰，证明： 10(1)()2(),(0,1)xF F x F t dt x ≤≤∈⎰. 证明 由0()()xF x f t dt =⎰，可得'()()F x f x =，进而得到'''()()F x f x =，所以''()0F x ≤.由函数凹凸性的充要条件知()F x 为凸函数.所以有：[1(1)0](1)(1)(0)F x x x F x F ⋅+-⋅≥⋅+-.又(0)0F =，所以()(1)F x x F ≥⋅.另一方面，由Hadamard 不等式：设函数()f x 是[,]a b 上连续的凸函数，对任意的12,[,],x x a b ∈12x x < ，有：21121221()()1()()22x x x x f x f x f f t dt x x ++≥≥-⎰，得101(0)(1)()102F F F t dt +≥-⎰. 即：10(1)()2F F t dt ≥⎰，又'()()0F x f x =≥，所以()F x 在[0,1]为单调增函数，所以有： (1)()22F F x ≥， 即102()()F t dt F x ≥⎰.综上所述， 即有： 10(1)()2(),(0,1)xF F x F t dt x ≤≤∈⎰. 小结：利用函数凹凸性证明不等式虽然有一定的局限性，但是它却能够避免一些繁杂的解题过程，大大的简化解题步骤，是其它方法不能达到的.利用函数凹凸性证明不等式的解题关键是构造合适的辅助函数，能够使问题和已知的条件联系起来，只有这样才能达到预期的效果.4.2 函数凹凸性在求函数最值中的应用通过观察不等式的证明，我们可以发现，如果不等式的一边是常数的话，那么不等式的证明就演变成了求函数的最值问题，我们就可以利用函数的凹凸性来求函数的最值，从而就可以避免繁杂的化简、转化、变形等过程.若能够灵活运用函数的凹凸性解题，可达到事半功倍的效果.例题9 设0(1,2,)k x k n >=⋅⋅⋅，试求 1212222()()n nx x x x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+的最小值. 解析 如果采用一般的解题方法，我们就会发现很难找到问题的突破口，但是如果我们采用函数的凹凸性去思考，再结合着题目的表达形式，就很容易联想到琴生（Jensen ）不等式，问题就迎刃而解了.解 设2()f x x =，则'22()f x x =-，''44()0x f x x=>.所以()f x 为凹函数，由琴生（Jensen ）不等式12121()[()()()]n n x x x f f x f x f x n n ++⋅⋅⋅≤++⋅⋅⋅+，得： 121221222()n nn x x x n x x x ≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅. 化简整理得：1212222()()n nx x x x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+22n ≥， 所以1212222()()n nx x x x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+的最小值为22n . 例题10 设函数()f x 为[,]a b 上的凸函数，则求()f x 在闭区间[,]a b 上的最值. 解 对于任意的[,]x a b ∈，取b x b aλ-=-，（[0,1]λ∈），所以有(1)x a b λλ=+-. 进而有()[(1)]f x f a b λλ=+-，又()f x 为[,]a b 上的凸函数所以有：()[(1)]()(1)()min{(),()}f x f a b f a f b f a f b λλλλ=+-≥+-≥.所以()f x 的最小值为min{(),()}f a f b .记区间[,]a b 的中点为A ，且2a b A +=，设任意的[,]x a b ∈关于A 的对称点为'x 则有 '22x x a b ++=，又()f x 是[,]a b 上的凸函数，所以有： ''()()()()()2222a b x x f x f x f x m f f ++++=≥≥，即：()2()2a b f x f m +≤-）.（其中min{(),()}m f a f b =）.所以()f x 的最大值为 ：2()2a b f m +-，（其中min{(),()}m f a f b =. 注意：此例题可以表述为若函数()f x 在[,]a b 为凸函数，则()f x 在闭区间[,]a b 上有界.例题11 若,,,a b c d R +∈，且16a b c d +++=，求2222a b c d +++的最小值.解 设2()f x x =，则'()2f x x =，''()20f x =>，所以()f x 为凹函数.所以有：1()[()()()()]44a b c d f f a f b f c f d +++≤+++. 即：22222()1()164a b c d a b c d +++≤+++. 化简整理得：222264a b c d +++≥，当且仅当4a b c d ====时等号成立.小结：求函数最值的常用方法是利用函数的单调性、求导和均值不等式等方法，但是求函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠在学习过程中不断积累，掌握规律.而利用函数的凹凸性求解，为求函数最值开辟了一条新的路径.从上面几个例题可以看出利用函数凹凸性去求函数最值的关键还是构造合适的辅助函数. 4.3 利用函数的凹凸性作函数图象图象是刻画函数变量之间关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，是探求解题途径、获得问题结果的重要工具.但是在实际的解题过程中，并不是所有的函数图形都能够很容易地作出.下面我们就利用函数的凹凸性去解决一些函数作图问题.例题12 作出函数2()[cos(2arccos )]f αα=的图形.