高考数学复习函数的综合问题

2.12 函数的综合问题
●知识梳理
函数的综合应用主要体现在以下几方面：
1.函数容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.
2.函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的容与函数的综合.这是高考主要考查的容.
3.函数与实际应用问题的综合. ●点击双基
1.已知函数f （x ）=lg （2x
－b ）（b 为常数），若x ∈［1，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，则
A.b ≤1
B.b ＜1
C.b ≥1
D.b =1
解析：当x ∈［1，+∞）时，f （x ）≥0，从而2x －b ≥1，即b ≤2x
－1.而x ∈［1，+∞）时，2x
－1单调增加，
∴b ≤2－1=1. 答案：A
2.（2003年市质检题）若f （x ）是R 上的减函数，且f （x ）的图象经过点A （0，3）和B （3，－1），则不等式|f （x +1）－1|＜2的解集是___________________.
解析：由|f （x +1）－1|＜2得－2＜f （x +1）－1＜2，即－1＜f （x +1）＜3. 又f （x ）是R 上的减函数，且f （x ）的图象过点A （0，3），B （3，－1）， ∴f （3）＜f （x +1）＜f （0）. ∴0＜x +1＜3，－1＜x ＜2. 答案：（－1，2） ●典例剖析
【例1】 取第一象限的点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），使1，x 1，x 2，2依次成等差数列，1，y 1，y 2，2依次成等比数列，则点P 1、P 2与射线l :y =x （x ＞0）的关系为
A.点P 1、P 2都在l 的上方
B.点P 1、P 2都在l 上
C.点P 1在l 的下方，P 2在l 的上方
D.点P 1、P 2都在l 的下方
剖析：x 1=
31+1=34，x 2=1+32=3
5
，y 1=1×32=32，y 2=34，∵y 1＜x 1，y 2＜x 2， ∴P 1、P 2都在l 的下方. 答案：D
【例2】 已知f （x ）是R 上的偶函数，且f （2）=0，g （x ）是R 上的奇函数，且对于x ∈R ，都有g （x ）=f （x －1），求f （2002）的值.
解：由g （x ）=f （x －1），x ∈R ，得f （x ）=g （x +1）.又f （－x ）=f （x ），g （－x ）=－g （x ），
故有f （x ）=f （－x ）=g （－x +1）=－g （x －1）=－f （x －2）=－f （2－x ）=－g （3－x ）=
g （x －3）=f （x －4），也即f （x +4）=f （x ），x ∈R .
∴f （x ）为周期函数，其周期T =4.
∴f （2002）=f （4×500＋2）＝f （2）=0.
评述：应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.
【例3】 函数f （x ）=m
x +41（m ＞0），x 1、x 2∈R ，当x 1+x 2=1时，f （x 1）+f （x 2）=21
.
（1）求m 的值；
（2）数列{a n }，已知a n =f （0）+f （
n 1）+f （n 2）+…+f （n
n 1-）+f （1），求a n . 解：（1）由f （x 1）+f （x 2）=21，得m x +141+m x +241=2
1
，
∴41x +42x +2m =2
1［421x x ++m （41x +42x ）+m 2
］.
∵x 1+x 2=1，∴（2－m ）（41x +42x ）=（m －2）2
.
∴41x +42x =2－m 或2－m =0.
∵41x +42x ≥22144x x ⋅=2214x x +=4， 而m ＞0时2－m ＜2，∴41x +42x ≠2－m . ∴m =2.
（2）∵a n =f （0）+f （n 1）+f （n 2）+…+f （n n 1-）+f （1），∴a n =f （1）+f （n
n 1
-）+ f （
n
n 2
-）+…+f （n 1）+f （0）.
∴2a n =［f （0）+f （1）］+［f （n 1）+f （n n 1-）］+…+［f （1）+f （0）］=21+21+…+21=2
1
+n .
∴a n =4
1+n .
深化拓展
用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.
【例4】 函数f （x ）的定义域为R ，且对任意x 、y ∈R ，有f （x +y ）=f （x ）+f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＜0，f （1）=－2.
（1）证明f （x ）是奇函数；
（2）证明f （x ）在R 上是减函数；
（3）求f （x ）在区间［－3，3］上的最大值和最小值. （1）证明：由f （x +y ）=f （x ）+f （y ），得f ［x +（－x ）］=f （x ）+f （－x ），∴f （x ）+ f （－x ）=f （0）.又f （0+0）=f （0）+f （0），∴f （0）=0.从而有f （x ）+f （－x ）=0.
