第二章：二、模糊集合的运算

式中，符号 ” “∨ 为取极大值运算。 定义 2－5 交：交 （A ∩ B) 的隶属函数 µ A∩B 对所有 u ∈ U 被逐点定义为小运算，即
µ A∩ B = µ A (u ) ∧ µ B (u )
( 2 − 7)
式中，符号“∧” 为取极小值运算。定义 定义2－6 补：模糊集合A的补隶属函数 µ A对所有 u ∈ U 被逐点定义为 µ A＝1－µ （u ) (2 − 8) A
在相及矩阵中取每一行有最小值，按所得值的大小排列得 1<3/5<4/7 结论是长子最像父亲（1），三子次之（0.6），次子最不像父亲 （0.57）。由此，可以确定出隶属度函数的大致形状。
中的特征函数或隶属度函数来定义类似的操作。设A、B为U µ 中两个模糊子集，隶属函数分别为 µ A 和 B ，则模糊集合 中的并、交、补等运算可以这样定义。 定义 2－4 并：并（ A ∪ B ）隶属函数分别为 µ A∪B 对所有 u ∈ U 被逐点定义为取大运算，即
µ A ∪ B＝µ（u ) ∨ µ B (u ) − 6) (2 A
a + b = a + b − ab
a ∧ b = ab ⋅
(2 − 18)
(2 ຫໍສະໝຸດ Baidu 19)
∧
由定义可知，如 a, b ∈ [0 , 1] , 则 a ⋅ b ∈ [0 , 1] , a + b ∈ [0 , 1] 。 定义2－8 设 A , B ∈ F (U ) ，则 （1）A与B的代数积记作A•B，运算规则由下式确定 µ A⋅B (u ) = µ A (u ) µ B (u ) ∀ u ∈U (2 − 20) （2）A与B的代数和记作A+B,运算规则由下式确定
计算相及矩阵G。因为 g (vi / v j ) = g v j (vi ) / max( g v j (vi ) , g v i (v j ) ) ，所以，相及矩 阵为
v1 v1 1 v 2 5 / 8 v3 3 / 5
v 2 v3 1 1 1 4 / 7 = G 1 1
v0 对A的隶属频率＝ v0 ∈ A的次数 试验总次数 n (2 − 26)
2）例证法,从有限个隶属度值，来估计U上的模糊集A 的隶属度函数。
3）专家经验法，有专家给出隶属度函数值。 4）二元对比排序法 设论域U中一对元素 (v1 ，v 2 ) 其具有某特征的等级分别为 g v 2 (v1 ) 、 g v1 (v 2 ) 即在 v1和 v 2的二元对比中，如果 v1 具有某特征的程度用 g v 2 (v1 ) 来表示，则 v 2 具有某特征的程度用 g v1 (v 2 ) 来表示， 并且该二元对比级的数对 ( g v 2 (v1 )、g v1 (v2 ) ) 必须满足： 0 ≤ g v 2 (v1 ) ≤ 1 、 ≤ g v1 (v 2 ) ≤ 1 。 0
令 g (v1 / v 2 ) =
1 g (v1 / v 2 ) G = g (v 2 / v1 ) 1
容易推广到n元的情况，对于n个元素 (v1 , v 2 , ⋯ , v n )同理 , 得相及矩阵G 1 g (v1 / v 2 ) g (v1 / v3 ) g (v1 / v n ) g (v / v ) 1 g (v 2 / v 3 ) g (v 2 / v n ) 2 1 (2 − 28) G= g (v3 / v1 ) g (v3 / v 2 ) 1 g (v 3 / v n ) g (v n / v1 ) g (v n / v 2 ) g (v n / v3 ) 1 若对矩阵G的每一行取最小值，即对第 i 行取 g i = min[ g (vi / v1 ) 、g (vi / v 2 ) 、 、g (vi / v n )] ，并按其值的大 ⋯ 小排序，即可得到元素 (v1 , v 2 , ⋯ , v n ) 对某特征的隶属函数。 例2－4 设论域 U = {v1 , v2 , v3 , v0 } 其中 v1 表示长子，v 2 v v 表示次子， 3 表示三子， 0 表示父亲。如果考虑长子和次子与父亲的相似问题，则可 这样来描述长子相似于父亲的程度为0.8，次子相似于父亲的程度为0.5。如果仅考虑 次子和三子，则次子相似于父亲的程度为0.4，三子相似于父亲的程度为0.7。如果仅 考虑长子和三子，则长子相似于父亲的程度为0.5，
µ
凸模糊集合
非凸模糊集合
0
x
2、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。 3、隶属度函数要符合人们的语言顺序避免不恰当的重叠
µ
1.0
适中
高
很高
适中
0
32
速度 /(km ⋅ h −1 )
图2－4 交叉越界的隶属度函数示意图 除以上三条，模糊控制系统隶属度函数的选择通常： 1）论域中的每个点应该至少属于一个隶属度函数区域，
( 2 − 21)
（2－22） （2－23） a ⊕ b = min (1 , a + b) 容易证明， ∀a , b ∈ [ 0 , 1 ] , 0 ≤ max ( 0 , a + b − 1) ≤ 1、
aΘb = max(0, a + b − 1)
0 ≤ min ( 1 , a + b) ≤ 1 。
合论中占有极其重要的地位。模糊集合中特征函数也就是 隶属度函数的取值范围在[0,1]区间。 如果确定隶属度函为一个关键问题。鉴于模糊集理论研究对象的特殊性， 没有一个统一的隶属度计算方法。但隶属度函数实质上反映的是事物的渐 变性，因此，它仍然应遵守一些基本原则。 1、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合
定义2－10 设 A , B ∈ F (U ) ，则 （1）A与B的有界积记作 AΘB ，运算规则由下式确定
µ AΘB (u ) = max(0, µ A (u ) + µ B (u ) − 1) ∀ u ∈ U