解析 题目中的函数解析表达式不够直观，我们考虑将函数做恒等变换，之后再利用函数的凹凸性作出函数图象.解 因为2cos(2arccos )12sin cos arc αα=-，设sin cos x arc α=，[1,1]x ∈- ，所以所给函数的表达式可以写成22()(12)f x x =-，且函数的定义域为[1,1]x ∈-，该函数是偶函数，它的图形关于y 轴对称，因此只需讨论区间[1,0]-上的图形即可.'()8(1)(1)f x x =-，进而得到：''2()4881)f x x =-=-+，在区间[1,0]-上，'()0f x =的解为0x =或x =''()0f x =，的解为x =.用点2x =-和6x =-把区间[1,0]-划分为[1,2--，[,26--，[6-三个部分区间.在各部分区间内'()f x 及''()f x 的符号、相应曲线弧的升降、凹凸性、极值点因而在2x =-处，()f x 取极小值0，再由函数关于y 轴对称，所以在0x =处，()f x 取极大值1，在2x =处，()f x 取极小值0，曲线有两个拐点 4()69-和4)69. 函数的图象如下图所示：小结：利用函数凹凸性作图的步骤： (1)确定函数()f x 的定义域，讨论函数的一些基本性质，如奇偶性、对称性和周期性等，并求出函数的一阶导数'()f x 及二阶导数''()f x .(2)求出方程'()0f x =和''()0f x =在定义域内的全部实根及使'()f x 和''()f x 不存在的点，用以上两种点将函数()f x 的定义域划分成几个部分区间.(3)确定在这些部分区间内'()f x 及''()f x 的符号，并由此确定函数图形的升降和凹凸、极值点和拐点.(4)确定函数图形的水平铅直渐近线.(5)列表并作出函数图象.函数的凹凸性揭示了函数因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数其它性质，可使我们对函数图象的描绘更加的准确.4.4 利用函数的凹凸性判断函数单调性判断函数单调性的一般方法是利用导函数的正负来判断的，但是利用函数的凹凸性来判断函数的单调性，作为判断函数单调性方法的补充，是需要我们了解的.例题13 设()00f =，()f x 在[)0,+∞上为非负的严格凹函数，()()f x F x x=，()0x >.试证明：()(),f x F x 为严格递增的函数.证明 因为()f x 为严格凹函数，()00f =，所以()()()()00f x f x f F x x x -==-为严格递增的.因为()f x 是非负函数，所以对于 0x ∀>，有()()00f x f ≥=.若某点10x >，使得()10f x =，则在[]10,x 上有()0f x ≡ 与()f x 为严格凹函数矛盾. 所以0x ∀>，有()0f x >，最后设120x x <<，则：()()()()()21112111000f x f x f x f f x x x x x -->=>--，得()f x 为严格递增的()0x >.结 束 语本文从函数凹凸性的概念出发，通过具体的实例较系统地介绍了函数凹凸性的常规的判定方法及在证明不等式、求函数最值以及在作函数图象时的应用.把握函数凹凸性在数学中的应用，关键就是在把握函数凹凸性的基本概念、定理的基础上，同时加强此方面的训练和研究.函数凹凸性的应用，拓展了学习和研究的邻域．由于受到各种因素的限制，本文也有一定的不足之处.函数凹凸性的判别方法与应用还有很多，本文只介绍了其中的一部分，还有其它方法与应用可以补充.参考文献[1] 宣立新. 高等数学(上册)[M].高等教育出版社，1999.[2] 华东师范大学数学系[M].数学分析.高等教育出版社，2007.[3] 毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳[M].华中理工大学出版社，2002.[4] 于淑兰.关于曲线拐点的判别法[J].数学的实践与认识，2003，33(1):98-100.[5] 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（第三版）[M].高等教育出版社，1995.[6] 沈家英，方永宏.高等数学(上册)[M].山东大学出版社，1995.[7] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，2007.[8] 孙清华，郑小姣.高等数学内容、方法与技巧[M].华中科技大学出版社，2004.[9] Fred Brauer .Fundamentals of Advanced Mathematics[M] .Higher Education Press，2006.[10] 何卫力，缪克英.高等数学方法导引(上)[M].北京交通大学出版社，2004.[11] 盛祥耀.高等数学[M].高等教育出版社，2004.[12] 刘士强.数学分析[M].广西民族出版社，2000.The discrimination approach and application of concave and convex function Author: Zhu Hongli Supervisor: Xing BaohuaAbstract Concave and convex function is one of the important properties in function.It reflects curving direction of the curve on the function image, and it allows you to grasp the curve properties better about the corresponding function. This paper bases on analysis about the concept of convex and concave function, and focuses on exploring the discrimination approach and application of concave and convex function, such as the application in inequality proving and function max/min value, etc. It makes a detailed exposition with relevant examples.Keywords concave and convex derivative inequality application.。
