储油罐变位识别罐容表标定08769

2018高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

A题储油罐的变位识别与罐容表标定

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表<即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况.

许多储油罐在使用一段时间后，因为地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化<以下称为变位），从而导致罐容表发生改变. 按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定. 图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体. 图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图.

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题.

<1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐<两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.1°的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示. 请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值.

<2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数<纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系. 请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据<附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值. 进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性.

附件1：小椭圆储油罐的实验数据

附件2：实际储油罐的检测数据

地平线

油位探针

2018年全国大学生数学建模竞赛A 题解法评述

该问题是来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题，问题由两大部分组

(b> 小椭圆油罐截面示意图

水平线

1.2m

(a> 小椭圆油罐正面示意图

图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图

油位探针

地平线 图

2 储油罐纵向倾斜变位后示意图

图3 储油罐截面示意图

油位探针

油位探针

成：

<1）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知变位参数的情况下，检测出油位高度和油量的对应数值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容表，属于“正问题”.

<2）根据实际检测数据，正确识别罐体是如何变位的，具体变了多少？同时要给出罐容表的修正标定方法和结果，属于“反问题”.

具体解法如下：

第一部分：小椭圆型实验罐的有关问题

按如下方式引入空间直角坐标系OXYZ<左手系）：

以油位探针所在直线与罐体底部的交点为原点O；

以罐体经过原点O的高为X轴，X轴正向指向罐体右端；

以油位探针为Z轴，h增加的方向为Z轴正方向.

符号说明：

a、b分别为罐体截面椭圆的长、短半轴

L为罐体长度，L1、L2分别为罐体左、右截面到油位探针的距离

为罐内的油位高度；

α为罐体纵向倾斜角度；

为罐体纵向倾斜α角时、油位高度为h时的实际罐容量的理论值；

为对应的实际值；

为罐体纵向倾斜α角、油位高度为h时，截面X=x处油面到罐底的距离；

简记为，简记为.

于是有

<1）无变位情况下，，，容易求得：

代入参数的具体值，可计算得到无变位情况下的罐容表<理论值，见表1）.

a=8.9。b=6。L=24.5。

V0=@(h>L.*(pi/2*a*b+a/b.*(h-b>.*sqrt(2*b.*h-h.*h>+a*b.*asin(h./b-1>>。

H=(0.1:.1:12>'。

D0=V0(H>。

评注1：对附件一在无变位情况下进油<或出油）的油位高度与实际罐容量数据作

3次样条插值，并与理论值比较，可以得到修正公式，但是这一步评阅要点没有要求。

<2）罐体纵向倾斜α角时，仅考虑α>0. 容易看出<）：

现在，，. 可以分三种情况讨论：

情况一，当时，即，有

此时，有

(1>

情况二，当时，即，有

此时，有

(2>

情况三，当时，即，有

此时，有

(3> 记函数

用MATLAB的数值积分函数quad<自适应辛普森求积分法），根据公式(1>~(3>，对函数f(x>计算数值积分，计算出修正后的罐容表标定值<理论值，见表2）计算表2的MATLAB脚本：

D41=[]。H=(0.1:.1:12>'。

for h=0.1:.1:12

D41=[D41。v41(h>]。

end

函数M文件v41.m

function V=v41(h>

alpha=4.1。a=8.9。b=6。

L1=4。L2=20.5。c=tand(alpha>。

f=@(x>(h-b-c*x>/2.*sqrt(b*b-(h-b-c*x>.^2>+b*b/2*asin((h-b-

c*x>/b>+pi/4*b*b。

if length(h>>1 || h<0 || h>2*b

return

elseif h<=L2*c

V=2*a/b*quad(f,-L1,h/c>。

elseif h<=2*b-L1*c

V=2*a/b*quad(f,-L1,L2>。

else V=2*a/b*quad(f,(h-2*b>/c,L2>+pi*a*b*((h-2*b>/c+L1>。

end

油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L

10 70.13 40 965.66 70 2232.50 100 3450.72

20 281.86 50 1371.88 80 2661.42 110 3776.64

30 595.25 60 1798.52 90 3072.43 120 4012.74

位的影响十分明显. 考虑油位高度h从1cm到120cm每隔1cm的变化过程，相同油位高度对应的实际罐容量都因罐体纵向倾斜变位而减少，最大误差为257.5L，平均误差为199.54L，最大相对误差为184.88%，平均相对误差为32.8%<相对误差以修正后的罐容表为分母）.

评注2：对附件一在纵向倾斜变位情况下进油<或出油）的油位高度与实际罐容量数据作3次样条插值，并与修正后的罐容表<理论值）比较，误差较小，理论值比实际值略大，但是误差没有明显的数量规律，与无变位情况恰好相反，可见题目对这方面的误差分析并不关注，题目关注的是根据数学模型<积分）比较变位对罐容表的影响。

第二部分：实际大储油罐的有关问题

<1）根据储油罐纵向的变位方向，对于不同的油位高度，分别考虑油罐的两端有

油和一端有油的情况建模分析，可以得到罐内实际储油量与纵向倾斜变位参数、

横向偏转变位参数和油位高度的关系模型，即. 详细的解读模型表述形式比较复杂，重在分析过程，注意油罐两端含油的不同情况.

第一步，类似小椭圆罐的讨论，建立坐标系；

第二步，定义清楚纵向倾斜变位参数、横向偏转变位参数；

第三步，可先假设，类似小椭圆罐的讨论，建立的表达式；

第四步，存在横向偏转变位角度时，实际油位高度与显示油位高度的关系为

将此表达式代入的表达式；

第五步，采用数值积分方法计算.

当然，也可能通过实际数据采用数值方法、项目方法或几何方法等近似方法实现，但应关注引入变位参数的方法和表示形式的合理性.

蒙特卡洛方法<长度单位为dm，体积单位为L）：

第一步，类似小椭圆罐的讨论，建立坐标系，并将纵向倾斜变位参数、横向偏

转变位参数定义成地垂线向上方向的方向角：

，

第二步，写出显示高度为h的油面的平面方程

和油罐的曲面方程