赋范线性空间

有界线性算子
(1) 线性性： ∀x = (x1, , xn ) , y = ( y1, , yn ) ∈ R ， α, β ∈ R
T T n
1
T (α x + β y) = A(α x + β y) = α Ax + β Ay = αTx + βTy
∀x = ( x1 , , xn )T ∈ R n ， Tx = Ax = ( z1 , , zm )T ∈ R m (2)有界性：
T 定义： E、 1 是赋范线性空间， : D(T ) ⊂ E → N (T ) ⊂ E1 。 设 E
（1）线性算子：若 ∀x, y ∈ D(T ), α ∈ K (数域) ，有
⎧T ( x + y ) = Tx + Ty ⎨ 即 T (α x + β y) = αTx + β Ty T (α x) = α Tx ⎩
3）范数的等价性 定义 设线性空间 E 中定义了两种范数 x 1和 x 2 如果由 xn 1 → 0 ⇒ xn 2 → 0 ，称 x 1比 x 2 更强； 若又由 xn 2 → 0 ⇒ xn 1 → 0 ，即 x 2 比 x 1更强， 则称范数 x 1与 x 2 等价。 注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数 x 1、 x 2 、 x ∞ 相互等价
m n
T 2
⎛ ⎞ = ∑ z = ∑ ⎜ ∑ aij x j ⎟ i =1 i =1 ⎝ j =1 ⎠
m 2 i
⎛ ⎞ ⎛ m n 2⎞ ≤ ∑ ⎜ ∑ aij x j ⎟ ≤ ⎜ ∑∑ aij ⎟ i =1 ⎝ j =1 ⎠ ⎝ i=1 j =1 ⎠
2
x2 = M x ∑ j
j =1
n
2
d T = : x (t ) ∈ C[1a ,b ] → x ′(t ) ∈ C[ a ,b ] 是无界线性算子 ② dt
其中
n
zi = ∑ aij x j (i = 1 ~ m) ，则由 Cauchy 不等式得
j =1
n
⎛ 2⎞ ∑ aibi ≤ ⎜ ∑ ai ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠
n
1/ 2
⎛ 2⎞ ⋅ ⎜ ∑ bi ⎟ ⎝ i =1 ⎠
n
m n
1/ 2
，
2
Tx 2 = ( z1 , z2 , , zm )
i =1
n
= max xi ，则(R n , x ∞ )是赋范线性空间。 1≤i ≤ n
n i =1
③ x 1 = ∑ xi ，则(R n , x 1 )是赋范线性空间。
例2 C[ a ,b ] 是线性空间，若 定义 则 ① x = tmax] x(t ) ， (C[ a ,b ] , x )是赋范线性空间。 ∈[ a ,b 距离 ρ(x, y) = x − y = tmax] x(t ) − y (t ) ∈[ a ,b ② x 1 = ∫a x(t ) dt ，则(C[ a ,b ] , x 1 )是赋范线性空 间。
2）赋范线性空间 （1）定义 设 E 是实数(或复数)域 K 上的线性空间。
按一定 ∀x ∈ E ⎯⎯⎯ 实数 x ≥ 0， →∃ 且满足下列三条(范数公理) 若 规则
（1）正定性： x ≥ 0,当且仅当 x = 0时 , x = 0 （2）齐次性： α x = α ⋅ x
模
（3）三角不等式 ∀x, y ∈ E , 有 x − y ≤ x + y ≤ x + y 则称实数 x 为 x 的范数，称 E 为赋范线性空间，记作
p
= (∑ xi ) ，则(l p , x
i =1
∞
1 p p
p
)是赋范线性空间
p 1/ p
⎛ ∞ 距离 ρ ( x, y ) = x − y = ⎜ ∑ xi − yi ⎜ i =1 ⎝
∞
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
，
, xn , ) 的 全体，按通常定义下的“加法” “数乘”运算是线性空间。
x = sup xi ，则(l ∞ , x )是赋范线性空间。 若定义 1≤ i <+∞
(i)=>(i); (ii)=>(ii);(iii)=>(iii)
Question： 距离空间 ⇒ 赋范线性空间??