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)充分条件与必要条件(解析版)
第04讲充分条件与必要条件模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义；2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系；3．培养逻辑思维能力，能够在复杂情况下运用充分条件与必要条件进行推理，解决数学问题.知识点1充分条件与必要条件1、命题（1）命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．（2）命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．2、充分条件与必要条件（1）一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由条件p 通过推理可以得出结论q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ⇒，并且说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．（2）如果“若p ，则q ”为假命题，那么由条件p 不能推出结论q ，记作p q ¿.这时，我们就说，p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件．（3）充分条件与必要条件的关系p 是q 的充分条件反映了p q ⇒，而q 是p 的必要条件也反映了p q ⇒，所以p 是q 的充分条件与q 是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同．而p 是q 的充分条件只反映了p q ⇒，与q 能否推出p 没有任何关系．3、充要条件（1）充要条件的概念：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均为真命题，即既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔．此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．（2）充要条件的含义：若p 是q 的充要条件，则q 也是p 的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同．（3）充要条件的等价说法：p 是q 的充要条件又常说成是q 成立当且仅当p 成立，或p 与q 等价．4、充分条件与必要条件的传递性（1）若p 是q 的充分条件，q 是s 的充分条件，即p q ⇒，q s ⇒，则有p s ⇒，即p 是s 的充分条件；（2）若p 是q 的必要条件，q 是s 的必要条件，即q p ⇒，s q ⇒，则有s p ⇒，即p 是s 的必要条件；（3）若p 是q 的充要条件，q 是s 的充要条件，即p q ⇔，q s ⇔，则有p s ⇔，即p 是s 的充要条件．5、条件关系判定的常用结论p 与q 的关系结论p q ⇒，但q p ¿p 是q 的充分不必要条件q p ⇒，但p q ¿p 是q 的必要不充分条件p q ⇒且q p ⇒，即p q ⇔p 是q 的充要条件p q ¿且q p¿p 是q 的既不充分也不必要条件知识点2从不同角度理解充分必要性1、从命题的角度充分理解充分必要性若把原命题中的条件和结论分别记作p 和q ，则原命题与逆命题同p 与q 之间有如下关系:（1）若原命题是真命题，逆命题是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若原命题是假命题，逆命题是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若原命题和逆命题都是真命题，则p 和q 互为充要条件；（4）若原命题和逆命题都是假命题,则p 是q 的既不充分也不必要条件.2、从集合的角度理解充分必要性若条件p ，q 以集合的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则由A ⊆B 可得，p 是q 的充分条件，（1）若AB ，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；（3）若AB ，则p 是q 的必要不充分条件；（4）若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；（5）若A ⊈B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；知识点3充分、必要、充要条件的证明1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。
判断函数凸性的若干方法
JOURNAL OF COMMUNICATION UNIVERSITY OF CHINA （SCIENCE AND TECHNOLOGY ）中国传媒大学学报（自然科学版）第27卷，第6期Vol 27，No 62020年12月Dec ，2020判断函数凸性的若干方法吴菁菁，朱永贵（中国传媒大学数据科学与智能媒体学院，北京100024）摘要：凸函数和严格凸函数是线性规划和非线性规划都要涉及的基本概念，关于凸函数和严格凸函数的一些定理在凸分析以及最优化问题的理论证明中具有重要作用。
