5.1平面向量的概念及线性运算练习题

§5.1 平面向量的概念及线性运算

一、选择题

1. 已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的是（ ）

A.a ∥b

B. a ⊥b

C.{0,1,3}

D.a +b =a -b

答案 B

2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )．

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b .

∴a ∥b ；

若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立．

答案 A

3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC

→＋BA →＝2BP →，则( )． A.P A →＋PB

→＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB

→＋PC →＝0 解析 如图，根据向量加法的几何意义，BC

→＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点， ∴P A →＋PC

→＝0.

答案 B 4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )

A ．－3

B ．2

C ．4

D ．－6

解析 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，

∴4(x ＋3)－(x －6)＝0，x ＝－6.

答案 D

5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形

ABCD 的形状是( )．

A ．矩形

B ．平行四边形

C ．梯形

D ．以上都不对

解析 由已知AD

→＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →. ∴AD

→∥BC →，又AB →与CD →不平行， ∴四边形ABCD 是梯形．

答案 C

6．已知△ABC 和点M 满足MA

→＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM

→成立，则m ＝( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

解析 ∵MA

→＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心， ∴AB

→＋AC →＝3AM →，∴m ＝3. 答案 B

7.已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋CO ＝0，则△ABC 的内角A 等于( )

A ．30°

B ．60°

C ．90°

D ．120°

解析：由OA ＋OB ＋CO ＝0得OA ＋OB ＝OC ，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°.

答案：A

二、填空题

8.已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA －3OB ＋2OC ＝0，则

|AB ||BC |

＝________.

解析：由OA －3OB ＋2OC ＝0，得OA －OB ＝2(OB －OC )，

即BA ＝2CB ，于是|AB ||BC |＝2.

答案：2

9．给出下列命题：

①向量AB

→的长度与向量BA →的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量AB

→与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上． 其中不正确的个数为________．

解析 ①中，∵向量AB

→与BA →为相反向量， ∴它们的长度相等，此命题正确．

②中若a 或b 为零向量，则满足a 与b 平行，但a 与b 的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．

③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．

④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．

⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB

→与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴该命题错误．

答案 3

10.已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则_____b =.

解析

答案 3211．若M 为△ABC 内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →，则△ABM 与△ABC 的面积

之比为________．

解析 由题知B 、M 、C 三点共线，设BM

→＝λBC →，则：AM →－AB →＝λ(AC →－AB →)， ∴AM

→＝(1－λ)AB →＋λAC →， ∴λ＝14，

∴S △ABM S △ABC ＝14

.

答案 14 12．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．

解析 (等价转化法)OB

→＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →， OB

→－OC →＝CB →＝AB →－AC →， ∴|AB

→＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形．

答案 直角三角形

【点评】 本题采用的是等价转化法，将△ABC 的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论.

三、解答题

13．如图所示，△ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，AM 是BC 边上的中

线，交DE 于N .设AB

→＝a ，AC →＝b ，用a ，b 分别表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM →，AN →.

解析 AE →＝23b ，BC →＝b －a ，DE →＝23(b －a )，DN →＝13

(b －a )， AM →＝12(a ＋b )，AN →＝13(a ＋b )．

14．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，

a ，t

b ，13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上？

解析 设a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤a －13a ＋b (λ∈R )， 化简整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1a ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫t －13λb ＝0， ∵a 与b 不共线，∴由平面向量基本定理有