当距离空间满足下列三个条件时 ① 是线性空间； ② ρ(x, y) = ρ(x − y,0)； ③ ρ(α x,0) = α i ρ(x,0) 可用距离定义范数 x = ρ(x,0)，验证知三条范数公理成 立，则距离空间 ( E , ρ ) 也是(E , i )。
( E , ρ ) 是完备的，则称 E 是 Banach 空间。
同样的，不完备的赋范线性空间可以完备化。
例：在 R 中，按范数 x 2 =
n
∑
i =1
n
xi ，(R n , x 2 )是 Banach 空间;
2
在 C[ a ,b ] 中，按范数 x = tmax] x(t ) ，(C[ a ,b ] , x )是 Banach 空间； ∈[ a ,b 在L
“零元素” ∈ E,有x + 0 = x 0 （3） ∃
“负元素” x∈E,有x + (−x) = 0 − （4） ∃
（5） λ ( μ x) = (λμ ) x （6）1 ⋅ x = x, 0 ⋅ x = 0 （7） (λ + μ )x = λ x + μ x （8） λ ( x + y ) = λ x + λ y 则称 E 是（数域 K 上的）线性空间（或向量空间） 。
（1）有界性：数列 { xn } 有界
（2）范数的连续性：即 Tx = x , T 是连续泛函
x 是 x 的连续泛函 ⇔ ∀ x n → x时 , x n → x
（3）线性运算按范数收敛是连续的 即若 xn → x, yn → y , α n → α , β n → β
⇒ α n xn + β n yn → α x + β y ,
满足八条运算规律的两种运算称为线性运算。
例1
Rn —— n 维向量全体，在通常意义下的“加法” 和“数乘”运算下是线性空间。
例2 C[ a ,b ] 、 L[ a ,b ] （在[ a, b] 上可积分函数全体） ，在通常 意义下的“加法” “数乘”运算下是线性空间。
例3 Pn ( x) ——次数不超过 n 的多项式全体，在通常的 “加法” “数乘”运算下是线性空间。 例4 Qn ( x) ——次数等于 n 的多项式全体，在通常意义 下的“加法” “数乘”运算下不是线性空间。
§3.4 线性算子与线性泛函
映射：集合 → 集合的对应关系； 算子：空间 → 空间的映射，记为 T， 定义域记作 D(T） ，值域记作 N(T） 算子通常指：赋范线性空间 → 赋范线性空间的映射 泛函： 赋范线性空间 → 数域的映射。 最简单的算子是：保持两种代数运算的算子——线 性算子。
1）线性算子（或线性泛函）的几个概念
例3
L[2a ,b ] 是线性空间，若定义 x = ( ∫a x(t ) dt ) ，
2 b 1 2
b
(L[2a ,b ] , x )是赋范线性空间。 则
距离 ρ(x, y) = x − y =
(∫
b
a
x(t ) − y (t ) dt
2
)
1 2
l p ( p ≥ 1) 是线性空间，若定义 例4
x
定理（范数等价判别定理）在线性空间 E 中，两种范数
x 1与 x 2 等价 ⇔ ∃k1 > 0, k2 > 0, 对于∀x ∈ E ，都有
k1 x
证： ⇐
2
≤ x
1
≤ k2 x 2 。
⇒ 反证法
§3.3 有限维赋范线性空间
有限维赋范线性空间比一般赋范线性空间有更多的 优势，通常在有限维赋范线性空间中处理问题更简单。 1) 定义 设 E 是赋范线性空间。 若存在 n 个线性无关的
值域所在空 间的范数
Tx ≤ M x
则称 T 是有界算子。
定义域所在 空间的范数
若 T 既是线性、又是有界算子，称 T 为有界线性算子
判别定理 设 T 是线性算子，则 T 是有界算子
⇔ T 将 D(T ) 中的任一有界集映射为有界集。
m × n 阶矩阵， T : x ∈ R n → Ax ∈ R m 是 例： 设 A 是 ① 则
称 T 为 D(T ) 上的线性算子。特别的， T 0 = 0 ⋅ T 0 = 0 。
例如： C
1 [ a ,b ]
d （一阶连续导函数全体）中， T = dt ，则
d d d [ k1 x1 (t ) + k 2 x2 (t )] = k1 x1 (t ) + k 2 x2 (t ) dt dt dt
元素 e1 , e2 ,
, en ∈ E ，使得 ∀x ∈ E ，有唯一表达式