本文分别利用不等式方法及求解Hesse 矩阵方法判断多元二次函数的凸性。
关键词：凸函数；严格凸函数；Hesse 矩阵中图分类号：O174．13文献标识码：A文章编号：1673－4793（2020）06－0079－05Several methods for determining the convexity of a functionWU Jing-jing ，ZHU Yong-gui（College of Data Science and Intelligent Media ，Communication University of China ，Beijing 100024，China ）Abstract ：convex function and strictly convex function are the basic concepts involved in linear program-ming and nonlinear programming．Some theorems about convex function and strictly convex function play an important role in the theoretical proof of convex analysis and optimization problems．In this paper ，we use inequality method and Hesse matrix method to judge the convexity of quadratic functions．Key words ：convex function ；strictly convex functions ；Hesse matrix1引言凸函数是一类基本函数，具有非常好的分析学性质，在极值研究、不等式证明、数学规划、逼近论、变分学、最优控制理论、对策论等领域有着广泛的应用。
单调性与凸凹性
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, y x3, y x0 0, 但在(,)上单调增加. 例4 当x 0时,试证x ln(1 x)成立. 证 设f ( x) x ln(1 x), 则 f ( x) x .
C
B
问题:如何研究曲线的弯曲方向? A
o
x
y
y f (x)
y
y f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
定义 设 f ( x)在(a, b)内连续,如果对(a, b)内任意
两点 x1, x2 , 恒有
f ( x1 x2 ) 2
f ( x1 ) f ( x2 ) , 2
x2 x1 0,
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
当x 0时,导数不存在.
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 (,0]， [0,).
单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调．
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点．
凹凸性
则 f (t) ln t 1,
f (t) 1 0, t
f (t) t ln t 在 ( x, y) 或 ( y, x), x 0, y 0 是凸的.
于是 1[ f ( x) f ( y)] f ( x y)
2
2
即 1[ x ln x y ln y] x y ln x y ,
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思考题解答
因为 f ( x0 ) 0只是( x0 , f ( x0 ))
为拐点的必要条件，
故( x0 , f ( x0 ))不一定是拐点.
例 f ( x) x4 x (,) f (0) 0
但(0,0)并不是曲线 f ( x) 的拐点.
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练习题
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方法2: 设函数 f ( x) 在 x0 的邻域内三阶可导,且 f ( x0 ) 0,而 f ( x0 ) 0,那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x)的拐点.
例3 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
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利用函数的凹凸性可以证明不等式.
例 (1)a,b R ,有2arctan(a b) arctana arctanb.
2
提示： 取f ( x) arctan x.
ab
(2)a,b R,有e 2 1 (ea eb ). 2
(1) x0两近旁f ( x)变号,点( x0, f ( x0 ))即为拐点; (2) x0两近旁f ( x)不变号,点( x0, f ( x0 ))不是拐点.
函数凹凸的定义(精)
f x2 f x1 f x1 f x2 , x2 x1
所以 f 为I上的递增函数。
( 2) ( 3) : 在 以 x1 , x2 x1 x2 为端点的区间上，应用拉格朗日中值定理 和 f 递增条件，有
f x2 f x1 f x2 x1 f x1 x2 x1 . 即f x2 f x1 f x1 x2 x1 .
