复变函数习的题目问题解释第4章习的题目详解
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第四章习题详解
1． 下列数列{}n a 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限：
1) mi
ni a n -+=
11； 2) n
n i a -⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=21； 3) ()1
1++-=n i a n n ；
4) 2i n n e
a π-=；
5) 21i n n e n
a π-=。
2． 证明：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≠==>∞<=∞→111
1110a a a a a a n n ,,,,lim 不存在，
3． 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：
1) ∑∞
=1n n
n i ；
2) ∑∞
=2n n
n i ln ；
3)
()∑∞=+0856n n n i ；
4)
∑∞
=02n n in cos 。 4． 下列说法是否正确？为什么？
1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；
2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆可能有奇点；
3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0z 的邻域展开成泰勒级数。
5． 幂级数
()∑∞=-02n n n z c 能否在0=z 收敛而在3=z 发散？
6． 求下列幂级数的收敛半径： 1) ∑∞
=1n p n
n z （p 为正整数）；
2)
()∑∞=12n n n z n n !；
3)
()∑∞=+01n n n z i ；
4)
∑∞=1n n n i z e π；
5)
()∑∞
=-⎪⎭⎫ ⎝⎛11n n z n i ch ； 6) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝
⎛1n n in z ln 。
7． 如果
∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ，证明()∑∞=0n n n z c Re 的收敛半径R ≥。[提示：()n n n n z c z c 8． 证明：如果n n n c c 1+∞→lim 存在∞≠，下列三个幂级数有相同的收敛半径∑n n z c ；∑+++111n n z n c ；∑-1 n n z nc 。 9． 设级数 ∑∞=0n n c 收敛，而∑∞=0n n c 发散，证明∑∞=0n n n z c 的收敛半径为1。 10． 如果级数∑∞=0n n n z c 在它的收敛圆的圆周上一点0z 处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝 对收敛。 11． 把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径： 1) 3 11z +； 2) () 2211 z +； 3) 2z cos ； 4) shz ； 5) chz ； 6) 22z e z sin ； 7) 1-z z e ； 8) z -11sin 。 12． 求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： 1) 11+-z z ，10=z ； 2) ()()21++z z z ，20=z ； 3) 21z ，10-=z ； 4) z 341-，i z +=10； 5) tgz ；40π= z ； 6) arctgz ；00=z 。 13． 为什么在区域R z <解析且在区间()R R ,-取实数值的函数()z f 展开成z 的幂级数时，展开式的系数都是实数？ 14． 证明在()⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ +=z z z f 1cos 以z 的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为()⎰=π ϑϑϑπ20221 d n c n cos cos cos ，()Λ,,,210±±=n 。[提示：在公式()844..中，取C 为1=z ， 在此圆上设积分变量ϑζi e =。然后证明n c 的积分的虚部等于零。] 15． 下列结论是否正确？ 用长除法得 Λ++++=-4321z z z z z z Λ++++=-3211111z z z z z 因为 01 1=-+-z z z z 所以 0111143232=+++++++++ ΛΛz z z z z z z 16． 把下列各函数在指定的圆环域展开成洛朗级数： 1) ()()2112-+z z ，21< 2) () 211z z -，11< 3) ()()211 --z z ，110<- 4) z e -11，+∞< 5) ()i z z -21，在以i 为中心的圆环域； 6) z -11sin ，在1=z 的去心邻域； 7) ()()()()4321----z z z z ，43< 17． 函数⎪⎭ ⎫ ⎝⎛z tg 1能否在圆环域()+∞<<< 18． 如果k 为满足关系12 ()∑∞=+-= +0 2211n n k k n k ϑϑϑcos sin sin ()∑∞=+--=+02211n n k k k n k ϑϑϑcos cos cos [提示：对k z >展开()1--k z 成洛朗级数，并在展开式的结果中置ϑi e z =，再令两边的实部与实部 相等，虚部与虚部相等。] 19． 如果C 为正向圆周3=z ，求积分()⎰C dz z f 的值。设()z f 为： 1) () 21+z z ； 2) ()z z z 12++； 3) () 211+z z ； 4) ()()21++z z z 。 20． 试求积分⎰∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-=C n n dz z 2 的值，其中C 为单位圆1=z 的任何一条不经过原点的简单闭曲线。