(2 − 24)
A与B的有界和记作 A ⊕ B ，运算规则由下式确定 µ A⊕ B (u ) = min(1 , µ A (u ) + µ B (u ) ∀u ∈ U （2－25） 模糊集的有界运算也满足结合律、交换律、德摩•根律、 同一律和零一律，而且满足互补律，但不满足幂等律、分 配律和吸收律。 三、隶属度函数的建立 模糊集合是用隶属函数描述的。隶属度函数在模糊集 (2)
∨ 上面定义的模糊集合运算是采用Zadeh算子 ∧ 、 来进行的。 Zadeh算子的优点是计算简单，除不满足互补律外与经典集合 的运算性质十分相似。人们根据具体情况又定义多种不同的
A∩ A ≠ φ
A∪ A ≠U
算子，并以这些算子定义模糊集合的运算。下面引入两个新 的算子－－概率算子和有界算子。 ∧ 1 有 ＋ 定义2－7 称 • 、 为概率算子，对∀a, b ∈ [0 ，] ，
µ
模糊集的代数运算仍然满足结合律、交换律、德•摩根律、同一律和零一律。 但不满足幂等律、分配律和吸收律。当然也不满足互补律。 ⊕ 定义2－9 称 aΘ、 为有界算子，对 ∀a , b ∈ [ 0 , 1 ] ，有
A+ B
∧
( u ) = µ A ( u ) + µ B ( u ) − µ A ( u ) µ B (u )
三子相似于父亲的程度为0.3，则可建立如下关系 按照“谁像父亲”这一原则排序，可得
{g v 2 (v1 ), g v1 (v 2 )} = (0.8 , 0.5) , g v1 (v1 ) = 1 {g v 3 (v 2 ), g v 2 (v3 )} = (0.4 , 0.7) , g v 2 (v2 ) = 1 {g v 3 (v1 ), g v1 (v3 )} = (0.5 , 0.3) , g v3 (v3 ) = 1
重叠范围 重叠率＝ 附近模糊隶属函数的范围
总的重叠面积 ∫L (µ A1 + µ A2 )dx 重叠鲁棒性＝ ＝ 总的重叠最大面积 2(U − L)
U
µ
0.5
A1
A2
µ
0.5
A1
A2
0
速度
20
30
10
40
50
速度 /( km ⋅ h −1 )
30
重叠率＝0 重叠鲁棒性＝0 重叠率＝10 / 30 = 0.333
二、模糊集合的运算
对于模糊集合，元素与集合之间不存在属于或不属于的明确关系，但是 集合与集合之间还是存在相等、包含以及经典集合论一样的一些集合运算 如并、交、补等。下面分别引入这些定义。 定义2－2 论域U中模糊子集的全体，称为U中的模糊幂集，记作F（U），即
F (U ) = {A µ A : U → [0,1]}
对于任一 u ∈ U ,若 µ A = 0，则称为空集φ ；若μA=1则A＝U称为全集。 定义2－3 设A、B是论域U的模糊集，即A、B∈ F（U）若对任一 u ∈U 都有 B(u)≤ A(u),则称B包含于A，或称B是A的一个子集记作 B ⊆ A。若对任一 u ∈ U 都有B(u)=A(u),则称B等于A，记作B＝A。 模糊集合的运算与经典集合的运算相类似，只是利用集合
同时它一般应属于至多不超过两个隶属度函数的区域。 2）对同一输入没有两个隶属度函数会同时有最大隶属度。 3）当两个隶属度函数重叠时，重叠部分对两个隶属度函数的最大隶属 度不应该有交叉。 重叠指数也是衡量隶属度函数与模糊控制器性能关系的一个重要指标。为 了定量研究隶属度函数之间的重叠，有重叠率和重叠鲁棒性的概念，并用 这两个指数来描述隶属函数的重叠关系，如上图右图。它们的定义如下：
g v 2 (v1 ) (2 − 27) max( g v 2 (v1 ) , g v1 (v 2 ) ) 这里, v1 、v 2 ∈ U 。 若以 g (vi / v j )(i , j = 1, 2) 为元素，且定义 时，则可构造出矩阵G，并称G为相及矩阵。 g (v i / v j ) = 1 , 当 i = j
定理2－1模糊集运算的基本定律：设U为论域，A，B，C为U中的任意模糊子集, 则下列等式成立： A∩ A = A, A∪ A = A (2 − 9) （1）幂等律 A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C , A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C ; (2 − 10） （2）结合律 A∩ B = B ∩ A , A∪ B = B ∪ A; (2 − 11) （3）交换律 A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) , A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ); (2 − 12) （4）分配律 A ∩U = A , A ∪φ = A ; (2 − 13) （5）同一律 A ∩φ = φ , A ∪U = U ; (2 − 14) （6）零一律 A ∩ ( A ∪ B) = A , A ∪ ( A ∩ B) = A ; (2 − 15) （7）吸收律 (2 − 16) （8）德•摩根律 ( A ∩ B) = A ∪ B , ( A ∪ B) = A ∩ B （9）双重否认律 A = A (2 − 17) 模糊集与经典集的集合运算的基本性质完全相同，只是模糊 集运算不满足互补律，即
重叠鲁棒性＝10 / 20 = 0.5
µ
A1
A2
重叠率＝5 / 35 = 0.143
0.25
0 20
重叠鲁棒性＝2.5 / 10 = 0.25
35
5
35
40
55
速度 /( km ⋅ h −1 )
图2－6 隶属度函数重叠的范例 隶属度函数是模糊控制的应用基础，正确构造隶属度函数是能 否用好模糊控制的关键之一。 1）模糊统计法