定义
设f ( x )定义在区间 I 上, 如果 x1 , x2 I , (0,1), 恒有 f (x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ), 那末称 f ( x ) 为 I 上的凸函数。
如果 x1 , x2 I , (0,1), 恒有 f (x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ), 那末称 f ( x ) 为 I 上的凹函数。
f x1 f x3 f x3 x1 x3
(1 ) f x2 (1 ) f x3 (1 ) f x3 ( x2 x3 )
两式相加，并将 x3 x1 1 x2代入,
f x1 1 f x2 f x3 f x1 1 x2 .
a b c 3
a a bbc c , 其中a，b，c为正数。
1 证 设 f x x ln x , x 0, 则 f x ln x 1, f x ， x 显然x 0时，f ( x ) 0, 故f为严格凸函数 ,
a b c 1 f f a f b f c , 3 3 abc abc 1 即 ln a ln a b ln b c ln c , 3 3 3 a b c abc 3 a b c a b c abc , 故 a b c . 又 3 3
高等数学课件凹凸性
y 令y
12 x 3 0,
12x2, 得 x1
0,
y x2
36 x( 2. 3
x
2). 3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x)
0
0
f ( x) 凹的
拐点 (0,1)
凸的
拐点 (2 3 ,1127)
凹的
$3-7曲线的凹凸与拐点 10
五、(1,1),(2 3, 1 3 ),(2 3, 1 3 ).
4(2 3)
4(2 3)
$3-7曲线的凹凸与拐点 23
0.5
-2
2
-0.5
-1
-1.5
六、a 3 , b 9 . 22
七、 k 2 . 8
4
第五题图
$3-7曲线的凹凸与拐点 24
y
B
A
oa f ( x) 递增
凹
bx y 0
A oa
f ( x) 递减
bx y 0
凸
$3-7曲线的凹凸与拐点 4
定理1 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有
一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凹的( ); (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凸的( ).
2
2
那末称 f ( x) 在 I 上的图形是（向上）凸的(convex)
（或凸弧）．
如果f ( x)在[a,b]内连续,且在 (a,b)内的图形是凹 (或凸)的,那末称 f ( x)在[a,b]内的图形是凹(或凸)的 ;
第二章2-10-函数的凹凸性与拐点
一、函数凸性的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
1
y
yf(x)
下凸
y yf(x)
上凸
o x1
x2 x o x1
x2 x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
2
定义： 设f(x)在区间[a,b]上连续，若曲线 y=f(x)上的任意 两点间的弧段，总是位于连接这两点的弦之下，则称 函数 f(x)在(a,b)内为下凸；若曲线 y=f(x)上任意两 点间的弧段，总位于连接这两点的弦之上，则称 函数 f(x)在(a,b)内为上凸; 函数下凸或上凸的性质 统称为函数的凸性.
有时也用这两个不等式来定义函数上凸、下凸.
6
二、函数凸性的判定
y
yf(x) B
yf(x)
y
B
A
oa
bx
f(x) 递增 fx0
A
oa
bx
f(x)递减 fx0
定理1 设fx在a,b上连续，a在 ,b内二阶可导，
1若f x 0，则f x在a,b内为下凸； 2 若 f x 0 ， fx 在 则 a ,b 内.为
2f(x)4(xx 32), f(x)8(xx4 3).
令f(x)0, 得驻 x点 2,
令 f(x)0, 得点x3.
3 列 表 以 确 定 单 调 性 , 极 值 , 凸 性 , 拐 点 .
30
x ( ,3) 3 (3,2) 2 (2,0) 0
同理可证x→-∞时的情况.
