一元二次方程专题复习资料

一元二次方程专题复习
知识盘点
1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。

2. 一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：
①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；
②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；
③配方，即方程两边都加上 的平方；
④化原方程为2()x m n +=的形式，
如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。

如果n ＜0，则原方程 。

（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：
①将方程的右边化为 ；
②将方程的左边化成两个 的乘积；
③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；
④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

3.一元二次方程的根的判别式 .
（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根, 即-----=-----=2,1x x
（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x , （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。

4. 一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，
则12x x += ，12x x =
提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。

5. 列一元二次方程解应用题
列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。

考点一一元二次方程的基本概念及解法
例1、已知关于x的方程x 2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为A．－１B．0 C．1 D．2
例2、一元二次方程x（x－2）=2－x的根是（）
A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2
考点二一元二次方程根的判别式
例3、关于x的方程2210
x kx k
++-=的根的情况描述正确的是( )．A．k为任何实数．方程都没有实数根
B，k为任何实数．方程都有两个不相等的实数根
C．k为任何实数．方程都有两个相等的实数根
D．根据k的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
例4、已知关于x的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）
A、a＜2
B、a＞2
C、a＜2且a≠l
D、a＜﹣2
考点三 一元二次方程根与系数的关系
例5、关于的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的实数解是x 1和x 2。

（1）求k 的取值范围；
（2）如果x 1+x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数，求k 的值。

【对应训练】已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ，且满足12123320x x x x ---=.求242(1)4a a a
++
⋅-的值。

考点四 列一元二次方程解应用题
例6为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．
【对应训练】广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8折销售；
②不打折，一次性送装修费每平方米80元，
试问哪种方案更优惠？
误区点拨
一、忽视等式的基本性质，造成失根
例1、解方程：2(1)3(1)x x x +=+.
错解：两边同除以(1)x +，得23, 1.5x x ==
剖析：方程两边同除以一个式子时忽略了式子可能为0.
正解：
二、忽视二次项系数a≠0，导致字母系数取值范围扩大
例2、如果关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0，求m 的值．
错解：将x ＝0代入方程中，得22(2)03040m m -⋅-⨯+-=，
24m =，2m =±.
剖析：由一元二次方程的定义知：20m -≠，
而上述解题过程恰恰忽略了这一点，
正解:
三、忽视一元二次方程有实根的条件Δ≥0，导致错解
例3、已知：1x 、2x 是方程22(2)350x k x k k --+++=的两实根，
求2212x x +的最大值.
四、忽略挖掘题目中的隐含条件导致错解
例4、若2222(1)(3)5x y x y +++-=,则22x y +=_________.
五、忽视“方程有实根”的含义，导致字母系数取值范围缩小
例5、.已知关于x 的方程22(1)10kx k x k -++-=，当k 为何值时，方程有实数根？
六、忽略实际问题中对方程的根的检验，造成错解
例6.有一块长80cm ，宽60cm 的薄铁片，在四个角截去四个相同的小正方形，然后
做成一个底面积为1500cm²的没有盖子的长方体盒子，求截去的小正方形的边长。

单元训练
一、选择题
1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ．2210x x
+= B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+= D ．223250x xy y --=
2. 若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 有一根为0，则m 的值等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0
3. 关于x 的一元二次方程240x x c ++=中，
0c <，该方程的解的情况是: ( ) A ．没有实数根 B ．有两个不相等的实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．不能确定 4. 已知3是关于x 的方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A.－2
B. 2
C. 5
D. 6
5.用配方法解方程23610x x -+=，则方程可变形为（ ）
A ．21(3)3x -=
B ．213(1)3
x -= 6.设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009
7. 方程29180x x -+=的两根分别是是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A ．12
B ．12或15
C ．15
D ．不能确定 8．已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是( )
A.a<2 B,a>2 C.a<2且a ≠1 D.a<2 9.某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )
A. ()22891256x -=
B. ()2
2561289x -=
C. 289(1-2x)=256
D.256(1-2x)=289
10. 已知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ＞0）的两个实数根x 1，x 2满足x 1+x 2=4和
x 1•x 2=3，那么二次函数ax 2+bx+c （a ＞0）的图象有可能是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
二、填空
11.若1x ，2x 是方程210x x +-=的两个根，则2212x x +=__________．
12.已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程()()120x x --=的两根，且122O O =，则1O ⊙和2O ⊙的位置关系是 ．
13.已知a 、b 是一元二次方程x 2－2x －1=0的两个实数根，则代数式（a －b ）（a ＋b －2）＋ab 的值等于________.
14. 设关于x 的方程03)1(222=-++-k x k x 的两根x 1、x 2满足
42)(21221=-+x x x x ，则k 的值是 . .
15 .如右图，已知线段AB 的长为a ，以AB 为边在AB
的下方作正方形ACDB ．取AB 边上一点E ，以AE 为
边在AB 的上方作正方形AENM ．过E 作EF 丄CD ，
垂足为F 点．若正方形AENM 与四边形EFDB 的面积相等，
则AE 的长为 ．
三、解答题
16. 解方程
（1）x 2－4x ＋1=0 （2） 2(34)34x x -=-
17、已知关于x 的方程x 2－2（k －1）x+k 2=0有两个实数根x 1，x 2.
（1）求k 的取值范围；
（2）若12121x x x x +=-，求k 的值.
18.已知双曲线x y 3
=和直线2+=kx y 相交于点A （1x ，
1y ）和点B （2x ，2y ），
且102
221=+x x ,求k 的值.
19. 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点。

据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆。

求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2011年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该市从2011年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%。

假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆。

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20.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =．
（1）求一次函数y kx b =+的表达式；
（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．。