+ xn en = ∑ xi ei
i =1 n
x = x1e1 + x2 e2 +
则称 E 为有限维（n 维）赋范线性空间。称{e1 , e2 , , en } 为 E 的基（底） ，而称{x1 , x2 , , xn } 为 x 关于该基底的坐 标。
2 [ a ,b ]
2 中，按范数 x 2 = ( ∫a x(t ) dt ) ，(L[ a ,b ] , x 2 )是 Banach 空间
2 b 1 2
§3.2 按范数收敛
赋范线性空间中点列的收敛性及概念，只要在由 范数导出的距离 ρ(x, y) = x − y 之下来讨论，就可以得 到相应的结论。
3）常见赋范线性空间
例1 在线性空间 Rn 中，
∀x = ( x1 , x2 ,
①
x2=
, xn ), y = ( y1 , y2 ,
, yn ) ∈ R n
∑
i =1
n
xi ，则( R n , x )是赋范线性空间。 2
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2
距离 ρ(x, y) = x − y = ② x
∞
( xi − yi ) 2 ∑
常见的线性算子：积分算子、微分算子、线性变换等。
（2）连续算子
(P12-13 连续映射)
若 ∀xn , x ∈ D(T ) ，当 xn → x(n → ∞) 时， Txn → Tx ， 称 T 为连续算子。
例如：范数 Tx = x 是连续泛函； R1 中连续函数 f ( x ) 。
（3）有界算子 定义 若 ∃ M > 0, 对 于 ∀ x ∈ D (T ) , 都 有 ，
特别的， l — 表示一切有界数列 x = ( x1 , x2 ,
注：由于(E , i )在 ρ(x, y ) = x − y 定义下也是 ( E , ρ ) ， 所以在(E ,
i )中可类似定义——邻域、开集、闭集、极
限点、收敛点列、柯西点列等，并可讨论相关的结论： 完备性、可分性、紧性等。
4）巴拿赫空间（Banach） 如果赋范线性空间 (E , i )按范数导出的距离空间
第3章
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5
赋范线性空间
定义和举例 按范数收敛 有限维赋范线性空间 线性算子与线性泛函 赋范线性空间中的各种收敛
回顾
距离空间：距离公理 收敛------完备化------连续映射 元素间只有距离关系（距离结构），不能 进行代数运算（代数结构）
§3.1 定义和举例
2）性质
除了一般的赋范线性空间的性质外，有限维赋
范线性空间还有一些特殊的性质。 （1） 有限维赋范线性空间的各种范数等价。 （2） 有限维赋范线性空间必是完备、可分的空间。 （3） 赋范线性空间 E 是有限维的 ⇔ E 中的任意有界闭集 是列紧的（即有界闭集中的任意点列都有收敛的子列） 。 （有相同的 （4） 任意 n 维赋范线性空间都与 Rn 代数同构 代数运算性质） 。
1） 定义 设 E 是赋范线性空间，点列 xn 及x ∈ E ，如果
lim xn − x = 0
n→∞
则称点列 xn 按范数收敛于 x ，或称 xn 强收敛于 x ，记作
lim xn = x (强)。 n→∞
2）性质
设 E 是数域 K 上的赋范线性空间,
{xn }, yn } ⊂ E , {α n } ⊂ K ,若 xn → x (强)，则 {
1） 定义（线性空间）设 E 是非空集合，K 是实（或 复）数域。 在 E 中定义加法：
∀x, y ∈ E, 存在唯一 z ∈ E, 记作 z = x + y ，
在 E 与 K 之间定义数乘：
∀x ∈ E, λ ∈ K, 存在唯一δ ∈ E, 记作δ = λx，
且满足八条运算规律：
（1） x + y = y + x （2） ( x + y ) + z = x + ( y + z )
( E , i )或 E 。
（2） 赋范线性空间与距离空间的关系
若在(E , i )中，按范数定义距离，即
∀x, y ∈ E , ρ( x, y ) = x − y ，
由范数导出 的距离
验证得知 ρ 满足距离的三条公理，因此，(E , i )在范数意 义下（以后均指这种情况）是距离空间 ( E , ρ ) 。