25
注意: 如(1 果 )lim f(x)不存 ; 在 x x
(2 )lim f(x )a存 ,但 在 li[m f(x ) a]不 x ,存
(2021年整理)高三数学模拟试卷(33)
(Ⅰ）证明: 平面 ；
（Ⅱ）证明： ．
18．（本小题满分13分）设函数f(x）=x3–3ax2+3bx的图象与直线12x+y–1=0相切于点(1,–11）．
（1）求a，b的值;
（2）求函数f（x）的单调区间．
考点：本题考查充分条件、必要条件、充要条件
点评：解决本题的关键是正确解分式不等式
4．D
【解析】
试题分析：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②,
考点:本题考查三视图
点评：解决本题的关键是在空间坐标系中作出几何体的形状
5．C
【解析】
试题分析：由题意可知 ，解得 ，
由 ，由正弦定理得
考点：本题考查余弦定理，正弦定理
点评:解决本题的关键是熟练掌握余弦定理，正弦定理
15．—4或2，
【解析】
试题分析：由题意可知，当α≤0时，则f（α）=—α=4,解得α=—4;当α〉0时，f（α）= ,解得α=2或α=-2（舍去)
考点:本题考查分段函数
点评：解决本题的关键是注意对α分情况讨论
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为高三数学模拟试卷(33)的全部内容。
2014—2015学年度？？？学校4月月考卷试卷副标题ຫໍສະໝຸດ 1．若集合 ，则 等于（ )
A． B． C． D．R
2．命题“ , "的否定是（ )
A． ， B． ,
C． , D． ，
点评：解决本题的关键是零点的个数问题，常借助于图象，转化为两个图象交点个数的问题
2025年人教版(2024)高二数学上册月考试卷含答案
2025年人教版（2024）高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、设正实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于A.B.C.D.2、如图，已知二面角α－PQ－β的大小为60°，点C为棱PQ上一点，A∈β，AC＝2，∠ACP＝30°，则点A到平面α的距离为( )A. 1B.C.D.3、【题文】已知等差数列的前三项为则此数列的通项公式为（）A.B.C.D.4、已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A. m⊂α，n∥m⇒n∥αB. m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC. m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD. n⊂β，n⊥α⇒α⊥β5、复数i(i+1)等于()A. 1+iB. 鈭�1鈭�iC. 1鈭�iD. 鈭�1+i评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)6、将9个大小相同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于该盒子的编号数，一共有____种不同的放法．7、设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件，那么A是B的____条件．8、已知：如图，一个圆的两条弦AB和CE相交于点D，BE=2，BC=2BD=2∠1=∠2则EC=____，∠CBE=____．9、【题文】若则的值是 ___________.10、【题文】已知则____.11、已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（2015）+f（-2014）的值为 ______ ．12、若（x+i）i=-1+2i（x∈R），则x= ______ ．13、如果px>2qx2>4那么p是q的 ______.(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空)14、双曲线x29鈭�y216=1的离心率等于 ______ ．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、计算题(共2题，共12分)22、已知a为实数，求导数23、解不等式|x﹣2|+|x﹣4|＞6．评卷人得分五、综合题(共2题，共16分)24、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．25、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】【解析】试题分析：结合选项，假设a、b、c都小于即a< b< c<则a+b+c<1与已知a+b+c=1矛盾。
数学中的凸凹
数学中的凸凹作者：陈颂闫晓芳来源：《读写算》2014年第30期在数学中，有很多概念很直观，可以形象的来理解。
数学中，凸凹的概念经常出现，例如，凸四边形、凸集、凸函数、凹函数等等。
我们来看一下凸字的解释：高出 [convex；raised]，高于周围的，如球形或圆形的外部或其一部分那样弯曲的——指从外面观看一个球面或曲线；使突出于周围表面或范围之外等。
这些解释中我们可以观察到数学的因素，那么，在数学的概念中，凸和凹都有什么含义呢？凸凹是对立的，我们主要来了解下凸的概念：一、凸多边形凸多边形是我们在数学的学习过程中，最先遇到的关于数学的凸的概念。
它很好理解，什么是凸边形呢？举个例子，矩形是凸边形，而五角星就不是，它是凹边形。
这下，我们对它就有一个直观的认识。
那么，它的定义是什么呢？凸多边形又可称为平面多边形，是多边形中的一种，与凹多边形相对，一般在中学阶段对多边形的学习只涉及凸多边形。
以下是它的性质：1.凸多边形的内角均小于180°，边数为n（n为整数且n大于2）的凸多边形内角和为（n-2）×180°，但任意凸多边形外角和均为360°，并可通过反证法证明凸多边形内角中锐角的个数不能多于3个。
2.凸多边形所有对角线都在内部，边数为n的凸多边形对角线条数为n（n-3）/2，其中通过任一顶点可与其余n-3个顶点连对角线。
这些性质，凹边形是否满足呢？我们想想五角星，显然有些内角是大于180°的，而锐角也是多于3个，其他的性质读者可以自己验证和思考一下。
二、凸集（Convex Set）现在数学学习的概念的时间越来越提前，凸集这个概念在奥数中出现，在高中的学习中也出现了，当然，在大学及以后的学习中也不可缺少。
这是一个很基本、很重要的概念。
我们来看一下凸集的定义：实数 R （或复数 C 上）在向量空间中，如果 S 中任两点的连线内的点都在集合 S 内，集合 S 称为凸集。
Chapter05.4-6函数极值、单调性、凹凸性、作图
f (x1)
O x1 x1+(1)x2 x2 x
曲线(函数图形)的凸性依函数的凸性相应定义！
二、等价定义
定理 设函数 f 在区间I上定义, 则下面3条等价： (i) f 为I上的凸函数； (ii) x1< x2 < x3I ：
y
f (x)
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x3 ) f ( x2 ) ; x2 x1 x3 x2
若f (x) 0, 且仅有限个点处f (x) = 0, 则f (x)严格单调增加. 函数单调区间求法
1) 求函数的驻点和不可导点;
2) 用上述点把函数定义域分成若干子区间; 3) 在子区间上讨论导函数的符号, 确定函数单调性. 例1 求函数f (x) = x2/3(x–5)的单调区间.
