2008年全国高中数学联赛试题及答案

2008年全国高中数学联赛

受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。

2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。答卷时间为100分钟。

全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。答卷时问为120分钟。

一 试

一、选择题（每小题6分，共36分）

1．函数2

54()2x x f x x

-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）。

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）。 （A ）[1,2)- （B ）[1,2]- （C ）[0,3] （D ）[0,3) 3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为

2

3

，乙在每局中获胜的概率为1

3

，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ ）。 （A ）24181 （B ）26681 （C ）274

81

（D ） 670243

4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。

（A ）764 cm 3或586 cm 3 （B ） 764 cm 3 （C ）586 cm 3或564 cm 3 （D ） 586 cm 3

5．方程组0,

0,

0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩

的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ）。 （A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4 6．设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边a b c 、、成等比数列，则

sin cot cos sin cot cos A C A

B C B

++的取值范围是（ ）。

（A ）(0,)+∞ （B ）

（C

） （D

）)+∞

二、填空题（每小题9分，共54分）

7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,

n =，若

7()128381f x x =+，则a b += .

8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为1

2

-，则a = .

第15题

9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种．

10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1

(1)

n n n S a n n -+=

+，1,2,

n =，则通项n a = ．

11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f = .

12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 . 三、解答题（每小题20分，共60分）

13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标

的最大值为α，求证：

2

cos 1sin sin 34ααααα

+=

+． 14．解不等式

121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．

15．如图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C 、在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．

解 答

1. 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x

+-+==+---1

2(2)2x x ≥⋅--

2=，当且仅当122x x

=--时取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上

的最小值为2．故选C.

2. 因为2

40x ax --=有两个实根 12a x =，22a x =B A ⊆等价于

12x ≥-且24x <，即22a -且42a ，解之得03a ≤<．故选D 。

3.方法一： 依题意知，ξ的所有可能值为2、4、6. 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比

赛停止的概率为22215

()()339

+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得

一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5

(2)9

P ξ==

， 4520(4)()()9981P ξ===

，2416(6)()981P ξ===，故52016266

2469818181

E ξ=⨯+⨯+⨯=．故选B 。 方法二： 依题意知，ξ的所有可能值为2、4、6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得

12125

(2)()()9

P P A A P A A ξ==+=

， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++

33211220

2[()()()()]333381

=+=，

1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++

222116

4()()3381

==，

因此52016266

2469818181

E ξ=⨯+⨯+⨯=．故选B 。

4. 设这三个正方体的棱长分别为a b c 、、，则有()

2226564a b c ++=，即22294a b c ++=。不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2

2

2

2

394c a b c ≥++=，2

31c >．故610c ≤<，c 只能取9、8、7、6 ．

若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =． 若8c =， 则22946430a b +=-=，5b ≤．但2

230b ≥，即4b ≥，从而4b =或5．若

5b =，则25a =无解；若4b =，则2

14a =无解．因此c=8时无解．

若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．

若6c =，则22943658a b +=-=，此时2

258b ≥，即2

29b ≥。故6b ≥，但6b c ≤=，所以6b =，此时2

583622a =-=无解．