∴f （－x ）=－f （x ）.∴f （x ）是奇函数.
（2）证明：任取x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=f （x 1）－f ［x 1+（x 2－x 1）］=f （x 1）－［f （x 1）+f （x 2－x 1）］=－f （x 2－x 1）.由x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.∴f （x 2－x 1）＜0.
∴－f （x 2－x 1）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），从而f （x ）在R 上是减函数.
（3）解：由于f （x ）在R 上是减函数，故f （x ）在［－3，3］上的最大值是f （－3），最小值是f （3）.由f （1）=－2，得f （3）=f （1+2）=f （1）+f （2）=f （1）+f （1+1）=f （1）+f （1）+f （1）=3f （1）=3×（－2）=－6，f （－3）=－f （3）=6.从而最大值是
6，最小值是－6.
深化拓展
对于任意实数x 、y ，定义运算x *y =ax +by +cxy ，其中a 、b 、c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数m ，使得对于任意实数x ，都有x *m =x ，试求m 的值.
提示：由1*2=3，2*3=4，得
⎩⎨
⎧=++=++.
4632,
322c b a c b a ∴b =2+2c ，a =－1－6c .
又由x *m =ax +bm +cmx =x 对于任意实数x 恒成立，
∴⎩
⎨⎧==+.0,1bm cm a ∴b =0=2+2c .
∴c =－1.∴（－1－6c ）+cm =1. ∴－1+6－m =1.∴m =4. 答案：4.
●闯关训练 夯实基础
1.已知y =f （x ）在定义域［1，3］上为单调减函数，值域为［4，7］，若它存在反函数，则反函数在其定义域上
A.单调递减且最大值为7
B.单调递增且最大值为7
C.单调递减且最大值为3
D.单调递增且最大值为3 解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性，f －1（x ）的值域是［1，3］. 答案：C
2.（2003年市质检题）关于x 的方程|x 2
－4x +3|－a =0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是___________________.
解析：作函数y =|x 2
－4x +3|的图象，如下图.
x
y O 1 2 3 -1
1
2 3 由图象知直线y =1与y =|x 2
－4x +3|的图象有三个交点，即方程|x 2
－4x +3|=1也就是方程|x 2
－4x +3|－1=0有三个不相等的实数根，因此a =1.
答案：1
3若存在常数p ＞0，使得函数f （x ）满足f （px ）=f （px －
2
p ）（x ∈R ），则f （x ）
的一个正周期为__________.
解析：由f （px ）=f （px －2
p ）， 令px =u ，f （u ）=f （u －2p ）=f ［（u +2p ）－2p ］，∴T =2p 或2
p 的整数倍. 答案：
2p （或2
p
的整数倍） 4.已知关于x 的方程sin 2
x －2sin x －a =0有实数解，求a 的取值围.
解：a =sin 2x －2sin x =（sin x －1）2
－1.
∵－1≤sin x ≤1，∴0≤（sin x －1）2
≤4. ∴a 的围是［－1，3］.
5记函数f （x ）=1
3
2++-
x x 的定义域为A ，g （x ）=lg ［（x －a －1）（2a －x ）］（a ＜1）的定义域为B .
（1）求A ；
（2）若B ⊆A ，数a 的取值围.
解：（1）由2－
1
3
++x x ≥0，得11+-x x ≥0，
∴x ＜－1或x ≥1，即A =（－∞，－1）∪［1，+∞）. （2）由（x －a －1）（2a －x ）＞0，得（x －a －1）（x －2a ）＜0. ∵a ＜1，∴a +1＞2a .∴B =（2a ，a +1）.
∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥2
1
或a ≤－2.
而a ＜1，∴2
1
≤a ＜1或a ≤－2.
故当B ⊆A 时，实数a 的取值围是（－∞，－2］∪［2
1
，1）.
培养能力
6.（理）已知二次函数f （x ）=x 2
+bx +c （b ≥0，c ∈R ）. 若f （x ）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f （x ）是否存在？若存在，求出f （x ）的表达式；若不存在，请说明理由.
解：设符合条件的f （x ）存在，
∵函数图象的对称轴是x =－2
b
，
又b ≥0，∴－2
b
≤0.