问题 f 在a, b处必定单侧连续吗？
定理4 设f (x)是区间I上的凸函数，则x1< x2I，有
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) x2 x1
推论 设f (x)是(a, b)内的凸函数, 则 f(x)和f+(x)在(a, b)内递增.
二、函数的极值和最值
1. 函数极值判别法
Fermat引理 可导的极值点一定是驻点！ 极值也可能在不可导点取得，因此极值点一定包含在
函数性态的研究
即当 x 0 时，恒有 x ln(1 x).
5.函数极值的判别法
y
y
(是极值点情形)
o
x0
xo
x0
x
y
y
o
x0
xo
(不是极值点情形)
x0
x
注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
5.函数极值的判别法1
（1）极值第一判别法：
设函数 f (x) 在 x0 的某邻域内连续 , 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
(1) f (x) “左正右负” , 则 f (x) 在 x0 取极大值 . (2) f (x) “左负右正” , 则 f (x) 在 x0 取极小值 ;
x (, 1) 1 (1, 2) 2 (2, )
f (x)
0
0
f (x)
2
1
y
2
故
的单调增区间为 ( , 1) , (2 , ); 1
的单调减区间为 (1 , 2).
o 12 x
例2 讨论函数 y xe x 的单调性.
解 y e x ( x 1) D (, ) x (, 1) y 0 故函数严格单调减少；
y
3) 判别
因 f (0) 6 0 , 故
为极小值 ;
1
1x
又 f (1) f (1) 0, 故需用第一判别法判别.
7.极值判别法的推广----极值的第三判别法
若函数
在点 处有n 阶导数，且
1) 当 n为偶数时,
黑龙江省绥滨县第一中学2025届高考数学考前最后一卷预测卷含解析
黑龙江省绥滨县第一中学2025届高考数学考前最后一卷预测卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件2．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向右平移5π6个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向左平移5π12个长度单位3．已知a >0，b >0，a +b =1，若 α=11a b a bβ+=+，，则αβ+的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．二项式52x⎫⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．1605．已知集合{}10,1,0,12x A x B x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（ ）A ．{}11x x -<<B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}0,16．若[]0,1x ∈时，|2|0xe x a --≥，则a 的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1-7．已知函数()e x f x x=,关于x 的方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则m 的取值范围是( )A ．44,e e 1⎛⎫---⎪+⎝⎭B ．()4,3--C ．4e ,3e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭D ．4e ,e 1∞⎛⎫--- ⎪+⎝⎭ 8．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为( )A ．60B ．80C ．90D ．1209．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则（ ）A ．()()22sin sin sin sin f A B f B A <B ．()()22sinC sin sin sin f B f B C<C ．()()22cos sin sin cos f A B f B A >D ．()()22cosC sin sin cos f B f B C >10．已知i 为虚数单位，若复数12i12iz +=+-，则z = A ．9i 5+ B ．1i - C ．1i +D ．i -11．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．1212．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，其线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆybx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1210010y y y y ++=”的充要条件；其中真命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。