光纤模式理论

0
z0 方向
1 r
r
(r
r
Ez )
1 r2
2
2
Ez
(n2
K
2 0
2 )Ez
0
1 r
r
(r
r
Hz)
1 r2
2
2
Hz
(
n2
K
2 0
2)Hz
0
只有纵向分量Ez、Hz满足标量形式的Helmholtz方程
5
第6章 光纤模式理论
6.1 光纤的电磁场方程
电磁场横向分量
E i H
H i E
2
2
Hz
(
n2
K
2 0
2 )H z
0
分离变量法求解
Ez (r, , z) R(r ) ( )ei z
H z (r, , z) R(r ) ( )ei z
r2 R
d2 R dr2
r R
dR dr
K
2 c
r
2
1 Φ
d2 Φ
d 2
m2
r2
d2 R dr2
r
dR dr
(
K
2 c
r
2
m2
)R
0
d2 Φ
d 2
6.1 光纤电磁场方程 6.2 阶跃光纤电磁场方程的矢量解法 6.3 光纤线偏振模
6.4 梯度光纤模场分析
2
第6章 光纤模式理论
矢量解法：求解满足边界条件的矢量Helmholtz方程，精确 分析光纤中场传输问题，确定各模式场的所有分量及传播 常数。严格、复杂。 直角坐标系：电磁场的任一分量都满足标量Helmholtz方程。 柱坐标系： 只有Ez和Hz满足标量Helmholtz方程。 矢量法是从求解Ez和Hz的标量Helmholtz方程出发，再通过 两纵向分量求得其余的横向分量。 标量解法：对于弱导光纤，横向场是主要分量，光波近似 为准TEM波，这时可继续选取直角坐标系，近似地认为电 场和磁场的横向分量均满足标量Helmholtz方程。 本章将用两种方法对阶跃光纤和梯度光纤加以分析。
柱坐标系中
r0
r
0
r
z0
z
2
1 r
r
(r
r
)
1 r2
2
2
2 z 2
E r0Er (r,, z) 0E (r,, z) z0Ez(r,, z)
H r0Hr (r,, z) 0H (r,, z) z0Hz (r,, z)
E E(r, )ei z
H H(r, )ei z
图6.1 柱坐标 系及光纤结构
i
r
Ez
i
H z r
Kc2 H
i
Ez r
i
r
H z
Kc2
n2
K
2 0
2
电磁场的横向分量均可由纵向分量表示
6
第6章 光纤模式理论
6.2 阶跃光纤电磁场方程的矢量解法
6.2.1 芯区和包层的电磁场
1 r
r
(r
r
Ez )
1 r2
2
2
Ez
(n2
K
2 0
2 )Ez
0
1 r
r
(r
r
Hz)
1 r2
E
r0
r
Ez
z
E
0
z
Er
r
Ez
z0
1 r
r
(rE
)
1 r
Er
1 r
Ez
i E
i Hr
i
Er
r
Ez
i H
1 r
r
(rE
)
1 r
Er
i Hz
1 r
Hz
i
H
i Er
i
Hr
r
Hz
i E
1 r
r
(rH
)
r
Hr
i Ez
Kc2 Er
i
Ez r
i
r
H z
K
2 c
E
i
r
Ez
i
H z r
Kc2 Hr
m x
Jm(x)
Jm1( x)
d
m
dx Jm ( x) Jm1( x) x Jm ( x)
10
附第B6e章ss光el纤方模程式和理Be论ssel函数
Bessel方程
x2
d2y dx 2
x
dy dx
(x2
2)y
0
x→ix
变形Bessel方程：
x2
d2y dx 2
x
dy dx
(
x2
2
)
y
0
第一类变形Bessel函数
I ( x) i J (ix) (实函数)
第二类变形Bessel函数
K ( x)
2
I ( x) I ( x) sin( )
(实函数)
Bessel函数递推关系：
K
0
(
x
)
K1(
x)ห้องสมุดไป่ตู้
d
m
dx Km ( x) x Km ( x) Km1( x)
Bessel方程
x2
d2y dx 2
x
dy dx
(x2
2)y
0
第一类Bessel函数
J
(x)
n0
n!
(1)n (n
( 1)
x 2
)2n
第二类Bessel函数 也称Neumann 函数
Y
(x)
cos(
)J ( x) sin( )
J
(
x)
Bessel函数递推关系：
J
0
(
x)
J1
(
x)
d dx
Jm ( x)
• 内容
第1章 电磁场理论 第2章 几何光学 第3章 光波导几何分析 第4章 薄膜波导模式理论 第5章 三维光波导 第6章 光纤模式理论 第7章 电磁场分析的有限元法 第8章 模式耦合理论 第9章 无源光器件 第10章 有源光器件 第11章 光子晶体波导 第12章 光波导的制备
第6章 光纤模式理论
4
第6章 光纤模式理论
6.1 光纤的电磁场方程
r0 / 0 0 / r0 2 /z2 2
r0 方向
1 r
d dr
(r
r
Er )
1 r2
2 2
Er
Er r2
2 r2
E
(
n2
K
2 0
2 )Er
0
0 方向
1 r
r
(r
r
E )
1 r2
2 2
E
E r2
2 r2
Er
(n2
K
2 0
2 )E
22>0
Kcr x
x2
d2R dx 2
x
dR dx
(
x2
m2
)R
0
Bessel方程
合理解为 R(r) Jm (Kc r )
Kc
n12
K
2 0
2
Ez1
A1Jm (Kcr)
sin m cos m
e
iβz
Hz1
B1Jm (Kcr)
cos m sin m
ei
z
9
附第B6e章ss光el纤方模程式和理Be论ssel函数
由边值关系可知，芯区和包层中的()应按相同的规律变化。
8
第6章 光纤模式理论
6.2 阶跃光纤电磁场方程的矢量解法
6.2.1 芯区和包层的电磁场
径向函数R(r)
r
2
d2R dr 2
r
dR dr
( Kc2r
2
m2
)R
0
Kc2 n2 K02 2
芯区 r≤a，n=n1
K
2 c1
nn1212KK0202
m 2Φ
0
7
第6章 光纤模式理论
6.2 阶跃光纤电磁场方程的矢量解法
6.2.1 芯区和包层的电磁场
角向函数()
d2 Φ
d 2
m 2Φ
0
()必以2为周期
m只能取整数,
m＝0，1，2， …
方程的解： eim eim sin m cos m
Ez： sin m Hz： cos m
Ez： cos m Hz： sin m
3
第6章 光纤模式理论
6.1 光纤的电磁场方程
矢量Helmholtz 方程
2E n2K02E 0
2H
n2
K
2 0
H
0
直角坐标系中
x
i
y
j
z
k
2
2 x 2
2 y2
2 z 2
E Exi Ex j Exk H Hxi Hx j Hxk
电磁场的任一分量u均满足方程 2u n2K02u 0