用MATLAB进行数据拟合讲解

(2)
i1 k 1
问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。
线性最小二乘法的求解：预备知识
超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组

r11a1


r12a2

r1m am

y1
(n m)
rn1a1 rn2a2 rnmam yn
拟合
对于情况较复杂的实际问题（因素不易化简，作用 机理不详）可直接使用数据组建模，寻找简单的因果变 量之间的数量关系， 从而对未知的情形作预报。这样组 建的模型为拟合模型。 拟合模型的组建主要是处理好观 测数据的误差，使用数学表达式从数量上近似因果变量 之间的关系。拟合模型的组建是通过对有关变量的观测
数据的观察、分析和选择恰当的数学 表达方式得到的。
拟合
1. 拟合问题引例 2.拟合的基本原理
拟合问题引例1
已知热敏电阻数据：温度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 电阻R() 765 826 873 942 1032
求600C时的电阻R。
1100
1000
设 R=at+b
可得最小二乘意义下的解。
3.多项式在x处的值y可用以下命令计算： y=polyval（a，x）
y
+
+
+
+
+ (xi +i,yi)
+
+
y=f(x) +
x i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
拟合与插值的关系
问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。
最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0
5
ÒÑÖªÊý¾Ýµã 10
25
ÒÑÖªÊý¾Ýµã 20
15
È ý ´ Î ¶ à Ï î Êlin½es²t å Ö µ
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
15
È ý ´ Î ¶ à Ï î Êne½ar²estå Ö µ
i 1
则称a为上述超定方程的最小二乘解。
线性最小二乘法的求解
所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是 求以下超定方程组的最小二乘解的问题。
其中
Ra=y
r1 ( x1 ) rm ( x1 )
R
,
r1 ( xn ) rm ( xn )
a1
a


900
a,b为待定系数
800
700
20
40
60
80
100
拟合问题引例2
已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
1、线性最小二乘拟合 2、非线性最小二乘拟合
用MATLAB作线性最小二乘拟合
1. 作多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1拟合,可利用已有程序: a=polyfit(x,y,m)
输出拟合多项式系数
输入同长度
拟合多项
a=[a1, …am , am+1] (数组)） 的数组X，Y
式次数
2. 对超定方程组 Rnmam1 yn1 (m n) ，用 a R \ y
即 Ra=y
r11 r12 r1m
a1
y1
其中 R


,
a



,
y




rn1 rn2 rnm
am
yn
超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。
n
如果有向量a使得
(ri1a1 ri2a2 rimam yi )2 达到最小，
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
作半对数坐标系(semilogy)下的图形
2
10
MATLAB(aa1)
c(t) c0ekt
101
c, k为待定系数
0Biblioteka Baidu
10
0
2
4
6
8
曲线拟合问题的提法
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所 有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。

,
am
（3）
y1
y




yn
定理：当RTR可逆时，超定方程组（3）存在最小二乘解， 且即为方程组
RTRa=RTy
的解：a=(RTR)-1RTy
线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中 函数{r1(x), …rm(x)}的选取 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)；
（1）
其中 a1,a2, …am 为待定系数。
第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）：
使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 。
n
n
记 J (a1, a2 ,am )

2 i

[ f (xi ) yi ]2
i 1
i 1
nm
[ ak rk (xi ) yi ]2
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f(x)：
f=a1+a2x +
++
++
f=a1+a2x+a3x2 +
+
+ +
+
f=a1+a2x+a3x2
++ +
+ +
f=a1+a2/x +
+++ +
f=aebx
+
+
++ +
+ f=ae-bx + + ++
用MATLAB解拟合问题
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作 为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同 的。
实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？
x1 2 4
7
9
12 13 15 17
f 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1
MATLAB(cn)
20
25
25
ÒÑÖªÊý¾Ýµã 20
15 spline
10 Èý´Î¶àÏîʽ²åÖµ
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路
第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m<n, 令
f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x)