线性代数实验题10-一阶常系数线性齐次微分方程组的求解

实验题：一阶常系数线性齐次微分方程组的求解（相似标准形的应用）

给定一个n 阶矩阵A ，它与对角矩阵相似的充分必要条件是：有n 个线性无关的特征向量。如果矩阵A 不与对角矩阵相似时，它的相似标准形是比对角矩阵梢复杂的若当矩阵J ，即存在可逆矩阵P ，使J AP P =-1。

在MATLAB 中，函数jordan 可以求出矩阵的若当标准形矩阵J 和对应的相

似变换矩阵P 。例如矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-----=211212112A ，在MATLAB 中输入

%函数sym 将数值矩阵转换为符号矩阵，便于精确计算

A=sym([2,-1,-1;2,-1,-2;-1,1,2])

[P,J]=jordan(A)

就可以得到符号结果

P =

[ 0, -2, 0 ]

[ 2, -2, -2]

[ 3, -2, -2]

J =

[ 3, 0, 0]

[ 0, 2, 1]

[ 0, 0, 2] 考虑微分方程组AX dt

dX =，其中X 是n 维未知函数，若求出矩阵A 的若当标准形矩阵J 和对应的相似变换矩阵P ，就可以利用线性变换PY X =，将微分方程化为JY APY P dt

dY ==-1，应用高等数学中一阶线性微分方程的求解方法，可以求出n 维未知函数Y ，再由线性变换PY X =，得到原微分方程组的解。 问题：给定微分方程组⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=-+=3132123

2113323x x dt dx x x dt

dx x x x dt dx 。

求（1）将该微分方程组写成矩阵形式，并求出若当标准形；

（2）采用上面方法，求解该微分方程组。