①当－21＜－2b
≤0，即0≤b ＜1时，
函数x =－2
b
有最小值－1，则
⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=+--=+-
⇒⎪⎩⎪⎨⎧
=--=-1,0011240)1(1)2(22c b c b c b b f b f 或⎩⎨
⎧==3,4c b （舍去）.
②当－1＜－
2b ≤－2
1
，即1≤b ＜2时，则 ⎩⎨
⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧
=-=-0,
20
)0(1)2(c b f b f （舍去）或⎩⎨⎧=-=0,2c b （舍去）. ③当－2b
≤－1，即b ≥2时，函数在［－1，0］上单调递增，则⎩⎨⎧=-=-,0)0(,1)1(f f 解得⎩
⎨⎧==.0,2c b
综上所述，符合条件的函数有两个，
f （x ）=x 2－1或f （x ）=x 2+2x .
（文）已知二次函数f （x ）=x 2
+（b +1）x +c （b ≥0，c ∈R ）. 若f （x ）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f （x ）是否存在？若存在，求出f （x ）的表达式；若不存在，请说明理由.
解：∵函数图象的对称轴是
x =－
21+b ，又b ≥0，∴－21+b ≤－21
. 设符合条件的f （x ）存在，
①当－2
1
+b ≤－1时，即b ≥1时，函数f （x ）在［－1，0］上单调递增，则
⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=++-⇒⎩⎨
⎧=-=-.
0,
101)1(10)0(1)1(c b c c b f f ②当－1＜－21+b ≤－21，即0≤b ＜1时，则⎪⎩⎪⎨⎧
=-=+-
0)0(1)2
1(f b f ⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=-=++-+0,10
12
)1()21(
22c b c c b b （舍去）. 综上所述，符合条件的函数为f （x ）=x 2
+2x .
7.已知函数f （x ）=x +
x
a
的定义域为（0，+∞），且f （2）=2+22.设点P 是函数图象
上的任意一点，过点P 分别作直线y =x 和y 轴的垂线，垂足分别为M 、N
.
（1）求a 的值.
（2）问：|PM |·|PN |是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值.
解：（1）∵f （2）=2+
2
a
=2+22，∴a =2.
（2）设点P 的坐标为（x 0，y 0），则有y 0=x 0+
2x ，x 0＞0，由点到直线的距离公式可知，
|PM |=
2
|
|00y x -=
1
x ，|PN |=x 0，∴有|PM |·|PN |=1，即|PM |·|PN |为定值，这个值为1. （3）由题意可设M （t ，t ），可知N （0，y 0）. ∵PM 与直线y =x 垂直，∴k PM ·1=－1，即
t x t y --00=－1.解得t =2
1
（x 0+y 0）. 又y 0=x 0+
2x ，∴t =x 0+
22
x . ∴S △OPM =
2
21x +
22，S △OPN =2
1x 02+22. ∴S 四边形OMPN =S △OPM +S △OPN =
21（x 02
+20
1x ）+2≥1+2. 当且仅当x 0=1时，等号成立.
此时四边形OMPN 的面积有最小值1+2.
探究创新
8.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）.有人应用数学知识作了如下设计：如图（a ），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b ）.
（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V 1； （2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V 2＞V 1
.
x
(a ) (b )
解：（1）设切去正方形边长为x ，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x ，高为x ，
∴V 1=（4－2x ）2·x =4（x 3－4x 2
+4x ）（0＜x ＜2）.
∴V 1′=4（3x 2
－8x +4）.
令V 1′=0，得x 1=
32
，x 2=2（舍去）. 而V 1′=12（x －3
2
）（x －2），
又当x ＜32时，V 1′＞0；当3
2
＜x ＜2时，V 1′＜0，
∴当x =
32时，V 1取最大值27
128. （2）重新设计方案如下：
如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.
新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V 2=3×2×1=6，显然V 2＞V 1.
故第二种方案符合要求.
2
3 1
1
4①　②　
③
●思悟小结
1.函数知识可深可浅，复习时应掌握好分寸，如二次函数问题应高度重视，其他如分类讨论、探索性问题属热点容，应适当加强.
2.数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中，掌握了这一点，将会体会到函数问题既千姿百态，又有章可循.
●教师下载中心 教学点睛
数形结合和数形转化是解决本章问题的重要思想方法，应要求学生熟练掌握用函数的图象及方程的曲线去处理函数、方程、不等式等问题.
