高考数学一轮复习解三角形题型归纳教案

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学科数学年级高三教材版本人教A版

阶段观察期□：第（）周维护期□本人课时统计第（）课时共（）课时

课题名称解三角形题型归纳总结复习课时计划 2 上课时间教学目标

同步教学知识内容

个性化学习问题解决

教学重点

教学难点

教学过程

教师活动

一、知识点复习

1、正弦定理及其变形

2(

sin sin sin

a b c

R R

A B C

===为三角形外接圆半径）

12sin,2sin,2sin

a R A

b R B

c R C

===

（）(边化角公式）

2sin,sin,sin

222

a b c

A B C

R R R

===

（）(角化边公式）

3::sin:sin:sin

a b c A B C

=

（）

sin sin sin

(4),,

sin sin sin

a A a A

b B

b B

c C c C

===

2、正弦定理适用情况：

（1）已知两角及任一边

（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）

已知a，b和A，求B时的解的情况:

如果sin A≥sin B，则B有唯一解；如果sin A1，则B无解.

3、余弦定理及其推论

222

222

222

2cos

2cos

2cos

a b c bc A

b a

c ac B

c a b ab C

=+-

=+-

=+-

222

222

222

cos

2

cos

2

cos

2

b c a

A

bc

a c b

B

ac

a b c

C

ab

+-

=

+-

=

+-

=

4、余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边。

5、常用的三角形面积公式 （1）高底⨯⨯=∆21

ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC

sin 2

1

sin 21sin 21===∆（两边夹一角）

；

6、三角形中常用结论

（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）

（2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。

2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+

7、两角和与差公式、二倍角公式（略）

8、实际问题中的常用角

（1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）

注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③） ①北偏东α即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向； ②北偏本α即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；

③南偏本等其他方向角类似。

（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡比）

9、ΔABC 的面积公式

（1）

1

()2a a S a h h a =

表示边上的高；

（2）

111sin sin sin ()2224abc S ab C ac B bc A R R =

===为外接圆半径； （3）1

()()2S r a b c r =

++为内切圆半径。

二、典型例题

题型1 边角互化

[例1 ]在ABC ∆中，若7:5:3sin :sin :sin =C B A ，则角C 的度数为 【解析】由正弦定理可得a:b:c=3:5:7，,令a 、b 、c 依次为3、5、7，则

cosC=2222a b c ab +-=222357235+-⨯⨯=1

2

-

因为0C π，所以C=2

3

π

在△ABC 中，222

sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是

（A ）(0,]6π

（B ）[,)6π

π

（C ）(0,]

3π

（D ）[,)3π

π

[例2 ] 若a 、b 、c 是ABC ∆的三边，222222)()(c x a c b x b x f +-++=，则函数)(x f 的图象与x 轴【 】

A 、有两个交点

B 、有一个交点

C 、没有交点

D 、至少有一个交点 【解析】由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，所以

222()2cos f x b x bc A x c =++=2222(cos )cos bx c A c c A ++-，因为2cos A

1,所以

222cos c c A -0，因此()f x 0恒成立，所以其图像与X 轴没有交点。

题型2 三角形解的个数

[例3]在ABC ∆中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【 】

A 、7=a ，14=b ，︒=30A ；

B 、25=b ，30=c ，︒=150

C ； C 、4=b ，5=c ，︒=30B ；

D 、6=a ，3=b ，︒=60B 。

题型3 面积问题

[例4] ABC ∆的一个内角为120°，并且三边构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为

【解析】设△ABC 的三边分别：x －4、x 、x ＋4，

∠C=120°，∴由余弦定理得：﹙x ＋4﹚²=﹙x －4﹚²＋x²－2×﹙x －4﹚×x×cos120°，解得：

x=10

∴△ABC 三边分别为6、10、14。

113

sin 610153222

ABC

S

ab C ∴=

=⨯⨯⨯=

题型4 判断三角形形状

[例5] 在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +⋅-=-⋅+,判断该三角形的形状。 【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。 方法一：22[sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=-+--

222cos sin 2cos sin a A B b B A ∴=

由正弦定理，即知22sin cos sin sin cos sin A A B B B A =

sin sin (sin cos sin cos )0A B A A B B ∴-=

sin 2sin 2A B ∴= 由0

2,22A B

π，得22A B =或22A B π=-

即ABC ∆为等腰三角形或直角三角形