拓展题例
【例1】 设f （x ）是定义在［－1，1］上的奇函数，且对任意a 、b ∈［－1，1］，当
a +
b ≠0时，都有
b
a b f a f ++)
()(＞0.
（1）若a ＞b ，比较f （a ）与f （b ）的大小；
（2）解不等式f （x －21）＜f （x －4
1
）；
（3）记P ={x |y =f （x －c ）}，Q ={x |y =f （x －c 2
）}，且P ∩Q =∅，求c 的取值围. 解：设－1≤x 1＜x 2≤1，则x 1－x 2≠0，
∴
)
()
()(2121x x x f x f -+-+＞0.
∵x 1－x 2＜0，∴f （x 1）+f （－x 2）＜0. ∴f （x 1）＜－f （－x 2）.
又f （x ）是奇函数，∴f （－x 2）=－f （x 2）. ∴f （x 1）＜f （x 2）. ∴f （x ）是增函数.
（1）∵a ＞b ，∴f （a ）＞f （b ）. （2）由f （x －
21）＜f （x －4
1），得
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨
⎧
-<-≤-≤-≤-≤-,4121,1411,1211x x x x ∴－21≤x ≤45. ∴不等式的解集为{x |－
21≤x ≤4
5
}. （3）由－1≤x －c ≤1，得－1+c ≤x ≤1+c ， ∴P ={x |－1+c ≤x ≤1+c }.
由－1≤x －c 2≤1，得－1+c 2≤x ≤1+c 2
，
∴Q ={x |－1+c 2≤x ≤1+c 2
}. ∵P ∩Q =∅，
∴1+c ＜－1+c 2或－1+c ＞1+c 2
， 解得c ＞2或c ＜－1.
【例2】 （2003年市高三第一次质量调研测试题）已知函数f （x ）的图象与函数h
（x ）=x +x
1
+2的图象关于点A （0，1）对称.
（1）求f （x ）的解析式； （2）（文）若g （x ）=f （x ）·x +ax ，且g （x ）在区间（0，2］上为减函数，数a 的取值围.
（理）若g （x ）=f （x ）+x
a
，且g （x ）在区间（0，2］上为减函数，数a 的取值围.
解：（1）设f （x ）图象上任一点坐标为（x ，y ），点（x ，y ）关于点A （0，1）的对称点（－x ，2－y ）在h （x ）的图象上.
∴2－y =－x +x -1
+2.
∴y =x +x 1，即f （x ）=x +x
1
.
（2）（文）g （x ）=（x +x
1
）·x +ax ，
即g （x ）=x 2
+ax +1.
g （x ）在（0，2］上递减⇒－2
a
≥2，
∴a ≤－4.
（理）g （x ）=x +x a 1
+.
∵g ′（x ）=1－21
x
a +，g （x ）在（0，2］上递减，
∴1－21
x a +≤0在x ∈（0，2］时恒成立，
即a ≥x 2
－1在x ∈（0，2］时恒成立.
∵x ∈（0，2］时，（x 2
－1）max =3， ∴a ≥3.
【例3】 （2003年潍坊市第二次模拟考试题）在4月份（共30天），有一新款服装投
放某专卖店销售，日销售量（单位：件）f （n ）关于时间n （1≤n ≤30，n ∈N *
）的函数关系如下图所示，其中函数f （n ）图象中的点位于斜率为5和－3的两条直线上，两直线的交点的横坐标为m ，且第m 天日销售量最大.
（1）求f （n ）的表达式，及前m 天的销售总数；
（2）按规律，当该专卖店销售总数超过400件时，社会上流行该服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该服装的流行会消失.试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天？并说明理由.
解：（1）由图形知，当1≤n ≤m 且n ∈N *
时，f （n ）=5n －3. 由f （m ）=57，得m =12.
∴f （n ）=⎩
⎨⎧+--9333
5n n .,3012,,121**N N ∈≤<∈≤≤n n n n 且且
前12天的销售总量为
5（1+2+3+…+12）－3×12=354件.
（2）第13天的销售量为f （13）=－3×13+93=54件，而354+54＞400， ∴从第14天开始销售总量超过400件，即开始流行. 设第n 天的日销售量开始低于30件（12＜n ≤30），即f （n ）=－3n +93＜30，解得n ＞21.
∴从第22天开始日销售量低于30件， 即流行时间为14号至21号. ∴该服装流行时间不超过10天.。